第6章平面向量及其应用专项练习解析版
一、单选题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】由已知结合正弦定理即可直接求解．
【详解】A＝60°，a，
由正弦定理可得，2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
则2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．
2．已知，，向量与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量共线的坐标形式可求实数的值.
【详解】，即，
∴.
故选：C.
【点睛】如果，那么：
（1）若，则；
（2）若，则；
3．在中，，，，为边上的高，若，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：由题意得， ，，则，所以,，则,故选A.
考点：平面向量基本定理
4．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知条件即可得，进而可求出实数的值.
【详解】∵，∴，则，解得或，
又，∴，∴，
故选:D.
【点睛】本题考查了由向量共线求参数的值，属于基础题.
5．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，，∴，，
，∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
6．在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，代入计算得到答案.
【详解】，
所以
.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据正弦定理，可得，令，，，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小.
【详解】解：∵，
∴，
即，
令，，，显然，
∵，
∴，解得，
∴，B＝．
故选：D.
【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，，是本题关键
8．如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，用表示出，得到关于的函数，根据的范围计算函数的值域得出答案.
【详解】解：由题意可知，,
,
设，则，，
所以
，
因为，
所以当时，取最小值，当时，取最大值4，
所以的取值范围是，
故选：B
【点睛】此题考查平面向量基本定理，数量积运算，属于中档题.
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可．
【详解】因为，所以不平行，则A错；
由，所以，则B正确；
由，，故C错；
由，故D正确.
故选：BD
10．设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；
【详解】解：对于A选项，，可以得出，∴，故A正确；
对于B选项，因为，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；
对于C选项，假设，则，，则，所以与矛盾，∴，故C正确，
对于D选项，取，满足，此时，故D错误；
故选：AC.
11．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知， ，且，则
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解.
【详解】.
整理可得:
可得
为三角形内角,
故A正确，B错误.
解得 ,
由余弦定理得
解得, 故C错误，D正确.
故选: AD.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.
12．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当时，满足条件的三角形共有个
B．若则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，，则为等腰直角三角形
【答案】BD
【分析】利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确.
【详解】对于Ａ，，无解，故A错误；
对于B,根据已知条件，由正弦定理得：,
不妨令,则,最大角的余弦值为：,
∴，故B正确；
对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误；
对于D,,得到,
又
,
,
为等腰直角三角形，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键.
三、填空题
13．判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.
（1）.( )
（2）.( )
（3）.( )
（4）.( )
【答案】 √ √ × ×
【解析】根据相反向量的定义可判断（1）；根据向量加法的三角形法则可判断（2）；根据向量减法法则可判断（3）；根据向量的数乘运算可判断（4）；
【详解】（1）与是相反向量，它们的和为零向量，故正确。
（2）当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，
这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量，故正确。
（3）当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差
等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量，故不正确。
（4）实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0，故不正确。
答案： （1）√（2）√（3）×（4）×
【点睛】本题考查了向量的基本知识，需掌握向量中的基本概念，属于基础题.
14．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则______
【答案】
【分析】令，根据，结合，由，求得，再由，求得角D，然后在中，利用正弦定理求解.
【详解】令，因为，
所以，
所以，
，
，
在中，由正弦定理得，
解得.
故答案为：
15．在中，，，D为边上的点，且，，则________.
【答案】
【分析】利用余弦定理求出cosB，可得sinB，在△ABC中利用正弦定理可得AC．
【详解】如图，
∵，，，
在△ABD中，余弦定理，
∵
∴．
由正弦定理：，
可得：,
故答案为：．
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题时要注意合理选择正余弦定理，属于中档题．
16．在四边形中,,且,则四边形的面积为________．
【答案】
【详解】试题分析：因为=，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为，所以平行四边形ABCD为菱形，且，因此
考点：向量加法平行四边形法则
四、解答题
17．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．
【详解】解：（1）因为，，.
由正弦定理，可得，所以；
（2）由余弦定理，，
，（舍），所以.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．
18．已知．
（1）若向量，求的值；
（2）若向量，证明：．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）根据两角和的正切公式求，再表示；
（2）根据公式计算的值，再根据向量平行的坐标表示判断两向量平行.
【详解】解：（1）因为
所以
所以
（2）因为
所以.
所以
【点睛】本题考查三角函数恒等变形，向量平行的坐标表示，重点考查基本公式，恒等变形能力，属于基础题型.
19．一个人骑自行车由A地出发向东骑行了9km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30°骑行了16km到达D地，求这个人由A地到D地的位移（角度精确到1°）
【答案】沿北偏东约67°方向前进了.
【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，进而求出 ，再由即可求解.
【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图由题意可得
.
∴这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了.
【点睛】本题考查了向量在生活中的应用，考查了向量模的坐标运算，属于基础题.
20．已知平面向量，且，
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解；
（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.
（1）
解：设，，
，又，
，
或，
或.
（2）
解：，，设与的夹角为.
故，
在上的投影向量为.
21．如图所示，在的边、上分别有点、，且，，与的交点是，直线与交于点.设，.
（1）用、表示；
（2）设，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，由，，三点共线，由共线定理可知：，求得的值，；
（2）由（1）可知，，，三点共线，，即可求得求的值．
【详解】解：(1)由、、三点共线可设，
∵，，∴，
∵、、三点共线，∴，即，
∴；
(2)由(1)知，
∵、、三点共线，
∴，即.
【点睛】本题考查向量共线定理，考查向量的运算，考查数形结合思想，属于中档题．
22．根据要求完成下列问题：
(1)设，的最大值为，最小值为，且与的夹角为，求．
(2)设两向量、满足、，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对函数化简得，然后由题意得，求出，从而可求出，
（2）由已知可得，可求得，再考虑两向量共线反向的情况，从而可求出实数的取值范围
(1)
，
因为，所以，
所以当时，，
当时，，即
由，得，
所以，
所以
(2)
因为、，、的夹角为，
所以
若向量与向量的夹角为钝角，
则，
则，得，
设，，
∴，∴，∴，
又，∴，，
即当时，向量与向量的夹角为，
∴当两向量夹角为钝角时，实数的取值范围．第6章平面向量及其应用专项练习
一、单选题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A． B． C． D．2
2．已知，，向量与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，为边上的高，若，则等于
A． B． C． D．
4．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则（ ）
A． B．4 C． D．
7．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知， ，且，则
A． B． C． D．
12．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当时，满足条件的三角形共有个
B．若则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，，则为等腰直角三角形
三、填空题
13．判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.
（1）.( )
（2）.( )
（3）.( )
（4）.( )
14．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则______
15．在中，，，D为边上的点，且，，则________.
16．在四边形中,,且,则四边形的面积为________．
四、解答题
17．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知．
（1）若向量，求的值；
（2）若向量，证明：．
19．一个人骑自行车由A地出发向东骑行了9km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30°骑行了16km到达D地，求这个人由A地到D地的位移（角度精确到1°）
20．已知平面向量，且，
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
21．如图所示，在的边、上分别有点、，且，，与的交点是，直线与交于点.设，.
（1）用、表示；
（2）设，求的值.
22．根据要求完成下列问题：
(1)设，的最大值为，最小值为，且与的夹角为，求．
(2)设两向量、满足、，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
