苏科版数学八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习（含解析）

9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习
一、单选题
1．如图，已知□ABCD的对角线，相交于点O，下列选项能使□ABCD成为菱形的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
3．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边互相平行 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
4．下列关于矩形对角线的说法中，正确的是　　
A．对角线相互垂直 B．面积等于对角线乘积的一半
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
5．如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D'与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中，下列判断错误的是（　　）
A．EB平分∠AED'
B．FB平分∠A'FC
C．△DEF的周长是一个定值
D．S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD
6．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．在菱形ABCD中，，点E为AB边的中点，点P与点A关于DE对称，连接DP、BP、CP，下列结论：；；；，其中正确的是　　
A． B． C． D．
8．如图，正方形的面积为24，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 （ ）
A． B． C．3 D．
9．如图，矩形的顶点，分别在菱形的边和对角线上，连接，，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．如图 ，D是给定△ABC边BC所在直线上一动点，E是线段AD上一点，DE=2AE,连接BE,CE.
点D从B的左边开始沿着BC方向运动，则△BCE的面积变换情况是（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变小后变大 D．始终不变
二、填空题
11．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若∠BFA＝30°，则∠AEF＝____．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=4，则平行四边形ABCD的周长为_______．
13．一副三角板拼成如图所示，是的中点，则________．
14．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为________．
15．如图，，点是上的点，过作，交于点，以为边在右侧作正方形，过点作的垂线，分别交，于点，，以为边在右侧作正方形……，依此类推，若，则正方形的面积等于__________．
三、解答题
16．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE＝CF，求证： ABCD是菱形．
17．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，E、F分别是AC、BD的中点，若AC＝2．
（1）求证：EF⊥BD
（2）求EF的长．
18．求证：菱形的两条对角线互相垂直．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
参考答案
1．A
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且，
∴平行四边形ABCD是菱形，故A选项正确；
若，则平行四边形ABCD是矩形，故B选项错误；
若，则平行四边形ABCD是矩形，故C选项错误；
若，则，则平行四边形ABCD是矩形，故D选项错误，
故选：A．
2．B
【详解】解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，均相等，故A不符合题意；
B、正方形的四条边相等，但矩形的对边相等，但邻边不一定相等，故B符合题意；
C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意；
D、正方形和矩形的对角线均相等，故D不符合题意；
故选：B．
3．C
【详解】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：C．
4．D
【详解】解：矩形的对角线相等，
故选．
5．D
【详解】解：过点作于，于，于，
菱形是由菱形旋转得到，菱形的每条边上的高都相等，
于，于，于，
平分，平分，故选项A、B正确，不符合题意；
同法可证，
的周长为：，
的周长为定值，
故选项C正确，不符合题意，
故选：D．
6．C
【详解】解：如图，连接，
点在正方形的对角线上，且，
，，
，
，
，
，
，
．
故选C
7．B
【详解】连接PE,
因为，四边形ABCD是菱形，
所以，AB=BC=CD=AD,
因为，点P与点A关于DE对称，
所以，AP⊥DE,PA=PB,即DE垂直平分PA,
所以，PD=CD,PE=AE,
又因为，E是AB的中点，
所以，AE=BE，
所以，PE= ,
所以，三角形ABP是直角三角形，
所以，,
所以，.
因为DP不在菱形的对角线上，
所以，∠PCD≠30 ,
又DC=DP,
所以，，
因为，DA=DP=DC,
所以，∠DAP=∠DPA, ∠DCP=∠DPC,
所以，∠DPA+∠DPC=∠DAP+∠DCP=,
即 .
综合上述，正确结论是.
故选B
8．B
【详解】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为24，
∴AB=．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=．
∴所求最小值为．
故选：B．
9．A
【详解】解：连接DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAF=∠BAF，DA=BA，
又∵AF=AF，
∴△DAF≌△BAF（SAS），
∴DF=BF，
∵四边形DEFG为矩形，
∴EG=DF，
∴EG=BF，
∵EG=3，
∴BF=3，
故选：A．
10．D
【详解】试题分析：根据DE=2AE，则点E到BC的距离永远等于点A到BC的距离的，即△BCE的高的长度不变，△BCE的底为BC，则△BCE的面积不变.
11．75°
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠BFA=30°，
∵△AEF由△AED折叠得到，
∴∠FAE=∠DAE=15°，∠AFE=∠D=90°．
∴∠AEF=90°－∠EAF=75°．
12．16
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴菱形ABCD的周长为：4×4＝16
故答案为：16
13．15°
【详解】解：由题意可得：∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=30°，∠CBD=45°，
∵E是BD中点，
∴AE=BE=BD，CE=BE=BD，
∴AE=CE，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠ABD=30°，
∴∠AED=∠EAB+∠ABD=60°，
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠CED=∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠AEC=∠CED+∠AED=150°，
∵AE=CE，
∴∠EAC==15°，
故答案为：15°．
14．
【详解】如图，当FB'⊥DE时，DB'的长度最小，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE==1
∴DE=
设BF=x，
∵折叠，∴B’E=1, B’F=x,
故DB'=-1，FC=4-x,
在Rt△DCF和Rt△B’DF中，
DF2=
即
解得x=
即BF=
故填：.
15．
【详解】∵，四边形为正方形，四边形为正方形，
∴Rt△和Rt△、Rt△都是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
同理：，
，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
故答案为：．
16．
【详解】证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠CFB＝∠AEB＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BC＝BA
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形．
17．
【详解】解：（1）连接BE、DE
∵E、F分别是AC、BD的中点，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE
∵F为BD中点，
∴EF⊥BD
（2）∵E、F分别是AC、BD的中点，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵F为BD中点，
18．
【详解】已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．
求证：AC⊥BD．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD，OA=OC
∴OD⊥AC （三线合一）
即AC⊥BD．