第六章 平面向量及其应用单元检测-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第六章 平面向量及其应用单元检测
一、单选题
1．下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
2．如图，在中，D是BC上的点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知向量，，且，则向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若向量，，且，则（ ）
A． B． C．3 D．6
7．在中，角的对边分别是.已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若与平行，与平行，则与平行
C．若且则
D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积
10．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．与不共线
11．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）
A．，，； B．，，；
C．，，； D．，，.
12．在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（ ）
A． B．向量，夹角的最小值为
C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为
三、填空题
13．四边形中，，且，是单位向量，则四边形是__________.
14．已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__.
15．已知，向量，，且，则θ＝______________．
16．一艘船在处看到一个灯塔在北偏东方向，向东行驶后，船到达处，看到灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为________．
四、解答题
17．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．设是不共线的两个向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数的值．
20．设两个向量满足，.
(1)若，求的夹角；
(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
21．已知向量.
(1)求和；
(2)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？
22．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题．
(1)若，求的面积;
(2)求的取值范围．
条件①；条件 ②．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
答案
1．D
2．C
3．C
4．D
5．A
6．D
7．A
8．B
9．AD
10．ABD
11．AD
12．AC
13．菱形
14．
15．
16．
17.（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
18．（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
19．（1）证明:因为，
而
所以，
所以与共线，且有公共点，
所以三点共线
（2）因为与共线
所以存在实数，使得，
因为与不共线，
所以，
解得，.
20．（1）解：由 ，得 ,
又 , 所以，
所以，
又因为 ,
所以的夹角为 ；
（2）解：由已知得，
则，
因为向量与的夹角为钝角, 所以, 解得，
设,
则, 无解, 故两个向量的夹角不可能为 ,
所以向量与的夹角为钝角时, 的取值范围为.
21．（1）因为向量，则，，
所以，.
（2）依题意，，由（1）知，
由，解得，于是当时，与共线，
且，即有与方向相反，
所以当时，与共线，并且它们反向共线.
22．（1）选条件①，，，又，
，而，故；
选条件②，，，
即，，
又，故.
在中，当，，时，
由余弦定理得：，
即，，
所以.
（2）由题设及小问1可知：，，故由正弦定理得：
，，故(当且仅当时等号成立)，
即.