第二章 直线和圆的方程易错疑难集训（二）-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

《第二章 直线和圆的方程》易错疑难集训（二）
一、易错题
易错点1 忽略方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件
1.[2021天津四中高三上学情调查]“m>”是“方程x2+y2-2mx-m2-5m+3=0表示圆”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1
3.[2022重庆巴蜀中学高二月考]若点(1,1)在圆x2+y2+2ax-2y+2=0外,则a的取值范围是(　　)
A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
4.当实数m的值为多少时,关于x,y的方程(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0表示圆
易错点2 忽略题中的隐含条件致误
5.[2022山西运城高三模拟]若直线l:kx-y+4+2k=0与曲线y=有两个交点,则实数k的取值集合是(　　)
A.{k|k=±1} B.{k|k<-}
C.{k|-1≤k<-} D.{k|-1≤k<}
6.若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长不大于,则实数t的取值范围为　　　　.
7.已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的标准方程.
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于不同的两点A,B,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
8.已知曲线C的方程为ax2+ay2-2a2x-4y=0,其中a≠0,且a为常数.
(1)判断曲线C的形状,并说明理由.
(2)设直线l:y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M,N,且|OM|=|ON|(O为坐标原点),求曲线C的方程.
二、疑难题
疑难点　与圆有关的动点轨迹方程的探求
1.若动圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等,则圆心M的轨迹方程是(　　)
A.x-y=0 B.x+y=0
C.x2+y2=0 D.x2-y2=0
2.已知圆的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,则圆心的轨迹方程为　　　.
3.[2022浙江省温州中学高二月考]已知△ABC中A(-2,0),B(2,0),若BC边上的中线为定长3,则顶点C的轨迹方程为　　　　.
4.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON(O为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
5.已知圆O:x2+y2=4上的一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
参考答案
一、易错题
1.A　解析 方法一　方程x2+y2-2mx-m2-5m+3=0表示圆需满足(-2m)2-4(-m2-5m+3)>0,解得m<-3或m>,所以“m>”是“方程x2+y2-2mx-m2-5m+3=0表示圆”的充分不必要条件,故选A.
方法二　将x2+y2-2mx-m2-5m+3=0化为(x-m)2+y2=2m2+5m-3,令2m2+5m-3>0,得m<-3或m>,所以“m>”是“方程x2+y2-2mx-m2-5m+3=0表示圆”的充分不必要条件,故选A.
2.C　因为x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,所以[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,得m>1.又圆C过原点,所以2m2-6m+4=0,所以m=2或m=1(舍去),所以m=2.
3.C　因为点(1,1)在圆外,所以12+12+2a-2+2>0,得a>-1.又方程x2+y2+2ax-2y+2=0表示圆,所以4a2+4-8>0,解得a>1或a<-1.综上,a的取值范围是(1,+∞).
4. 解析 要使方程(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0表示圆,需满足2m2+m-1=m2-m+2,得m2+2m-3=0,
所以m=-3或m=1.
①当m=1时,方程为x2+y2=,不合题意,舍去;
②当m=-3时,方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,表示以原点为圆心,以为半径的圆.
综上,m=-3.
5.C　由题意,直线l的方程可化为(x+2)k-y+4=0,所以直线l恒过定点A(-2,4).y=可化为x2+y2=4(y≥0),其表示以(0,0)为圆心,半径为2的圆的一部分,如图.当l与该曲线相切时,点(0,0)到直线的距离d==2,解得k=.设B(2,0),则kAB==-1.由图可得,若要使直线l与曲线y=有两个交点,则-1≤k<.
6.(-4,]∪[,4)　解析 设圆的半径为r,直线被圆截得的弦长为l.圆心(0,0)到直线y=x+t的距离d=,由题意,得d7. 解析 (1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由,得,
所以圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0,
化为标准方程,得(x-3)2+(y+2)2=9.
(2)设存在符合条件的实数a,
由于直线l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在直线l上,所以直线l的斜率kPC=-2,
又kAB=a=,所以a=.
又圆心C(3,-2)到直线x-y+1=0的距离d==>3,此时直线与圆C无交点,与题目矛盾.
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
8. 解析 (1)将曲线C的方程化为x2+y2-2axy=0,即(x-a)2+(y)2=a2+,
可知曲线C是以点P(a,)为圆心,以为半径的圆.
(2)因为圆P过坐标原点,且|OM|=|ON|,
所以OP⊥MN,所以=,所以a=±2,
当a=-2时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为,
则圆心P(-2,-1)到直线l:y=-2x+4的距离d==>,
所以直线l与圆P相离,不合题意,舍去,检验可知当a=2时符合题意.
这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0.
二、疑难题
1.D　圆心M的坐标(x,y)应满足y=x或y=-x,等价于x2-y2=0.
2.x+y-2=0(x≠1) 　 解析 因为方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0表示圆,所以(-2a)2+[2(a-2)]2-4×2=8(a-1)2>0,即a≠1.易知圆心坐标为(a,2-a),且a≠1.设圆心坐标为(x,y),则有,消去a,得x+y-2=0(x≠1),即所求圆心的轨迹方程.
3.(x+6)2+y2=36(y≠0)　 解析 设C(x,y),则BC的中点D(,).因为|AD|=3,所以(+2)2+()2=9,整理得(x+6)2+y2=36.因为点C不能在x轴上,所以y≠0.综上,点C的轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).
4. 解析 如图所示,连接OP,MN.
设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,).
因为平行四边形的对角线互相平分,
所以=,=,所以.
又点N(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
所以(x+3)2+(y-4)2=4,
因为点P不在直线OM上,所以所求点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4(且).
5. 解析 (1)设AP的中点为M(x,y),x≠2,
则点P的坐标为(2x-2,2y).
因为点P在圆x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+(2y)2=4,
整理,得(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,
即x2+y2-x-y-1=0.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.