高中数学 高二 人教A版（2019） 选择性必修 第二册 5.1导数的概念及其意义 课时练习 含答案

5.1导数的概念及其意义 课时练习
一、单选题
1．质点运动方程，那么当质点在 时的速度为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，当由1变到10时，的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．在直角坐标系中，设O为原点，M为任意一点.定义：质点M的位置向量关于时间的函数叫做质点M的运动方程.已知质点M的运动方程，则质点M在t=1时刻的瞬时速度为（ ）
A．﹣10 B． C．10 D．5
6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
11．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ）
A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11
12．下列说法正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
二、填空题
13．已知函数，则______．
14．已知曲线：，若过曲线外一点引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数的值为______．
15．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数a=____________.
16．曲线在点处的切线方程为___________．
17．曲线在处的切线方程为______.
三、解答题
18．已知函数的图象为曲线C．
(1)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线（均不与x轴垂直），求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
(2)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．
19．已知直线和曲线相切，求a的值及切点坐标．
20．已知函数．
（1）当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为k，若，求实数a的取值范围；
（2）若，求曲线过点的切线方程．
21．试分别计算函数在上和上的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化较快.
22．设函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若方程在区间 上有两个解，求实数的取值范围．
23．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
答案：
1．A
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为，
所以 时的速度，
故选：A
2．C
【分析】求出函数的导数，再由导数的几何意义即可得切线斜率，进而得解.
【详解】因，则，当时，，
由导数的几何意义知，曲线在处的切线斜率为1，其倾斜角为，
所以切线的倾斜角为.
故选：C
3．A
【分析】由平均变化率的定义可得，代入即得解
【详解】当由1变到10时，的平均变化率为.
故选：A
4．B
【分析】根据导数的定义与极限的运算可得．
【详解】．
故选：B．
5．A
【分析】利用函数的导数，结合t=1可得瞬时速度．
【详解】∵质点M的运动方程，即s=﹣5t2，
∴s'=s'(t)=﹣10t，
∴当t=1时，s'（1）=﹣10，
故选：A.
6．A
【分析】结合图象，利用平均变化率的定义求解.
【详解】因为，，，
由图象知，
所以．
故选：A
7．C
【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.
8．D
【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得；
【详解】解：因为，
所以
故选：D
9．D
【解析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.
【详解】，
，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，
解得.
故选：D.
10．C
【分析】设切点坐标为，求出函数的导数，则，即可求出，从而求出切点坐标，再代入直线方程计算可得；
【详解】解：设切点坐标为，由，所以，解得，所以，即切点为，又切点在直线，所以，解得
故选：C
11．B
【分析】利用平均变化率的公式即得.
【详解】∵，
∴.
故选：B.
12．D
【分析】结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A、B、C、D；进而可得正确选项.
【详解】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，
故选项A说法错误；
对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；
对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；
对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，
故选：D．
13．12
【分析】由导数的定义计算即可.
【详解】
故答案为：12
14．
【分析】设切点为，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a.
【详解】设切点坐标为．由题意，知，切线的斜率为①，所以切线的方程为②．
将点代入②式，得，解得或．分别将和代入①式，得和．由题意，得，得．
故答案为：.
15．
【分析】利用求得切点坐标，代入切线方程，从而求得.
【详解】令，解得，所以切点为，
将代入切线得.
故答案为：
16．.
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
17．
【分析】求得函数的导函数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．
【详解】解：当时，，
，当时，，
故切线的斜率为3，
所以曲线在处的切线方程为：，
即.
故答案为：.
18．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用互相垂直的切线（均不与x轴垂直）的斜率互为负倒数，
切点处的导数值为曲线切线的斜率，及一元二次方程有解求切点横坐标的范围；
（2）利用切点处的导数值为曲线切线的斜率，求出两切点处的两条直线的方程，利用斜率相等和纵截距相等求得的结果与已知矛盾，得证．
(1)
，由题，
设其中一条切线的斜率为，则另一条切线的斜率为，
由题意得①与②均有解，
若①有解，即有解，则，
解得，若②有解，即有解，
则，解得或．
所以或，即或，
解得．
(2)
证明：假设存在在点的切线与曲线C同时切于两点，
另一切点为，
则切线方程是，
化简得．
同理可得过的切线方程是，
由于两切线是同一直线，故，
得，易知，
即，
即，即，
即，
即，解得，当时，，
这与矛盾．所以不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．
【点睛】关键点睛：根据导数的几何意义，结合方程有解的性质是解题的关键.
19．当时，切点坐标为；当时，切点坐标为．
【分析】设直线l与曲线C相切于点，求得，根据题意得到，求得或，所以切点的坐标，求得的值，即可求解.
【详解】设直线l与曲线C相切于点，
因为函数，可得，所以，
由题意得，解得或，所以切点的坐标为或，
当切点的坐标为时，有，解得．
当切点的坐标为（2，3）时，有，解得，
所以当时，切点坐标为；当时，切点坐标为.
20．（1）；（2）y＝﹣x或
【分析】（1）利用导数的几何意义转化为恒成立问题；（2）设点写切线，代入点即得．
【详解】（1）函数f（x）＝x2（x﹣a）的导数为
f′（x）＝2x（x﹣a）+x2＝3x2﹣2ax，
由题意可得当x∈（0，1）时，3x2﹣2ax≥﹣1恒成立，
即有，由，
当且仅当 即有x＝ ∈（0，1）时，取得等号．
即有,则 即有a的取值范围是
（2）函数f（x）＝x2（x+2）的导数为f′（x）＝2x（x+2）+x2＝3x2+4x，
设切点为（m，n），则n＝m3+2m2，
f（x）在x＝m处的斜率为3m2+4m，
即有切线方程为y﹣n＝（3m2+4m）（x﹣m），
代入Q（﹣1，1），可得1﹣m3﹣2m2＝（3m2+4m）（﹣1﹣m），
整理可得（m+1）2（2m+1）＝0，
解得m＝﹣1或 ，
即有所求切线的方程为y﹣1＝﹣（x+1）或 ，
即为y＝﹣x或 .
21．函数在上的平均变化率为；函数在上的平均变化率为；函数在上函数值变化较快.
【分析】根据平均变化率公式计算并比较即可.
【详解】函数在上的平均变化率为.
函数在上的平均变化率为.
因为，
所以函数在上函数值变化较快.
22．(1)
(2)
【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；
（2）把问题转化为与在 上有两个不同交点，作出图象，求出在处切线的斜率，再求出过点与的直线的斜率，则答案可求．
(1)
（1）由，得，
∴，又，
∴函数在点处的切线方程，
即；
(2)
（2）方程在区间 上有两个解，
即在 上有两解，也就是为与在 上有两个不同交点．
如图：
，把代入，得，此时．
∴若方程在区间 上有两个解，则实数m的取值范围是．
23．（1）；（2）.
【解析】（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；
（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果.
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴