第一章 空 间向量与立体几何 章 节综合检测
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．）
1 1
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，则 AB BC BD
2 2
等于（ ）
A．EF B．FA C． AF D．FE
2．（2022·湖北·丹江口市二中高二期末）已知 a 2,3, 1 ，b 2,0, 4 ， c 4, 6,2 ，则下列结论正确
的是（ ）．
A． a∥c b c
， ∥ B． a ∥ b ， a c
a c
C． ∥ ， a b D．以上都不对
3．（2022·江苏·盐城中学高二期中）已知向量 a (1,0, 1)，b (k,0, 2k 2) ，若 a与b 互相垂直，则 k 的值
为（ ）
2
A．－1 B．2 C． D3 ．1
4．（2022·湖北·高二阶段练习）空间直角坐标系O xyz 中，经过点P x0 , y0 , z0 ，且法向量为m A, B,C
的平面方程为 A x x0 B y y0 C z z0 0，经过点P x0 , y0 , z0 且一个方向向量为
n ,v, x x y y z z v 0 0 0 0的直线 l 的方程为 v ，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平
面
x y z
的方程为 x y 2z 7 0 ，经过点 (0,0,0) 的直线 l 的方程为 ，则直线 l与平面 所成角
3 5 2
为（ ）
A．60 B．120 C．30 D．1500
5．（2022·湖南·高三开学考试）两条异面直线 a,b所成的角为60 ，在直线 a,b上分别取点 A, E 和点B, F ，
使 AB a，且 AB b .已知 AE 6, BF 8, EF 2 37 则线段 AB 的长为（ ）
A．8 B． 4 6 C． 4 3 D．8 3
6．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA AB，
M 为 PC 上一动点，PM tPC ，若∠BMD 为钝角，则实数 t 可能为（ ）
1 1 1
A． B C 1． ． D．
5 4 3 2
7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））在矩形 ABCD 中，O 为 BD 中点且 AD 2AB，将平面 ABD 沿对角线 BD
翻折至二面角 A BD C 为 90°，则直线 AO 与 CD 所成角余弦值为（ ）
A 5 B 5． ．
5 4
C 3 5． D 4 2．
25 25
8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在四棱锥P ABCD 中，已知底面 ABCD为矩形，PA 底
面 ABCD, PA 6, AB 1， AD 3 .若 E, F 分别为 AB, PD 的中点，经过C, E, F 三点的平面与侧棱PA相交于
点G .若四棱锥G ABCD 的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
5
A． B 13． 2 C． D．24 2
二 多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．（2022·全国·高二课时练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量 a,b(a 0,b 0)，若 a b，则 a b 0
1 1 1
B．若对空间中任意一点O，有OP OA OB OC ，则P，A，B，C 四点共面
6 3 2
C．已知 a,b,c 是空间的一组基底，若m a c，则 a,b,m 也是空间的一组基底
D．任意向量 a,b,c满足 (a b) c a (b c)
10．（2022·山东德州·高一期末）如图，菱形 ABCD 边长为 2，∠BAD=60°，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿
DE 折起，使 A 到 A ，连接 A B， A C ，且 A D DC ，平面 A BE 与平面 A CD 的交线为 l，则下列结论中正
确的是（ ）
A．平面 A DE 平面 A BE B．CD∥l
C．ВС 1与平面 A DE 所成角的余弦值为 2 D．二面角E A B D
7
的余弦值为
7
11．（2022·全国·高三专题练习）已知O为正方体 ABCD A1B1C1D1 底面 ABCD的中心， E 为棱 B1C1 上动点，
B1E B1C1 ， 0,1 , F 为 BE 的中点，则（ ）
A．平面OEF 平面 ACC1A1
B．过B, E, D三点的正方体的截面一定为等腰梯形
C．OE与DF 为异面直线
D．OE与DF 垂直
12．（2022·全国·高二单元测试）如图，在边长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点M 在底面正方形 ABCD
内运动，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点M 使得 A1M 平面D1B1C
B 2 ．若 A1M 2，则动点M 的轨迹长度为
2
C．若 A1M // 平面D1B1C ，则动点M 的轨迹长度为 2
D．若 A1M 平面 A1DB ，则三棱锥B1 MD1C 的体积为定值
三 填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.）
13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 a 2, 1,2 ，b 1,1,2 ， c x, 2, 2 ．当 c 2 2 时，若向
量 ka b与 c垂直，则实数 k 的值为______．
1
14．（2022·全国·高二课时练习）在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若OG OA xOB yOC ，
3
且 G、M、N 三点共线，则 x y ______．
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AA1 2. E 、F 分别是BC 、 A1C1
的中点.设 D 是线段 B1C1 上的（包括两个端点）动点，当直线BD与 EF
10
所成角的余弦值为 ，则线段BD
4
的长为_______.
16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））矩形 ABCD 中， AB 3, BC 1，现将△ACD沿对角线 AC 折起，
得到四面体D ABC ，若异面直线BC 与 AD 所成角为 ，则 BD ______；若二面角D AC B的大小为 ，
3 3
则 BD ______．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应写出文字说明 证明过
程或演算步骤.）
17．（2022·重庆南开中学高二期末）四棱锥P ABCD ，底面为矩形，PD 面 ABCD，且 AB 4, BC PD 2，
Q点在线段 AB 上，且 AC 面PQD .
(1)求线段 AQ 的长；
(2)对于（1）中的Q，求直线 PB与面PDQ所成角的正弦值.
18．（2022·河北邯郸·高三开学考试）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为梯形，
AB 2AD 2DC, AB∥DC, AB AD，平面PCB 平面 ABCD .
(1)证明：PB AC ；
(2)若 PCB 为正三角形，求二面角B PA C 的正弦值.
19．（2022·全国·高二单元测试）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形，
AB AC ，AB＝AC＝2， AA1 4，M 是侧棱CC1 上一点，设MC h ．
(1)若 h 1，求证： BM A1C ；
(2)若 h 2，求直线BA1与平面 ABM 所成角的正弦值；
(3)若 h 3，求点 M 到平面 A1BC 的距离．
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，BC BB1，
BC1 B1C O ， AO 平面BB1C1C .
(1)求证： AB B1C ；
(2)若 B1BC 60 ，直线 AB 与平面BB1C1C 所成的角为30 ，求二面角 A1 B1C1 A的余弦值.
21．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝
1，AB＝2，点 E 在棱 AB 上移动.
(1)当 E 为 AB 的中点时，求异面直线 AC 与D1E 所成角的余弦值；
(2)AE 等于何值时，二面角D1 EC D 的大小为 .4
22．（2022·黑龙江·哈九中高二开学考试）如图所示，四棱锥P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，
PA CD, PA 1, PD 2 ，E 为PD上一点，PE 2ED .
(1)求证：PA 平面 ABCD；
(2)在侧棱PC 上是否存在一点 F，使得BF // 平面 AEC ？若存在，指出 F 点的位置，并证明；若不存在，说
明理由.第一章 空 间向量与立体几何 章 节综合检测
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．）
1 1
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，则 AB BC BD
2 2
等于（ ）
A．EF B．FA C． AF D．FE
【答案】C
【详解】因为 E、F 分别是 BC、CD 的中点，
BE 1
1
所以 BC, EF BD，
2 2
1 1 AB BC BD AB BE EF AF .
2 2
故选：C
2．（2022·湖北·丹江口市二中高二期末）已知 a 2,3, 1 ，b 2,0, 4 ， c 4, 6,2 ，则下列结论正确
的是（ ）．
A ． a∥c ，b∥c B． a∥ b ， a c
C． a∥c ， a b D．以上都不对
【答案】C
【详解】因为 a b 2 2 0 1 4 0 ，所以 a b ；
c 2a a 因为 ，所以 ∥c ，
故选：C.
3．（2022·江苏·盐城中学高二期中）已知向量 a (1,0, 1)，b (k,0, 2k 2) ，若 a与b 互相垂直，则 k 的值
为（ ）
2
A．－1 B．2 C． D．13
【答案】B
【详解】解：因为 a与b 互相垂直，
所以 a b 0 ，
即 k 2k 2 0 ，解得 k 2 .
故选：B.
4．（2022·湖北·高二阶段练习）空间直角坐标系O xyz 中，经过点P x0 , y0 , z0 ，且法向量为m A, B,C
的平面方程为 A x x0 B y y0 C z z0 0，经过点P x0 , y0 , z0 且一个方向向量为
x x y y z z
n ,v, v 0 的直线 l 0 0 0的方程为 v ，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平
面 的方程为 x y 2z 7 0 ，经过点 (0,0,0)
x y z
的直线 l 的方程为 ，则直线 l与平面 所成角
3 5 2
为（ ）
A．60 B．120 C．30 D．1500
【答案】C
【详解】由题知：平面 的法向量m 1, 1, 2 ，直线 l的方向向量 n 3,5, 2 ，
3 5 2
所以 sin
1
，
1 1 2 9 25 2 2
因为 0,90
，所以 30 .
故选：C
5．（2022·湖南·高三开学考试）两条异面直线 a,b所成的角为60 ，在直线 a,b上分别取点 A, E 和点B, F ，
使 AB a，且 AB b .已知 AE 6, BF 8, EF 2 37 则线段 AB 的长为（ ）
A．8 B． 4 6 C． 4 3 D．8 3
【答案】B
2 2 2 2
【详解】由题意知：EF EA AB BF ，所以EF EA AB BF 2EA AB 2AB BF 2EA BF ，
2
又异面直线 a b 所成的角为60 ，则142 62 AB 82 0 0 2 6 8cos60
所以 AB 148 62 82 48 ，则 AB 4 6 或 AB 0（舍去）
故选：B.
6．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA AB，
M 为 PC 上一动点，PM tPC ，若∠BMD 为钝角，则实数 t 可能为（ ）
1 1 1
A． B C 1． ． D．
5 4 3 2
【答案】D
【详解】分别以 AB 、 AD 、 AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设PA 1，M x, y, z ，故P(0,0,1)，C(1,1,0) , PM x, y, z 1 ，PC 1,1, 1 ,
x t
由 PM t PC 可知， y t ，即M t, t,1 t ，
z 1 t
又因为 BMD 为钝角，所以MB MD 0，
由B 1,0,0 , D 0,1,0 ,可知MB 1 t, t, t 1 ，MD t,1 t, t 1 ，
MB MD t 1 t t 1 t t 1 2 0，整理得3t 2 4t 1 0 ，
1
解得 t 1，
3
故选：D.
7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））在矩形 ABCD 中，O 为 BD 中点且 AD 2AB，将平面 ABD 沿对角线 BD
翻折至二面角 A BD C 为 90°，则直线 AO 与 CD 所成角余弦值为（ ）
A 5 B 5． ．
5 4
C 3 5 D 4 2． ．
25 25
【答案】C
【详解】在平面 ABD中过A 作 AE BD，垂足为E ；
在平面CBD 中过C 作CF BD，垂足为F .
由于平面 ABD 平面BCD，且交线为BD，
所以 AE⊥平面BCD，CF 平面 ABD，
设 AB 1, AD 2，
1
BD AE 1 AB AD AE 2 ,OE OA2 AE2 3
2 2 ，5 2 5
2
同理可得CF ,OF
3
，
5 2 5
以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
A 3 ,0, 2 ,C 2 3 , ,0
则 , D
5
,0,0 ， 2 5 5 5 2 5 2
CD 5 ,
3
,0 ，
10
2 5
设 AO 与CD 所成角为 ，
3
cos O A C D 20 3 5则
OA CD 5 1 25
.
2 2
故选：C
8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在四棱锥P ABCD 中，已知底面 ABCD为矩形，PA 底
面 ABCD, PA 6, AB 1， AD 3 .若 E, F 分别为 AB, PD 的中点，经过C, E, F 三点的平面与侧棱PA相交于
点G .若四棱锥G ABCD 的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
5
A B 13． ． 2 C． D．24 2
【答案】B
【详解】解：根据题意，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
1 3 所以E ,0,0 ，C 1, 3,0 ，F 0, ,3 ， 2 2
设G 0,0, t ，则CG 1, 3, t ,CE 1 3 , 3,0 ,CF 2 1, ,3 ， 2
因为经过C, E, F 三点的平面与侧棱PA相交于点G ，
所以C, E, F ,G四点共面，
所以存在实数 , 使得CG CE CF ，即 1, 3, t 1 , 3
3
,3 ，
2 2
1
1
2
3 2
所以 3 3 ，解得 , t 2，
2 3
t 3
所以G 0,0,2 ，即G 为棱PA的三等分点靠近A 点，
四棱锥G ABCD 的顶点均在球O的半径与边长为1, 3,2的长方体的外接球半径相同，
1 3 4
因为边长为1, 3,2的长方体的外接球半径为 2 ，
2
所以四棱锥G ABCD 的外接球O的半径为 2
故选：B
二 多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．（2022·全国·高二课时练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量 a,b(a 0,b 0)，若 a b，则 a b 0
1 1 1
B．若对空间中任意一点O，有OP OA OB OC ，则P，A，B，C 四点共面
6 3 2
C．已知 a,b,c 是空间的一组基底，若m a c，则 a,b,m 也是空间的一组基底
D．任意向量 a,b,c满足 (a b) c a (b c)
【答案】ABC
【详解】对于A ：空间向量 a,b(a 0,b 0)，若 a b，则 a b 0 ，故A 正确；
对于 B：若对空间中任意一点O，有OP
1 OA 1 OB 1 OC 1 1 1 ，由于 1，则P，A，B，C 四点共面，
6 3 2 6 2 3
故 B 正确；
对于 C：已知 a,b,c 是空间的一组基底，若m a c，则 a,b,a c 两向量之间不共线，故也是空间的一组
基底，故 C 正确；
对于 D：任意向量 a,b,c满足 (a b) c a (b c)，由于 a b 是一个数值，b c 也是一个数值，则说明 c和 a存
在倍数关系，由于 a,b,c是任意向量，不一定存在倍数关系，故 D 错误．
故选：ABC．
10．（2022·山东德州·高一期末）如图，菱形 ABCD 边长为 2，∠BAD=60°，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿
DE 折起，使 A 到 A ，连接 A B， A C ，且 A D DC ，平面 A BE 与平面 A CD 的交线为 l，则下列结论中正
确的是（ ）
A．平面 A DE 平面 A BE B．CD∥l
C．ВС 1与平面 A DE 所成角的余弦值为 2 D．二面角E A B D
7
的余弦值为
7
【答案】ABD
【详解】在菱形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，所以 AB DE ，因为CD / /BE ，
所以 ED⊥DC，因为 A′D⊥DC， A D DE D ，所以CD 平面 A′DE，
因为CD / /BE ，所以BE 平面 A′DE，因为BE 平面 A′BE，
所以平面 A′DE⊥平面 A′BE ，故 A 正确；
因为CD / /BE ，CD 平面 A′BE，BE 平面 A′BE ，所以CD / /平面 A′BE，又平面 A′BE 与平面 A′CD
的交线为 l，所以 CD∥l ，故 B 正确；
由 A 知，BE 平面 A′DE，则BE A′E，又菱形 ABCD 边长为 2，∠BAD＝60°，E 为边 AB 的中点，所以 DE
A′E，又 BE∩DE=E，所以 A′E 平面 BED,，以 E 为原点，分别以 EB，ED,E A′为 x，y，z 轴，建立如图所
示空间直角坐标系：
则 B 1,0,0 , A 0,0,1 ,C 2, 3,0 , D 0, 3,0 ，
所以 BC 1, 3,0 , EA 0,0,1 , A D 0, 3, 1 , A B 1,0, 1 ，
由上可知：CD 平面 A′DE，
设平面 A DE 的一个法向量为：CD 2,0,0 ，
则 cos BC,CD
B C C D 2 1
BC CD ， 12 ( 3)2 2 2
所以有 sin BC,CD 3 1 cos2 BC,CD ，因此选项 C 不正确；
2
显然平面 A BE 的一个法向量为： n ED 0, 3,0 ，
设平面 A BD 的一个法向量为：m x, y, z
A B m
0 x z 0
则有则 ，即 ，所以m 3,1, 3
A D m 0 3y z 0
所以 cos m,n
m n 3 7 D
m n 3 1 3 3 7 ，所以选项 正确，
故选：ABD
11．（2022·全国·高三专题练习）已知O为正方体 ABCD A1B1C1D1 底面 ABCD的中心， E 为棱 B1C1 上动点，
B1E B1C1 ， 0,1 , F 为 BE 的中点，则（ ）
A．平面OEF 平面 ACC1A1
B．过B, E, D三点的正方体的截面一定为等腰梯形
C．OE与DF 为异面直线
D．OE与DF 垂直
【答案】AB
【详解】
连接OB，易知OB 平面 ACC1A1 ．又OB 平面OBE ，所以平面OBE 平面 ACC1A1 ，即平面OEF 平面
ACC1A1 ，所以 A 选项正确；
因为B1E B1C1, 0,1 ，连接 B1D1，过点E 作EM ∥B1D1交C1D1于点M ，连接MD,OD．
因为B1D1 / /BD，
所以EM / /BD．又EM BD，
且根据图形对称性得DM BE ，
所以截面EMDB 必为等腰梯形，所以 B 选项正确；
因为OE 平面EMDB, DF 平面EMDB ，
所以OE与DF 共面，所以 C 选项错误；
以DA, DC, DD1 的正方向分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为 1，则B1E B1C1 ,0,0 ，
由题设点E x,1,1 ，则B1E (x 1,0， 0) ．又B1E ,0,0 ，
1 1
所以 x 1 ，则E 1 ,1,1 ，又O , ,02 2 ，
所以OE
1 1
, ,12 2
，
因为F 为 BE 的中点，B 1,1,0 ，E 1 ,1,1 ，
DF 2 1所以 ,1,
2 2
，
1 2 1 1
若OE DF 0，则 0，整理得2 2 2 2 2
2 5 6 0．
因为 0 1，令 f 2 2 5 6 ，Δ 0 ，无解，
故OE与DF 不垂直，所以 D 选项错误，
故选：AB．
12．（2022·全国·高二单元测试）如图，在边长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点M 在底面正方形 ABCD
内运动，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点M 使得 A1M 平面D1B1C
B A M 2 M 2 ．若 1 ，则动点 的轨迹长度为
2
C．若 A1M // 平面D1B1C ，则动点M 的轨迹长度为 2
D．若 A1M 平面 A1DB ，则三棱锥B1 MD1C 的体积为定值
【答案】BD
【详解】以点D为坐标原点，DA、DC 、DD1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐
标系，
则C 0, 2,0 、B1 2, 2, 2 、D1 0,0, 2 、 A1 2,0, 2 ，
设点M x, y,0 ，其中0 x 2 ，0 y 2 ，
设平面D1B1C 的法向量为m x1, y1, z1 ，CD1 0, 2, 2 ，CB1 2,0, 2 ，
m CD1 2y1 2z1 0
则 ，取 z1 1，则m 1, 1, 1 ，
m CB1 2x1 2z1 0
A1M x 2, y, 2 ，若 A1M 平面D1B1C ，则 A1M //m ，
则 x 2 y 2 ，解得 x 2 2 ， y 2 ，不合乎题意，A 错；
2 2
对于 B 选项，若 A1M x 2 y2 2 2，可得 x 2 y2 2，
1
则点M 在平面 ABCD内的轨迹是以点A 为圆心，半径为 2 的圆的 ，4
2
所以，动点M 的轨迹长度为 ，B 对；
2
对于 C 选项，若 A1M // 平面D1B1C ，则 A1M m，
则 A1M m x 2 y 2 x y 0，
所以，点M 在底面 ABCD的轨迹为线段BD，故点M 的轨迹长度为 BD 2，C 错；
对于 D 选项，因为平面 A1BD 平面 ABCD BD，
若 A1M 平面 A1BD ，则点M 的轨迹为线段BD，
因为BB1 //DD1且BB1 DD1 ，所以，四边形 BB1D1D为平行四边形，
所以，BD//B1D1， M BD ，则点M 到平面D1B1C 的距离为定值，
又因为△D1B1C 的面积为定值，则VB1 MD C V1 M D1B1C 为定值，D 对.
故选：BD.
三 填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.）
13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 a 2, 1,2 ，b 1,1,2 ， c x, 2, 2 ．当 c 2 2
时，若向量 ka b与 c垂直，则实数 k 的值为______．
【答案】 3
【详解】因为 c 2 2 ，所以 x2 22 22 2 2 x 0，
ka b ( 2k 1, k 1,2k 2)，
因为 ka b与 c垂直，
所以 (ka b) c 0 0 ( 2k 1) 2( k 1) 2(2k 2) 0 k 3 .
故答案为： 3
1
14．（2022·全国·高二课时练习）在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若OG OA xOB yOC ，
3
且 G、M、N 三点共线，则 x y ______．
1
【答案】
3
【详解】
若 G、M、N 三点共线，则存在实数 ，使得OG OM 1 ON ，又点 M，N 分别为 OA、BC 的中点，
1
2 3
1 1 1
OM OA ON OB OC 1
1 1 1
则 ， ，则OG OA OB OC ，则 x ，解得 x y ，2 2 2 2 2 2 2 6
1
y 2
1
则 x y .
3
1
故答案为： .
3
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AA1 2. E 、F 分别是BC 、 A1C1
的中点. D 10设 是线段 B1C1 上的（包括两个端点）动点，当直线BD与 EF 所成角的余弦值为 ，则线段BD
4
的长为_______.
【答案】 2 2
【详解】解：如图以E 为坐标原点建立空间直角坐标系：
则E 0,0,0 , F 3 , 1 , 22 2 , B 0, 1,0 , 设D(0, t, 2)( 1 t 1) ，
3 1
则EF , , 2 , BD 0, t 1,2 ，设直线 与 EF 所成角为
2 2
BD
t 1 4
所以 cos E F B D 2 10
2
，即 23t 14t 37 0，
| EF || BD | 5 (t 1)2 4 4
t 37
解得 t 1或 2 2 2（舍去），所以 BD 0 2 2 2 2 ，
23
故答案为： 2 2 ．
16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））矩形 ABCD 中， AB 3, BC 1，现将△ACD沿对角线 AC
折起，得到四面体D ABC ，若异面直线BC 与 AD 所成角为 ，则 BD ______；若二面角D AC B的
3
大小为 ，则 BD ______．
3
7
【答案】 3或1##1或 3
2
【详解】如图所示
在矩形 ABCD中， AB 3, BC 1，所以 AC 2, BCA CAD ，
3
在四面体D ABC 中，
2 2 2
BD BC CA AD BC CA AD 2BC CA 2CA AD 2BC AD
1 4 1 2 2 2 CB AD cos 2 2cos ，其中 为CB 与 AD 的夹角；
2
若异面直线BC 与 AD 所成角为 ，则 或 ，
3 3 3
所以 BD 1或 3；
经检验BD 3 或1均满足题意，故BD 3 或1；
在矩形 ABCD中，作BE AC交 AC 于点E ，DF AC 交 AC 于点F ，
在四面体D ABC 中，作EG AC 交CD 于点G ，则EG / /DF ，所以二面角D AC B的平面角为 BEG .
设 BEG ，
因为BE DF BC cos30 3 ，所以EF AC 2CE AC 2BC sin 30 =1，
2
又四面体D ABC 可知，BE EF , DF EF ，则BE EF 0, DF EF 0，
2 2 2
而 BD BE EF FD BE EF FD +2BE EF 2EF FD 2BE FD
3 = +1+ 3 2 EB FD cos = 5 2 3 3 cos = 5 3 cos ，
4 4 2 2 2 2 2
7 7
若二面角D AC B的大小为 ，则 ，所以 ，即 ．
3 3 BD BD 2 2
7
故答案为： 3或 1； ．
2
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应写出文字说明 证明过
程或演算步骤.）
17．（2022·重庆南开中学高二期末）四棱锥P ABCD ，底面为矩形，PD 面 ABCD，且 AB 4, BC PD 2，
Q点在线段 AB 上，且 AC 面PQD .
(1)求线段 AQ 的长；
(2)对于（1）中的Q，求直线 PB与面PDQ所成角的正弦值.
【答案】(1)1
(2) 30
10
(1) AC 面PQD, AC QD ，
在矩形 ABCD中，易得：
ADQ DCA AD AQ AQ AD
2 BC 2 4
1；
DC DA DC AB 4
(2)如四建立空间直角坐标系：
则D 0,0,0 , P 0,0,2 , B 2,4,0 , A(2,0,0),C 0,4,0 ，
PB 2,4, 2 ，
由题意可知： AC 为平面PDQ的一个法向量，
AC 2,4,0 ，
cos PB, AC P B A C 4 16 12 3 30
PB AC 20 24 2 5 2 6 30 10 ，
PB PDQ 30直线 与面 所成角的正弦值为 .
10
18．（2022·河北邯郸·高三开学考试）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为梯形，
AB 2AD 2DC, AB∥DC, AB AD，平面PCB 平面 ABCD .
(1)证明：PB AC ；
(2)若 PCB 为正三角形，求二面角B PA C 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 42
7
（1）证明：由题意，设 AB 2AD 2DC 2，又 AB∥DC, AB AD ，
得 AC BC 2 ，又 AB 2 ，
所以 AC 2 BC 2 AB2 ，所以 AC BC ，
又平面PCB 平面 ABCD CB ，且平面PCB 平面 ABCD, AC 平面 ABCD，
所以 AC 平面PCB，
又PB 平面PCB，所以 AC PB；
（2）解：方法一（向量法）：取BC 的中点O为坐标原点，以OP的方向为 z 轴正方向，过点O分别作 AB
和 AD 的平行线，分别为 x 轴和 y 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz ，
由 PCB 6为正三角形，BC 2 ，得PO ，
2
3 1 1 1 1 1 6
则 A , ,0 , B , ,0 ,C , ,0 , P 0,0, ，
2 2 2 2 2 2
2
则 AB 2,0,0 , AP 3 1 , ,
6
, AC 1, 1,0 ，
2 2 2
n AB 0
设 n x1, y1, z
1 为平面 ABP 的法向量，则有 ，
n AP 0
2x1 0
即 3 1 6 ，可取 n 0, 6,1 ,，
x1 y1 z 0 2 2 2 1
设m x2 , y2 , z2 为平面 ACP 的法向量，
6
同理m 1, 1, ,
3
6
6
所以 cos n, m
n m 7 3
7 ，n m 7 8
3
设二面角B PA C 的平面角为 ，
2
则 sin 7 42 1 (cos n,m )2 1 ，
7 7
故二面角B PA C 42的正弦值为 .
7
方法二（几何法）：如图，取PA的中点M ，连接CM ，在平面PAB中作MN PA，连接CN ，
由（1）知 AC BC 2 ，又 PCB 为正三角形，
所以PC BC PB 2 ，所以 PC AC ，
所以CM PA，又MN PA，
所以 CMN 为二面角B PA C 的平面角，
因为 AC 平面PCB，PC 平面PCB，所以 AC PC ，
所以PA PC 2 AC 2 2,CM AM 1，
在△ABP中，PB 2, AB PA 2，
2 2 2
所以 cos BAP PA AB PB 4 4 2 3 ，
2PA AB 8 4
所以 sin BAP 7 , tan BAP 7 7 AM 4 , MN AM tan BAP , AN ，
4 3 3 cos BAP 3
在△ACN 中， CAN 45 ，
所以CN AC 2 AN 2 2AC AN cos CAN 10 ，
3
2 2
7
12
10
2 2 2 3 3
在 MNC 中， cos CMN MN CM CN 7 ，
2MN CM 7
2 7 1
3
2
所以 sin CMN 7 42 1 7
，
7
即二面角B PA C 42的正弦值为 .
7
19．（2022·全国·高二单元测试）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC 为等腰直角三角形，
AB AC ，AB＝AC＝2， AA1 4，M 是侧棱CC1 上一点，设MC h ．
(1)若 h 1，求证： BM A1C ；
(2)若 h 2，求直线BA1与平面 ABM 所成角的正弦值；
(3)若 h 3，求点 M 到平面 A1BC 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 10
5
(3)1
（1）由题意可得 AB，AC， AA1两两垂直，以 A 为原点，AB，AC， AA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
当 h＝1 时，B 2,0,0 ，M 0,2,1 ， A1 0,0,4 ，C 0,2,0
则BM 2,2,1 ， A1C 0,2, 4
∵ BM A1C 2 0 2 2 1 4 0
∴ BM A1C ．
（2）当 h＝2 时，B 2,0,0 ，M 0,2,2 ， A1 0,0,4 ， A 0,0,0 ，
BA1 2,0, 4 ， AB 2,0,0 ， AM 0,2,2 ，设平面 ABM 的法向量 n x, y, z
n A B 2x 0 则 ，取 y＝1，得 n 0,1, 1 是平面 ABM 的一个法向量
n AM 2y 2z 0
BA 设直线 1与平面 ABM 所成角为 0
π
2
BA n 1
则 sin cos BA1, n
4 10 BA 51 n 20 2
∴直线BA1与平面 ABM
10
所成角的正弦值为 ．
5
（3）
当 h＝3 时，B 2,0,0 ，M 0, 2,3 ， A1 0,0,4 ，C 0,2,0 ，
BM 2, 2,3 ，BA1 2,0,4 ，BC 2,2,0 ，
A BC m a,b,c m B A 1 2a 4c 0设平面 1 的法向量 ，则 ，
m BC 2a 2b 0
取 a＝2，得m 2,2,1 是平面 A1BC 的一个法向量
m BM
∴点 M 到平面 A1BC 的距离 d
m
1．
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，BC BB1，
BC1 B1C O ， AO 平面BB1C1C .
(1)求证： AB B1C ；
(2)若 B1BC 60 ，直线 AB 与平面BB1C1C 所成的角为30 ，求二面角 A1 B1C1 A的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
1
(2)
7
(1)∵ AO 平面BB1C1C ， B1C 平面BB1C1C
∴ AO B1C ，
∵ BC BB1，四边形BB1C1C 是平行四边形，
∴四边形BB1C1C 是菱形.
∴ BC1 B1C ，
∵ AO BC1 O ， AO 平面 ABC1，BC1 平面 ABC1
∴ B1C 平面 ABC1，
∵ AB 平面 ABC1
∴ B1C AB .
(2)∵ AB 与平面BB1C1C 所成角为30 ， AO 平面BB1C1C ，
∴ ABO 30 ，
若 B1BC 60 ，则△BCB1是正三角形.
令BC 2，则B1C 2，BO 3 ，OA 1，
以O为原点，分别以OB，OB1，OA所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，
则O 0,0,0 ，B 3,0,0 ，B1 0,1,0 ， A 0,0,1 ，C1 3,0,0 ，
设平面 AB1C1的一个法向量为 n1 x, y, z ，
AB1 0,1, 1 ，C1B1 3,1,0 ，
n1 AB1 y z 0
，令 x 1，解得 n1 1, 3, 3 ，
n1 C1B1 3x y 0
设平面B1C1A1的一个法向量为 n2 x, y, z ，
A1B1 AB ( 3,0, 1)
n2 A B 0 3x z 0
1 1
，即 ，令 x 1，解得 n2 1, 3, 3 ，
n2 C1B1 0 3x y 0
设二面角 A1 B1C1 A的大小为 ，由图知 非钝角，
n n
∴ cos cos n1,n
1 2 12 .n1 n2 7
1
∴二面角 A1 B1C1 A的余弦值为 .7
21．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝
1，AB＝2，点 E 在棱 AB 上移动.
(1)当 E 为 AB 的中点时，求异面直线 AC 与D1E 所成角的余弦值；
(2)AE 等于何值时，二面角D1 EC D 的大小为 .4
【答案】(1) 15 ；
15
(2) 2 3 .
(1)如图，D为坐标原点，直线DA, DC, DD 分别为 x, y, z1 轴，建立空间直角坐标系，
则 A1 1,0,1 , D1 0,0,1 , E 1,1,0 , A 1,0,0 ,C 0,2,0
∴ D1E (1,1, 1), AC ( 1,2,0)，
设 AC 与 D1E 所成的角为 ，
AC D1E 1 2 0
cos 15则 ，
AC D1E 5 3 15
AC D E 15即异面直线 与 1 所成角的余弦值为 ；
15
(2)设 AE x，0 x 2，
则E 1, x,0 , D1 0,0,1 ,C 0,2,0 ，
CE 1, x 2,0 ，CD1 0, 2,1 ，
设平面D1EC 的法向量m a,b,c ，
m C E a (x 2)b 0
则 ，取b 1，得m 2 x,1, 2 ，
m CD1 2b c 0
平面 AECD的法向量可取 p 0,0,1 ，
cos | m p | 2 2
4 | m | | p | (2 x)2 5 2
，
解得 x 2 3 或 x 2 3 （舍去）.
AE 2 3时，二面角D1 EC D 的大小为 .4
22．（2022·黑龙江·哈九中高二开学考试）如图所示，四棱锥P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，
PA CD, PA 1, PD 2 ，E 为PD上一点，PE 2ED .
(1)求证：PA 平面 ABCD；
(2)在侧棱PC 上是否存在一点 F，使得BF // 平面 AEC ？若存在，指出 F 点的位置，并证明；若不存在，说
明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析.
（1） PA AD 1, PD 2 ，
PA2 AD2 PD2 ，
PA AD ，
又PA CD, AD CD D, AD、CD 面 ABCD，
PA 平面 ABCD .
（2）点A 为原点，以 AB, AD, PA为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 A 0,0,0 , B 1,0,0 , D 0,1,0 ,C 1,1,0 , P 0,0,1 , E 0,
2 , 1 ，
3 3
AE 0, 2 , 1故 AC 1,1,0 , 3 3 ，
设平面 AEC 的法向量 n x, y, z ，则
n A C 0
x y 0
，即 2 1 ，令 y 1，则 x 1, z 2，
n AE 0 y z 0 3 3
故则 n 1,1, 2 ，
假设侧棱PC 上存在一点F , 且CF CP , , ，使得BF // 平面 AEC , 即BF n 0，
又因为BF BC CF 0,1,0 , , ,1 , ，
故BF n 1 1 1 2 1 2 0 ，即 1 2 ，
所以存在PC 的中点F , 使得BF // 平面 AEC ．
