第七章 复数 易错疑难集训-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第七章 复数》易错疑难集训
一、易错题
易错点1　对复数的有关概念理解不透彻
1.[2022河南安阳高一联考]若复数z=4m2+(2m-1)i-1为纯虚数,则实数m=(　　)
A.2 B.± C. D.-
2.(多选)已知复数z的实部为1,虚部的绝对值为3,则下列说法正确的是(　　)
A.z+是实数
B.z+<2
C.z+>1
D.在复平面内对应的点不可能在第三象限
3.(多选)下面关于复数的四个命题中,正确的是(　　)
A.若复数z∈R,则∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z满足∈R,则z∈R
D.若复数z,z1满足zz1∈R,则z=
易错点2　误用判别式求解复数方程
4.在复数范围内方程x2-5|x|+6=0的解的个数为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
5.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,则实数k的值为　　　　.
二、疑难题
疑难点1　巧用in的周期性解题
1.[2022福建泉州五中高一期中]()2 022-()2 023=(　　)
A.0 B.2 C.-1+i D.1+i
2.(多选)[2022广东东莞东华高级中学高一下期中]若(1+i)n=(1-i)n,则n可以是(　　)
A.102 B.104 C.106 D.108
3.[2022上海市大同中学高一月考]计算:+…+=　　　　.
疑难点2　利用复数的几何意义解决有关问题
4.在复平面内,△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5.对于n个复数z1,z2,…,zn,如果存在n个不全为零的实数k1,k2,…,kn,使得k1z1+k2z2+…+knzn=0,就称z1,z2,…,zn线性相关,若复数z1=1+2i,z2=1-i,z3=-2线性相关,则k1∶k2∶k3可以为(　　)
A.2∶4∶3 B.1∶3∶2
C.1∶2∶3 D.3∶4∶2
6.[2022山东潍坊高一期末]定义域是复数集的子集的函数称为复变函数,f(z)=z2,z∈C就是一个多项式复变函数.给定f(z)之后,对任意一个复数z0,通过计算公式zn+1=f(zn),n∈N,可以得到一列值z0,z1,z2,…,zn,….若f(z)=z2,z∈C,z0=1-i,当n≥3时,zn=(　　)
A. B. C.22n+1 D.4n-1
7.[2022安徽宿城一中高一月考]若复数z1,z2满足|z1|=1,|z2|=3,则|z1+z2|的最小值为　　　　,最大值为　　　　.
8.定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置复数,记为z'=b+ai,显然(z')'=z,即z与z'互为转置复数.
(1)结合共轭复数的一些运算性质,如 等,还有一些常用结论,如z= z∈R等,尝试发现两个有关转置复数的运算性质(如:(z1+z2)'=z'1+z'2)或其他结论;
(2)对任意的两个复数z1,z2,定义运算“*”:z1*z2=z'1··z'2,设z=x+yi(x,y∈R),求复平面上的点集M={(x,y)|z*z'=8}所围成区域的面积.
9.已知复数z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,z0和实数b是关于x的方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形 并求该图形的面积.
参考答案
一、易错题
1.D　由题意得可得m=-.(对于纯虚数,应保证虚部不为0.)
2.ACD　因为复数z的实部为1,虚部的绝对值为3,所以z=1±3i.当z=1+3i时,=1-3i,在复平面内对应的点在第四象限,z+=1+3i+=2;当z=1-3i时,=1+3i,在复平面内对应的点在第一象限,z+=1-3i+=2.所以选项A,C,D正确,选项B错误.故选ACD.
3.AC　设复数z=a+bi(a,b∈R),则A中,=a-bi(a,b∈R),因为z∈R,所以b=0,因此=a∈R,故A正确;B中,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,因为z2∈R,所以ab=0,若a=0,b≠0,则z R,故B错误;C中,i,因为∈R,所以=0,即b=0,所以z=a∈R,故C正确;D中,设z1=c+di(c,d∈R),则zz1=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,因为zz1∈R,所以ad+bc=0,若能满足ad+bc=0,但z≠,故D错误.故选AC.
4.C　设x=a+bi(a,b∈R),代入方程并整理得a2-b2-5+6+2abi=0,所以解得或或故选C.
5.-2或2　解析设x0是方程的实数根,代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0,所以解得或所以实数k的值为-2或2.
二、疑难题
1.C　()2 022-()2 023=[]2 022-[]2 023=(-i)2 022-i2 023=i4×505+2-i4×505+3=-1+i.
2.BD　因为(1+i)2=1+2i-1=2i,(1-i)2=1-2i-1=-2i,所以(1+i)n=[(1+i)2=(2i,(1-i)n=[(1-i)2=(-2i,要使(1+i)n=(1-i)n,则(2i=(-2i,则为偶数,故选BD.
3.-1　解析因为=-i,=-1,=i,=1,又=1,所以+…+=506×(-i-1+i+1)-=-1.
4.A　设复数z与复平面内的点Z相对应.由题意,可知点Z到△ABC三个顶点的距离相等,所以由三角形外心的定义,可知点Z为△ABC的外心.
5.A　由题意得k1·(1+2i)+k2·(1-i)+k3·(-2)=0,所以因为k1=2,k2=4,k3=3为方程组的一组解,所以k1∶k2∶k3可以为2∶4∶3.故选A.
6.A　依题意,z1=(1-i)2=-2i,z2=(-2i)2=-4,z3=(-4)2=24,则当n≥3时,zn>0.当n≥3时,由zn+1=,得log2zn+1=2log2zn,则=2.又log2z3=4,故当n≥4时,log2zn=log2z3····…·=4×2n-3=2n-1,显然log2z3=4也满足上式,所以当n≥3时,log2zn=2n-1,即zn=.
7.2　4　解析设z1,z2对应的向量为,,由向量加法法则可得|||-|||≤||≤||+||,当,反向时左边取等,当,同向时右边取等,即||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|,故|z1+z2|的最小值为2,最大值为4.
8.解析(1)有关转置复数的运算性质:
①z'=;②+()'=0.
(2)由运算“*”的定义得z*z'=z'··(z')'=i··z=-i2·z·+z·=2z·=8,得|z|=2,所以M所围成区域的面积S=4π.
9.解析(1)因为z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i为纯虚数,
所以即
解得a=3,
此时z0=2i,由根与系数的关系得解得b=3.
(2)复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,即1≤|z|≤3,
满足不等式|z|≥1的点Z的集合是以原点为圆心,1为半径的圆的外部(包括边界),
满足不等式|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心,3为半径的圆的内部(包括边界),
所以所求点Z的集合是以原点为圆心,以1和3为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界).
该图形的面积S圆环=π[(3)2-12]=17π.