第二章 直线和圆的方程 易错疑难集训（一）-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

《第二章 直线和圆的方程》易错疑难集训（一）
一、易错题
易错点1　忽略直线的斜率不存在的情况
1.[2022清华附中高二期中]已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m的值为(　　)
A.1　　　B.0　　　C.0或2　　　D.0或1
2.[2022浙江杭州二中高二期中]已知两点A(-1,2),B(m,3),且m∈[--1,-1],则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.[,) B.(,]
C.[,)∪(,] D.[,]
易错点2 混淆“截距”与“距离”
3.直线=1在y轴上的截距是(　　)
A.|b|　　B.-b2　　C.b2　　D.±b
4.已知直线l的斜率为,且与两坐标轴所围成的三角形的周长是30,则直线l的方程为　　　　.
易错点3 忽略截距为0而致错
5.(多选)[2022湖北襄阳四中高二期中]若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可为(　　)
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
6.[2021福建厦门一中高二摸底考试]已知直线l过点(2,3),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍,则直线l的方程为　　　　.
二、疑难题
疑难点1 求直线斜率的取值范围
1.[2022山西怀仁一中高二上期中]将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围是(　　)
A.[0,1] B.[0,2] C.[-1,0) D.[-2,0]
2.已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB不相交,则直线l的斜率的取值范围是　　　　.
疑难点2 直线斜率几何意义的应用
3.已知函数f(x)=2x,且aA.>> B.>>
C.>> D.>>
4.[2022浙江宁波慈溪中学高二期中]已知P(-3,2),Q(3,4)及直线ax+y+3=0.若沿的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点),则实数a的取值范围是　　　　　.
疑难点3　对两圆的位置关系考虑不全面
5.已知集合A={(x,y)|x(x-1)≤y(1-y)},B={(x,y)|x2+y2≤a},若A B,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(2,+∞)
C.[2,+∞) D.[,+∞)
6.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a的值为　　　　.
7.已知圆C:(x-1)2+y2=4.
(1)若直线l经过点A(-1,3),且与圆C相切,求直线l的方程;
(2)若圆C1:x2+y2-2mx-2y+m2-8=0与圆C相切,求实数m的值.
参考答案
一、易错题
1.D　当m=0时,直线AB与直线CD的斜率都不存在,且不重合,此时直线AB与直线CD平行;当m≠0时,kAB=,kCD=,由=,解得m=1.综上,m的值为0或1.
2.D　①当m=-1时,α=;②当m≠-1时,kAB=∈(-∞,]∪[,+∞),所以α∈[,)∪(,].综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是[,].
3.B　令x=0,得y=-b2,所以直线=1在y轴上的截距为-b2.故选B.
4.5x-12y+60=0或5x-12y-60=0　解析 由直线l的斜率为,可设直线l的方程为y=x+b.令x=0,得y=b;令y=0,得x=b.由题意得|b|+|b|+ =30,即|b|+|b|+|b|=30,所以b=±5.所以所求直线l的方程为y=x±5,即5x-12y+60=0或5x-12y-60=0.
5.ABC　当直线经过原点时,直线斜率k=2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0.当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k或1+2=k,得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0或x+y-3=0.
6.3x-2y=0或x+2y-8=0　解析 方法一　当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,设其在y轴上的截距为b,则直线l的方程为=1,将点(2,3)代入方程,解得b=4,所以直线l的方程为x+2y-8=0.当直线l在两坐标轴上的截距均为0,即直线l过原点时,满足题意,此时直线l的方程为y=x,即3x-2y=0.
方法二　易知直线l的斜率存在且不为零,则可设直线l的方程为y-3=k(x-2),k≠0.令x=0,得y=3-2k;令y=0,得x=2.由题意知2(3-2k)=2,即4k2-4k-3=0,解得k=或,所以直线l的方程为3x-2y=0或x+2y-8=0.
二、疑难题
1.D　要想使折叠后点O落在线段BC上,可取BC上任意一点D,作线段OD的垂直平分线l,以l为折痕可使点O与点D重合,如图.因为kOD≥kOB=,k=,所以-2≤k<0.又当折叠后点O与点C重合时,k=0,所以-2≤k≤0,所以实数k的取值范围是[-2,0].
2.(-1,1)　 解析 如图所示,因为kPA==-1,kPB==1,且直线l与线段AB不相交,所以由图可知直线l的斜率的取值范围是(-1,1).
3.A　=,它的几何意义为过点(x,2x)和点(1,0)的直线的斜率.如图所示,根据图象知>>.故选A.
4.(,)　 解析 直线l:ax+y+3=0过定点A(0,-3),斜率为-a.易知kPQ=,kAQ=,kl=-a,如图,若l与PQ的延长线相交,可知kPQ5.C　解析 集合A={(x,y)|x(x-1)≤y(1-y)}={(x,y)|(x)2+(y)2≤}表示的图形是以M(,)为圆心,为半径的圆M及其内部.集合B={(x,y)|x2+y2≤a}表示的图形是以N(0,0)为圆心,为半径的圆N及其内部.因为A B,所以a>0,且圆M内含或内切于圆N,所以≤||,即||≥,解得a≥2或a≤0(舍去),所以实数a的取值范围是[2,+∞).
6.34或14　解析 设圆C1、圆C2的半径分别为r1,r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.由两圆相切,得|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|.因为r1=1,|C1C2|==5,所以r2+1=5或|1-r2|=5,可得r2=4或r2=6或r2=-4(舍去),因此50-a=16或50-a=36,解得a=34或a=14.
7. 解析 (1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,与圆C相切,符合题意.
若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0,则=2,解得k=,
所以直线l的方程为5x+12y-31=0.
综上,直线l的方程为x=-1或5x+12y-31=0.
(2)圆C1的方程可化为(x-m)2+(y-1)2=9.
若圆C1与圆C外切,则=5,解得m=±2+1.
若圆C1与圆C内切,则=1,解得m=1.
综上,m=±2+1或m=1.