4.抛体运动的规律
【课标解读】
1.理解平抛运动、抛体运动的特点和规律。
2.让学生能根据运动合成与分解的方法探究出平抛运动和斜抛运动的一般规律。
3.能用平抛运动的规律解决实际问题，在得出平抛运动规律的基础上进而分析斜抛运动。
【核心素养】
物理观念：用“演绎推理”的方法生成平抛运动的规律，使学生亲历物理观念建立的过程。
科学思维：利用已知的直线运动的规律来研究复杂的曲线运动，渗透“化曲为直”“化繁为简”“等效替换”等重要的物理思想。
科学探究：通过实例分析再次体会平抛运动的规律。
科学态度与责任：通过对平抛运动的规律的建立，增强学生学习物理的兴趣，感受学习成功的快乐。
一 平抛运动的速度
1．平抛运动的特点：平抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。
2．平抛运动的速度
(1)水平方向：vx＝v0。
(2)竖直方向：vy＝gt。
(3)
二 平抛运动的位移与轨迹
1．平抛运动的位移
(1)水平方向：x＝v0t。
(2)竖直方向：y＝gt2。
(3)合位移
2．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2，得y＝x2，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。
三 一般的抛体运动
1．定义：如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且只受重力的作用，这样的抛体运动称为斜抛运动。
2．性质
由于做斜抛运动的物体只受重力，且初速度与合力不在同一直线上，故斜抛运动是匀变速曲线运动。斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动。
3．规律(以斜上抛运动为例，如图所示，其中θ为v0与水平方向的夹角)
水平方向：v0x＝v0cos_θ，x＝v0t_cos_θ。
竖直方向：v0y＝v0sin_θ，y＝v0t_sin_θ－gt2。
判一判
(1)斜抛运动和平抛运动在竖直方向上做的都是自由落体运动。( )
(2)斜抛运动和平抛运动在水平方向上做的都是匀速直线运动。( )
(3)斜抛运动和平抛运动的加速度相同。( )
提示：(1)× 斜抛运动在竖直方向上做的是竖直上抛或竖直下抛运动，不是自由落体运动。
(2)√ 斜抛运动和平抛运动在水平方向上均不受力，都做匀速直线运动。
(3)√ 斜抛运动和平抛运动都只受重力，加速度为重力加速度。
课堂任务 平抛运动的速度、位移和轨迹
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：曲线运动一般的解决方法是什么？
提示：化曲为直法。就是把复杂的曲线运动问题分解为比较简单的直线运动来处理。
活动2：由活动1的思路，试总结出如图平抛运动中水平方向的运动结论。
提示：因为水平方向不受力，故水平方向做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t。
活动3：由活动1的思路，试总结出如图平抛运动中竖直方向的运动结论。
提示：由于竖直方向初速度为零，只受重力作用，故竖直方向做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2。
活动4：由以上结论可以得出平抛运动的轨迹方程是什么？它的轨迹有什么特点？
提示：将x＝v0t，y＝gt2联立消去t可得平抛运动的轨迹方程为y＝x2，式中g、v0都是常量，可知它的轨迹是一条抛物线。
1．平抛运动的研究方法
(1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法，“化曲为直”法是我们解决所有曲线运动问题的一个重要方法。
(2)将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。这是我们解决平抛运动问题的基本方法。
2．平抛运动的特点
(1)速度特点：平抛运动的速度大小和方向都不断变化，故它是变速运动。
(2)轨迹特点：平抛运动的运动轨迹是曲线，故它是曲线运动。
(3)加速度特点：平抛运动的加速度为自由落体加速度，恒定不变，故它是匀变速运动。
综上所述，平抛运动为匀变速曲线运动。
3.平抛运动的速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。公式a＝在曲线运动中仍适用，只是要注意a与Δv的矢量性。
4．平抛运动的时间、水平位移、落地速度的决定因素
(1)运动时间：由y＝gt2得t＝ ，做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关。
(2)水平位移：x＝v0t＝v0，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
(3)落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定。
5．平抛运动的规律
注意：①θ为速度方向与x轴的夹角，α为位移方向与x轴的夹角；②解题时灵活处理，例如平抛运动中，竖直方向的分速度vy＝gt，除该公式外，如果知道高度，还可以根据vy＝计算。
6．平抛运动的轨迹
由水平分位移x＝v0t和竖直分位移y＝gt2可知平抛运动的轨迹方程为y＝x2，其中g、v0是常量，则y x图线是二次函数图线，即平抛运动的轨迹是一条抛物线。
例1 家长与小朋友做沙包抛掷的游戏，游戏时家长与小朋友站在相距3 m的场地两端，家长在离地1.5 m处将质量为100 g的沙包水平扔出，正好落入小朋友手中距地面0.7 m高的塑料筐中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．沙包从抛出至落入筐中用时0.55 s
B．家长水平扔出沙包的速度大小为6.2 m/s
C．沙包即将落入筐中时的速度大小为7.5 m/s
D．沙包从抛出至落入筐中速度的变化量大小为4 m/s
(1)如何求平抛运动的时间和初速度？
提示：根据y＝gt2、x＝v0t求解。
(2)求平抛运动速度的变化量有哪几种方法？
提示：根据Δv＝gΔt或Δv＝求解。
[规范解答] 根据平抛运动的规律有h＝gt2，x＝v0t，代入数据可得t＝0.4 s，v0＝7.5 m/s，故A、B错误；沙包即将落入筐中时，水平方向的速度大小vx＝v0＝7.5 m/s，竖直方向的速度大小vy＝gt＝4 m/s，合速度大小v合＝>v0＝7.5 m/s，C错误；沙包从抛出至落入筐中，速度的变化量大小为Δv＝gt＝4 m/s，D正确。
[答案] D
规律点拨
平抛运动的飞行时间由竖直高度决定。水平位移由竖直高度和初速度共同决定。
[变式训练1] 如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是( )
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
答案 D
解析 由题意可将水从喷水口中水平喷出后的运动看成平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则竖直方向有：h＝gt2，得t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，水从喷出到落入池中的时间一定，故A错误，D正确。水平方向有：x＝v0t＝v0 ，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远；喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越远，故B、C错误。
课堂任务 平抛运动的两个重要推论
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图所示，速度偏向角的正切值是什么？速度的反向延长线在x轴上的交点有什么特点？
提示：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝。①
将代表速度矢量v的箭头反向延长，速度偏向角的正切值还可以用长度之比来表示，即
tan θ＝＝，②
联合①②解得＝v0t＝xA，
即速度的反向延长线过水平位移的中点。
活动2：如图所示，速度偏向角与位移偏向角之间的关系怎样？
提示：由活动1知速度偏向角的正切值tan θ＝，①
由图知位移偏向角的正切值tan α＝＝＝。②
比较①②可得tan θ＝2tan α。
1．推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
2．推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，则tan θ＝2tan α。
例2 如图所示，从倾角为θ的斜坡上某点先后将同一石子以不同的初速度水平抛出，石子均落在斜坡上，当抛出的速度为v1时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α1；当抛出速度为v2时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α2，则(不计空气阻力)( )
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜坡倾角θ有关
(1)石子位移是什么方向？初速度是什么方向？位移与水平方向的夹角有什么特点？
提示：石子的起点和终点都在斜坡上，位移沿斜坡向下，石子初速度是水平方向，不管速度多大，位移与水平方向的夹角都等于斜坡的倾角。
(2)平抛运动中速度的偏向角和位移的偏向角有什么关系，会因为初速度不同发生变化吗？
提示：只要是平抛运动，运动中速度的偏向角与位移的偏向角一定满足tan θ＝2tan α(θ、α分别为速度、位移的偏向角)，与初速度无关。
[规范解答] 石子从斜坡某点水平抛出后落到斜坡上，石子的位移与水平方向的夹角等于斜坡倾角θ，即tan θ＝＝＝，石子落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角为θ＋α，则tan (θ＋α)＝＝，故可得tan (θ＋α)
＝2tan θ，只要石子落到斜坡上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则石子的速度方向与水平方向的夹角也总是θ＋α，故速度方向与斜坡的夹角就总是相等，与v0的大小无关，C正确。
[答案] C
规律点拨
运用推论二的关键是找准位移偏向角与速度偏向角，再分析判断问题。
[变式训练2] 如图所示，墙壁上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°，飞镖B与竖直墙壁成37°，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案 d
解析 飞镖与墙壁的夹角为平抛运动物体速度与墙壁所成的角，由于水平位移相同，故速度反向延长线必交于水平位移上的同一点。将两只飞镖的速度反向延长与初速度的延长线交于一点C，作出如图所示情景图。设总的水平距离为x，CD＝，BD＝CD·cot 37°，AD＝CD·cot 53°，且BD－AD＝d，联立解得x＝d。
课堂任务 有斜面、曲面约束的平抛运动问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲中到达斜面时速度偏向角θ与斜面倾角α有什么关系？
提示：由课堂任务2里的讨论知道，α就是位移的偏向角。故有tan θ＝2tan α。
活动2：图甲中到达斜面时水平位移和竖直位移有什么关系？
提示：由于＝tan α，所以落到斜面的水平位移和竖直位移比值始终不变。
活动3：图乙中到达斜面的水平速度和竖直速度有什么关系？
提示：由于＝tan θ，所以到达斜面的水平速度和竖直速度比值始终不变。
1．斜面、曲面对平抛运动约束的常见情境
(1)给出末速度方向
(2)给出位移方向
2．基本求解思路
(1)给出末速度方向
①画速度分解图，确定速度与水平方向的夹角θ；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy；
③根据tan θ＝列方程求解。
(2)给出位移方向
①画位移分解图，确定位移与水平方向的夹角α；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y；
③根据tan α＝列方程求解。
例3 (2021·鄂尔多斯西部四校高一下期末)2022年将在北京举办第24届冬奥会，其中一项比赛是跳台滑雪，它是利用依山势特别建造的跳台进行的。运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。这项比赛极为壮观。设一位运动员由山坡顶的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆。如图所示。已知运动员水平飞出的速度为v0＝20 m/s，山坡倾角为θ＝37°，山坡可以看成一个斜面。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s；
(3)运动员经多长时间离斜面的距离最远？
(1)运动员的位移是什么？
提示：斜坡上A点到B点的距离即为运动员的位移大小，沿斜面向下即为位移的方向。
(2)水平方向的位移x和竖直方向的位移y有什么关系？
提示：tan 37°＝。
(3)运动员在垂直于斜面的方向做什么运动？
提示：初速度为v0sin θ，加速度为－g cos θ的匀变速直线运动。
[规范解答] (1)设A、B间的竖直高度为h，水平距离为x，
竖直方向有h＝gt2
水平方向有x＝v0t
由几何关系，得tan θ＝
联立并代入数据解得t＝3 s。
(2)根据几何关系有s＝
联立并代入数据解得s＝75 m。
(3)当运动员速度与斜面平行，即垂直于斜面向上的速度减为零时运动员离斜面最远，设此时运动员经过的时间为t′，将运动员的平抛运动沿平行于斜面和垂直于斜面方向分解，在垂直于斜面方向有
0－v0y＝－gyt′
其中v0y＝v0sin θ
gy＝g cos θ
联立并代入数据解得t′＝1.5 s。
[答案] (1)3 s (2)75 m (3)1.5 s
规律点拨
物体从斜面平抛后又落到斜面上时的速度方向与斜面夹角恒定；当速度平行于斜面时，物体离斜面最远。
[变式训练3] 如图所示，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向的夹角θ＝60°，A、B两点间的高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度的大小为( )
A．2 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D． m/s
答案 C
解析 球的运动示意图如图所示，由题意知球在空中做平抛运动，根据h＝gt2，得时间t＝＝ s＝ s，球刚要落到球拍上时竖直分速度vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，根据平行四边形定则知，速度的大小v＝＝4 m/s，故C正确，A、B、D错误。
课堂任务 一般的抛体运动
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：斜抛运动是匀变速运动吗？
提示：不考虑空气阻力的影响，所有的抛体运动都是匀变速运动，斜抛运动是匀变速运动。
活动2：图中是按什么方式解决斜抛运动问题的？
提示：图中是把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动(初速度v0x一直不会变)和竖直方向的竖直上抛运动(v0y是竖直方向的初速度)。
活动3：在斜上抛运动中轨迹的最高点速度有什么特点？
提示：轨迹的最高点竖直方向的分速度为零，故此时物体的速度沿水平方向，且等于v0x。
1．斜抛运动的特点
(1)受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。
(2)运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
(3)速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度变化量的大小相等，方向均竖直向下，Δv＝gΔt。
(4)对称性特点(斜上抛)
①速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。
②时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。
③轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。
2．斜上抛运动物理量之间的关系
(1)物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动，所以t时刻物体的分速度为：vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ－gt，t时刻物体的位置坐标为。
(2)如果物体的落点与抛出点在同一水平面上，则飞行时间：t＝＝，
射高：y＝＝，
射程：x＝v0cosθ·t＝＝。
例4 一个棒球以38 m/s的速度从水平地面附近被击出，仰角为37°，(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)求：
(1)该球上升达到的最大高度；
(2)该球的飞行时间；
(3)射程。
(1)斜抛运动的性质是什么？
提示：斜抛运动是匀变速曲线运动。
(2)解决斜抛运动问题的思想和方法是什么？
提示：思想——化曲为直。
方法——把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
[规范解答] 斜抛运动的水平方向分运动为匀速直线运动，竖直方向分运动为竖直上抛运动。
(1)该球上升达到的最大高度H＝，
解出H＝25.992 m。
(2)竖直方向上时间具有对称性，则飞行时间为：
t＝2·，得出t＝4.56 s。
(3)射程x＝v0t cos θ，得出x＝138.624 m。
[答案] (1)25.992 m (2)4.56 s (3)138.624 m
规律点拨
斜抛运动的处理方法
一般的斜抛运动和平抛运动的处理方法相同，均将运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
[变式训练4] 如图所示，美洲狮是一种凶猛的食肉猛兽，也是噬杀成性的“杂食家”，在跳跃方面有着惊人的“天赋”，它“厉害地一跃”水平距离可达13.2 m，高达3.3 m。设美洲狮“厉害地一跃”离开地面时的速度方向与水平面的夹角为α，若不计空气阻力，美洲狮可看作质点，则tan α等于( )
A． B． C． D．1
答案 D
解析 美洲狮水平方向做匀速运动，竖直方向做竖直上抛运动，其运动示意图如图所示，有v0cos α·2t＝x，v0sin α·t＝h，联立解得tan α＝1，故D正确。4.抛体运动的规律
【课标解读】
1.理解平抛运动、抛体运动的特点和规律。
2.让学生能根据运动合成与分解的方法探究出平抛运动和斜抛运动的一般规律。
3.能用平抛运动的规律解决实际问题，在得出平抛运动规律的基础上进而分析斜抛运动。
【核心素养】
物理观念：用“演绎推理”的方法生成平抛运动的规律，使学生亲历物理观念建立的过程。
科学思维：利用已知的直线运动的规律来研究复杂的曲线运动，渗透“化曲为直”“化繁为简”“等效替换”等重要的物理思想。
科学探究：通过实例分析再次体会平抛运动的规律。
科学态度与责任：通过对平抛运动的规律的建立，增强学生学习物理的兴趣，感受学习成功的快乐。
一 平抛运动的速度
1．平抛运动的特点：平抛运动可以看作是水平方向的______运动和竖直方向的______运动的合运动。
2．平抛运动的速度
(1)水平方向：vx＝____。
(2)竖直方向：vy＝____。
(3)
二 平抛运动的位移与轨迹
1．平抛运动的位移
(1)水平方向：x＝_______。
(2)竖直方向：y＝_______。
(3)合位移
2．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2，得y＝_______，所以平抛运动的轨迹是一条_______。
三 一般的抛体运动
1．定义：如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向_______或斜向_______，且只受_______的作用，这样的抛体运动称为斜抛运动。
2．性质
由于做斜抛运动的物体只受重力，且初速度与合力不在同一直线上，故斜抛运动是_____运动。斜抛运动可以看成是水平方向的_______运动和竖直方向的_______或_______运动的合运动。
3．规律(以斜上抛运动为例，如图所示，其中θ为v0与水平方向的夹角)
水平方向：v0x＝_______，x＝_______。
竖直方向：v0y＝_______，y＝___________。
判一判
(1)斜抛运动和平抛运动在竖直方向上做的都是自由落体运动。( )
(2)斜抛运动和平抛运动在水平方向上做的都是匀速直线运动。( )
(3)斜抛运动和平抛运动的加速度相同。( )
课堂任务 平抛运动的速度、位移和轨迹
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：曲线运动一般的解决方法是什么？
活动2：由活动1的思路，试总结出如图平抛运动中水平方向的运动结论。
活动3：由活动1的思路，试总结出如图平抛运动中竖直方向的运动结论。
活动4：由以上结论可以得出平抛运动的轨迹方程是什么？它的轨迹有什么特点？
1．平抛运动的研究方法
(1)由于平抛运动是匀变速曲线运动，速度、位移的方向时刻发生变化，无法直接应用运动学公式，因此研究平抛运动问题时采用运动分解的方法，“化曲为直”法是我们解决所有曲线运动问题的一个重要方法。
(2)将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。这是我们解决平抛运动问题的基本方法。
2．平抛运动的特点
(1)速度特点：平抛运动的速度大小和方向都不断变化，故它是变速运动。
(2)轨迹特点：平抛运动的运动轨迹是曲线，故它是曲线运动。
(3)加速度特点：平抛运动的加速度为自由落体加速度，恒定不变，故它是匀变速运动。
综上所述，平抛运动为匀变速曲线运动。
3.平抛运动的速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。公式a＝在曲线运动中仍适用，只是要注意a与Δv的矢量性。
4．平抛运动的时间、水平位移、落地速度的决定因素
(1)运动时间：由y＝gt2得t＝ ，做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关。
(2)水平位移：x＝v0t＝v0，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
(3)落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定。
5．平抛运动的规律
注意：①θ为速度方向与x轴的夹角，α为位移方向与x轴的夹角；②解题时灵活处理，例如平抛运动中，竖直方向的分速度vy＝gt，除该公式外，如果知道高度，还可以根据vy＝计算。
6．平抛运动的轨迹
由水平分位移x＝v0t和竖直分位移y＝gt2可知平抛运动的轨迹方程为y＝x2，其中g、v0是常量，则y x图线是二次函数图线，即平抛运动的轨迹是一条抛物线。
例1 家长与小朋友做沙包抛掷的游戏，游戏时家长与小朋友站在相距3 m的场地两端，家长在离地1.5 m处将质量为100 g的沙包水平扔出，正好落入小朋友手中距地面0.7 m高的塑料筐中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．沙包从抛出至落入筐中用时0.55 s
B．家长水平扔出沙包的速度大小为6.2 m/s
C．沙包即将落入筐中时的速度大小为7.5 m/s
D．沙包从抛出至落入筐中速度的变化量大小为4 m/s
(1)如何求平抛运动的时间和初速度？
(2)求平抛运动速度的变化量有哪几种方法？
规律点拨
平抛运动的飞行时间由竖直高度决定。水平位移由竖直高度和初速度共同决定。
[变式训练1] 如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是( )
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
课堂任务 平抛运动的两个重要推论
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图所示，速度偏向角的正切值是什么？速度的反向延长线在x轴上的交点有什么特点？
活动2：如图所示，速度偏向角与位移偏向角之间的关系怎样？
1．推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
2．推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，则tan θ＝2tan α。
例2 如图所示，从倾角为θ的斜坡上某点先后将同一石子以不同的初速度水平抛出，石子均落在斜坡上，当抛出的速度为v1时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α1；当抛出速度为v2时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α2，则(不计空气阻力)( )
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜坡倾角θ有关
(1)石子位移是什么方向？初速度是什么方向？位移与水平方向的夹角有什么特点？
(2)平抛运动中速度的偏向角和位移的偏向角有什么关系，会因为初速度不同发生变化吗？
规律点拨
运用推论二的关键是找准位移偏向角与速度偏向角，再分析判断问题。
[变式训练2] 如图所示，墙壁上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°，飞镖B与竖直墙壁成37°，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
课堂任务 有斜面、曲面约束的平抛运动问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲中到达斜面时速度偏向角θ与斜面倾角α有什么关系？
活动2：图甲中到达斜面时水平位移和竖直位移有什么关系？
活动3：图乙中到达斜面的水平速度和竖直速度有什么关系？
1．斜面、曲面对平抛运动约束的常见情境
(1)给出末速度方向
(2)给出位移方向
2．基本求解思路
(1)给出末速度方向
①画速度分解图，确定速度与水平方向的夹角θ；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy；
③根据tan θ＝列方程求解。
(2)给出位移方向
①画位移分解图，确定位移与水平方向的夹角α；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y；
③根据tan α＝列方程求解。
例3 (2021·鄂尔多斯西部四校高一下期末)2022年将在北京举办第24届冬奥会，其中一项比赛是跳台滑雪，它是利用依山势特别建造的跳台进行的。运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。这项比赛极为壮观。设一位运动员由山坡顶的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆。如图所示。已知运动员水平飞出的速度为v0＝20 m/s，山坡倾角为θ＝37°，山坡可以看成一个斜面。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s；
(3)运动员经多长时间离斜面的距离最远？
(1)运动员的位移是什么？
(2)水平方向的位移x和竖直方向的位移y有什么关系？
(3)运动员在垂直于斜面的方向做什么运动？
规律点拨
物体从斜面平抛后又落到斜面上时的速度方向与斜面夹角恒定；当速度平行于斜面时，物体离斜面最远。
[变式训练3] 如图所示，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向的夹角θ＝60°，A、B两点间的高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度的大小为( )
A．2 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D． m/s
课堂任务 一般的抛体运动
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：斜抛运动是匀变速运动吗？
活动2：图中是按什么方式解决斜抛运动问题的？
活动3：在斜上抛运动中轨迹的最高点速度有什么特点？
1．斜抛运动的特点
(1)受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。
(2)运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
(3)速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度变化量的大小相等，方向均竖直向下，Δv＝gΔt。
(4)对称性特点(斜上抛)
①速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。
②时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。
③轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。
2．斜上抛运动物理量之间的关系
(1)物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动，所以t时刻物体的分速度为：vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ－gt，t时刻物体的位置坐标为。
(2)如果物体的落点与抛出点在同一水平面上，则飞行时间：t＝＝，
射高：y＝＝，
射程：x＝v0cosθ·t＝＝。
例4 一个棒球以38 m/s的速度从水平地面附近被击出，仰角为37°，(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)求：
(1)该球上升达到的最大高度；
(2)该球的飞行时间；
(3)射程。
(1)斜抛运动的性质是什么？
(2)解决斜抛运动问题的思想和方法是什么？
方法——把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
规律点拨
斜抛运动的处理方法
一般的斜抛运动和平抛运动的处理方法相同，均将运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
[变式训练4] 如图所示，美洲狮是一种凶猛的食肉猛兽，也是噬杀成性的“杂食家”，在跳跃方面有着惊人的“天赋”，它“厉害地一跃”水平距离可达13.2 m，高达3.3 m。设美洲狮“厉害地一跃”离开地面时的速度方向与水平面的夹角为α，若不计空气阻力，美洲狮可看作质点，则tan α等于( )
A． B． C． D．1
