第十章 概率 培优训练-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第十章　概率》培优训练
一、单项选择题
1.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.[2022浙江杭嘉湖金四县区高二下模考]已知事件A,B相互独立,P(A)=0.4,P(B)=0.3,则P(A+B)=(　　)
A.0.58 B.0.9 C.0.7 D.0.72
4.在平面直角坐标系中,从下列5个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取3个,这3点能构成三角形的概率是(　　)
A. B. C. D.1
5.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,bA. B. C. D.
6.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　)
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
7.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(　　)
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
8.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.[2022广东茂名高一下期末]一个质地均匀的正四面体,四个面分别标有数字1,2,3,4.抛掷该正四面体两次,依次记下它与地面接触的面上的数字.A表示事件“第一次的点数是1”,B表示事件“第二次的点数是2”,C表示事件“两次点数之和是4”,则(　　)
A.A与B相互独立
B.A与C相互独立
C.P(A+C)=
D.P(BC)=
10.[2022江苏徐州高二下期中]一批产品共有5件,其中有3件是一等品,2件是二等品,给出下列4个结论,其中正确的有(　　)
A.从中不放回地抽取2次,每次任取1件,恰有1件是一等品的概率是
B.从中一次性取2件,至少有1件是一等品的概率是
C.从中有放回地抽取2次,每次任取1件,恰有1件是一等品的概率是
D.从中有放回地抽取2次,每次任取1件,至少有1件是一等品的概率是
三、填空题
11.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是　　　　.
12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为　　　　.
13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　.
14.[2022江西上饶高三一模]算盘是中国传统的计算工具.下图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位,……,上面1粒珠(简称上珠)代表5,下面1粒珠(简称下珠)代表1,即5粒下珠的大小等于同组1粒上珠的大小.现从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠(约定每档的上珠中最上面的1粒和下珠中最下面的1粒不使用,上珠只能往下拨,下珠只能往上拨),则算盘表示的整数能够被5整除的概率为　　　　.
四、解答题
15.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.
经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
16.[2022云南丽江高一下期末]随着金融市场的发展,越来越多的人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的取值,以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数;(中位数结果用小数表示,小数点后保留两位小数)
(2)现按照分层随机抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70]的投资者中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行投资调查,求至少有1人年龄在[60,70]的概率.
17.随着经济全球化、信息化,企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引、留住、培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务.在此背景下,某信息网站在15个城市对刚毕业的大学生的月平均工资和月平均期望工资进行了调查,数据如图所示.
(1)若某大学毕业生从这15个城市中随机选择 1个城市就业,求该生选中月平均工资高于 8 500元的城市的概率;
(2)若从月平均期望工资与月平均工资之差的绝对值高于1 000元的城市中随机选择2个城市,求这2个城市的月平均期望工资都低于 8 500元的概率.
18.[2022安徽宿州重点中学高一上期末]某公司为了解当地用户对其产品的满意度,从该地的A,B两地区分别随机调查了40名用户,根据用户对产品的满意度评分(单位:分),得到A地区的用户满意度评分的频率分布直方图(如图)和B地区的用户满意度评分的频数分布表(如表1).
满意度评分 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 2 8 14 10 6
表1
满意度评分 低于70分 [70,90) [90,100]
满意度等级 不满意 满意 非常满意
表2
(1)分别估计A,B两地区样本用户满意度评分低于70分的频率;
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级(如表2),将频率看作概率,从A,B两地区的用户中各随机抽查一名用户进行调查,求至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率.
19.[2022华中师范大学第一附属中学高一下期末]在中国共产党第二十次全国代表大会开幕会上,习近平同志在报告中用一组组数据,说明十年来我国经济社会发展所取得的非凡成就.某地为了解居民可支配收入情况,随机抽取100人,经统计,这100人去年可支配收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内,按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6组,频率分布直方图如图所示,若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.
(1)求a,b的值,并估计这100位居民去年可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)用样本的频率估计概率,从该地居民中抽取甲、乙、丙3人,若每次抽取的结果互不影响,求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率.
20.[2022北京通州区高一下期末]小明同学与甲、乙二位同学进行一场乒乓球比赛,每局两人比赛,没有平局且一局决出胜负.已知每局比赛小明胜甲的概率为,小明胜乙的概率为,甲胜乙的概率为,比赛胜负间互不影响.规定先由其中两人进行第一局比赛,后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的比赛,在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者,比赛结束.让小明决定第一局的两个比赛者(小明可以选定自己比赛,也可以选定甲、乙比赛).
(1)若小明选定第一局由甲、乙比赛,求“只进行三局,小明就成为获胜者”的概率;
(2)请帮助小明进行第一局的决策,使得小明最终成为获胜者的概率最大,说明理由.
参考答案
一、单项选择题
1.D　从7个整数中随机取2个不同的数,共有21种取法,分别是{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},{2,8},{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{4,5},{4,6},{4,7},{4,8},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{6,8},{7,8},取得的2个数互质的情况有14种,根据古典概型的概率计算公式,得这2个数互质的概率为.故选D.
2.C　从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取2张,共有15种取法,它们分别是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种取法,所以所求概率P=.故选C.
3.A　由题意知P(AB)=P(A)P(B)=0.12,故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.12=0.58.
4.C　从5个点中任取3个点,样本空间Ω={ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,
CDE},共10个样本点.记“选出的3个点不能构成三角形”为事件M,则M={ACE,BCD},共2个样本点,则能构成三角形的概率为1-P(M)=1-.
5.C　组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本空间Ω={123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432},共24个样本点.记“这个三位自然数是‘凹数’”为事件A,则A={213,214,312,314,324,412,413,423},共8个样本点,所以这个三位自然数为“凹数”的概率P(A)=.故选C.
6.B　事件甲发生的概率P(甲)=,事件乙发生的概率P(乙)=,事件丙发生的概率P(丙)=,事件丁发生的概率P(丁)=.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为,P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为,P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误.
7.D　方法一　设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲,在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙,在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙,由题意可知,P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3,P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3,P丙=2p3[p1·(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0,P丙-P乙=2p1·(p3-p2)>0,所以P丙最大.
方法二(特殊值法)　不妨设p1=0.4,p2=0.5,p3=0.6,则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4;在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52;在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以P丙最大.
8.A　 因为阳数有1,3,5,7,9,阴数有2,4,6,8,10,所以从阳数和阴数中各取一数的所有可能结果共有25个,满足差的绝对值为5包含的样本点有(1,6),(3,8),(5,10),(7,2),(9,4),共5种可能结果,则所求概率P=.故选A.
二、多项选择题
9.AC
10.AC　记3件一等品分别为A,B,C,2件二等品分别为a,b.
三、填空题
11.　解析将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种情况:{(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,5),(6,6)},记“点数和为5”为事件A,则A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},共4种情况,则所求概率P(A)=.
12.　解析设5名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊,则从甲、乙等5名同学中随机选3名,有10种情况,分别是甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊、乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊,其中甲、乙都入选有3种情况,所以甲、乙都入选的概率P=.
13.　　解析依题意得,甲、乙两球都落入盒子的概率为,甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1-)×(1-)=,则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1-.
14.　解析从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠,得到的整数的所有可能结果共有18个,分别为11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550,2,6,20,60,200,
600,其中能够被5整除的整数有12个,分别为15,55,105,505,110,150,510,550,20,
200,60,600,故所求概率为.
四、解答题
15.解析(1)由题意,知甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:
甲连胜四场的概率为;
乙连胜四场的概率为;
丙上场后连胜三场的概率为.(6分)
所以需要进行第五场比赛的概率为1-.
(3)丙最终获胜,有两种情况:
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,.
因此丙最终获胜的概率为.
16.解析(1)依题意,0.07+0.18+10a+0.25+0.2=1,解得a=0.030,
因为前2组的频率和为10×(0.007+0.018)=0.25<0.5,前3组的频率和为10×(0.007+0.018+0.030)=0.55>0.5,
所以所求中位数为40+≈48.33.
(2)由频率分布直方图可知年龄在[40,50)和[60,70]的频率分别为0.3,0.2,
所以应从年龄在[40,50)的投资者中抽取3人,记为A,B,C,
从年龄在[60,70]的投资者中抽取2人,记为a,b,则从这5人中任取2人的所有情况为(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),共10种,
满足条件的为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共7种,
故至少有1人年龄在[60,70]的概率为P=.
17.解析(1)设“该生选中月平均工资高于8 500元的城市”为事件E,
15个城市中月平均工资高于8 500元的有6个,
所以 P(E)=.
(2)月平均期望工资与月平均工资之差的绝对值高于1 000元的城市有6个,
其中月平均期望工资高于8 500元的有1个,记为A;月平均期望工资低于8 500元的有5个,记为B1,B2,B3,B4,B5.
选取2个城市的样本空间为{AB1,AB2,AB3,AB4,AB5,B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B2B3,B2B4,B2B5,B3B4,
B3B5,B4B5},共15个样本点,其中2个城市的月平均期望工资都低于8 500元的样本空间为{B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B2B3,B2B4,B2B5,B3B4,B3B5,B4B5},共10个样本点.
所以所求概率为.
18.解析(1)由题图可得(0.005+0.010+0.015+0.020×2+a)×10=1,解得a=0.030,
估计A地区样本用户满意度评分低于70分的频率为(0.010+0.020+0.030)×10=0.6,
估计B地区样本用户满意度评分低于70分的频率为=0.25.
(2)根据样本频率可以估计总体频率,记事件M表示“从A地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”,则P(M)=0.6.
记事件N表示“从B地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”,则P(N)=0.25.
易知事件M和事件N相互独立,则事件和事件相互独立.
记事件C表示“至少有一名用户评分满意度等级为‘满意’或‘非常满意’”,
则P(C)=1-P()=1-P(M)P(N)=1-0.6×0.25=0.85,
故至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率为0.85.
19.解析(1)由频率分布直方图可得,0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1,则a+b=0.55.　①
因为居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1,
所以0.05+0.12+a+(8.1-7.5)·b=0.6,
则a+0.6b=0.43.　②
将①与②联立,解得
所以这100位居民去年可支配收入的平均值为0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2
×9+0.08×10=7.72(万元).
(2)根据题意,设事件A,B,C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3.
①设事件M=“抽取的3人中有2人在[7.5,8.5)内”,则M=AB+AC+BC,且AB与AC与BC互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义,得
P(M)=P(AB+AC+BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3
=0.189.
②设事件N=“抽取的3人都在[7.5,8.5)内”,则N=ABC,由事件的独立性定义,得
P(N)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027.
设事件D=“抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5,8.5)内”,则P(D)=P(M)+P(N)=0.189+0.027=0.216.
20.解析(1)第一局由甲、乙比赛,记“只进行三局,小明就成为获胜者”为事件A,“第一局甲胜,第二局小明胜,第三局小明胜”为事件A1,
“第一局乙胜,第二局小明胜,第三局小明胜”为事件A2,则事件A1与A2互斥,且A=A1+A2,
又P(A1)=,P(A2)=,所以P(A)=P(A1)+P(A2)=,
所以“只进行三局,小明就成为获胜者”的概率是.
(2)记“第一局小明与甲比赛,小明最终成为获胜者”为事件B,则事件B是以下3个互斥事件的和:小明胜甲,小明胜乙的事件;小明胜甲,乙胜小明,甲胜乙,小明胜甲的事件;甲胜小明,乙胜甲,小明胜乙,小明胜甲的事件,
则P(B)=;
记“第一局小明与乙比赛,小明最终成为获胜者”为事件C,则事件C是以下3个互斥事件的和: 小明胜乙,小明胜甲的事件;小明胜乙,甲胜小明,乙胜甲,小明胜乙的事件;乙胜小明,甲胜乙,小明胜甲,小明胜乙的事件,
则P(C)=.
第一局由甲与乙比赛,小明最终成为获胜者,只能是小明连胜两局,由(1)知小明最终成为获胜者的概率是,显然,
所以第一局小明与乙比赛,小明最终成为获胜者的概率最大.