三角函数章末检测
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.代数式sin(－330°)cos 390°的值为( )
A．－ B． C．－ D．
【解析】 [sin(－330°)·cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝×＝.
2．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且满足，，则（ ）
A．为第一象限角B．为第二象限角C．为第三象限角D．为第四象限角
【答案】B
3．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 ( )
A． cm2 B．π cm2 C．2π cm2 D．4π cm2
【答案】C
【解析】 [弧长为π的弧所对的圆心角为，所以r＝＝4(cm)，所以扇形面积为S＝lr＝×π×4＝2π(cm2)．
4．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为，则单摆在摆动时，从开始到第一次回到平衡位置所需要的时间为( )
A. s B. s C. s D.1 s
【答案】C
【解析】 [由题意得，s＝0, 即,所以2πt＋＝kπ(k∈N*)，t＝－(k∈N*)，所以t的最小正值为 s ，故选C.
5.在中，，且，则“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，解得，即，所以，若，则，此时，为锐角三角形；
若为锐角三角形，取，则，故“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件.故选：A
6.已知函数f（x）＝4sin（2x﹣）+1的定义域是[0，m]，值域为[﹣1，5]，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵x∈[0，m]，∴，∵f（x）的值域为[﹣1，5]，
∴，解得，∴m的最大值为．
故选：A．
7.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比，它还可以近似表示为，则的值近似等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】由题
=，故选：B．
8.已知α，β∈(0，π)，cosα＝－，若sin(2α＋β)＝sinβ，则α＋β＝( )
A．π B．π C．π D．π
【答案】A
【解析】由题意可知，sin(2α＋β)＝sinβ，可化为sin(α＋α＋β)＝sin(α＋β－α)，展开得sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝cosαsin(α＋β)－sinαcos(α＋β)，则cosαsin(α＋β)＋3 sinαcos(α＋β)＝0，因为α，β∈(0，π)，且cosα＝－，所以sinα＝＝，则－sin(α＋β)＋3×cos(α＋β)＝0，且α∈(，π)，所以sin(α＋β)＝cos(α＋β)，当cos(α＋β)＝0时不满足题意，所以tan(α＋β)＝1，因为α∈(，π)，β∈(0，π)，所以α＋β∈(，2π)，则α＋β＝π，故选A.
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是( )
A.tan α＝－ B.＝sin α－cos α
C．cos α＝－ D.＝sin α＋cos α
【答案】BC
【解析】由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，故A错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，故B、C正确，D错. 故选BC.
10．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝
【答案】AC
【解析】 [∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.
A中sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±， 即C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．故选AC.
11.给出下列四种图象的变换方法，能由函数的图象得到函数的图象的变换方法是（ ）
A.将图象向右平移个单位长度；B.将图象向左平移个单位长度；C.将图象向左平移个单位长度；D.将图象向右平移个单位长度．
【答案】AB
【解析】．
法一（验证法）因为， 所以A适合；
因为，所以B适合；因为，所以C不适合；因为，所以D不适合．故选AB．
法二：……（注意应用诱导公式把sin的系数需化为正，勿漏一情况），则选择项AB正确。
12.已知函数，则
A．函数的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．的值域为，
D．若时，在区间，上单调，则的取值范围是，
【答案】BC
【解析】的周期是，由图形的变换知函数的最小正周期为，故不正确，
：当时，则，正确，
，
设，则，，，
则，，，
，，函数的值域为，，正确，
：当时，，
，，，，单调递减，错误．
故选：．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.求值：_______.
【答案】
.
14．已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s.求2 s时点P的坐标为_______.
【答案】P(答案也可)
【解析】设P点坐标为，.∵，∴，
∵，∴，∴点P.
15.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)（ω>0,|φ|<)的部分 图象如图所示，则f()＝________.
【答案】
【解析】由题图知＝，所以ω＝2.
因为2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，这时f(x)＝f(x)＝Atan(2x+).
又函数图象过点(0，1)，代入上式得A＝1，所以f(x)＝Atan(2x+).
所以f()＝tan（2+）＝.
16.已知函数在区间内有且仅有一个最大值，且方程在区间内有4个不同的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】函数在区间内有且仅有一个最大值，，，且方程在区间内有4个不同的实数根，
即的图象和直线有4个不同的交点，
的取值范围，求得，
故答案为：，．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分).
(1)求的值;
（2）已知,求
【解析】（1）原式
.
.
.
18．(本小题满分12分)已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】（1）由题意，
，可得； 6分
，为第一象限角或第三象限角， 8分
由，可得或.
当为第一象限角时，； 10分
当为第三象限角时，． 12分
19．(本小题满分12分)设函数(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)在上的单调增区间．
【解析】 (1)因为x＝是函数y＝f(x)图象的对称轴．
所以，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)．
又因为－π<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，则.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调增区间为．
20．(本小题满分12分)如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
【解析】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
（2）设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，
得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或8.所以t＝8分钟时，
第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
21.(本小题满分12分)在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，______，求在上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】
．
①若是函数图象的一条对称轴，
则，，即，，得，，
又，当时，，
②若是函数的一个零点，则，即，，
得，.又，∴当时，，所以．
③若在上单调递增，且的最大值为，
则，故，所以．
由，，得，，
令，得．令，得．又，
所以在上单调递减区间为，．
22.(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数）在某一个周期内的函数图象列表并填入的部分数据如下表
x x3
0
0 0 0
（1）求出的解析式，并写出上表中的x1；
（2）将的图象向右移个单位得到的图象，若总存在，使得成立，求实数m的取值范围.
【解析】
（1）由题意，，解得，
所以，；
（2）因为函数的图象向右平移个单位得到的图象，
所以，
所以若总存在，使得成立即为总存在，使得成立，
设，则，且在有解，
法一：（分类讨论）令，，由题意
当，即时，，所以；
当，即时，，
所以，与相矛盾，舍去……..11分
综上，
法二：（参变分离），在有解
令
……….9分
g(u)在[1，4]上单调递增，
故实数m的取值范围为三角函数章末检测
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.代数式sin(－330°)cos 390°的值为( )
A．－ B． C．－ D．
2．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且满足，，则（ ）
A．为第一象限角B．为第二象限角C．为第三象限角D．为第四象限角
3.已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 ( )
A． cm2 B．π cm2 C．2π cm2 D．4π cm2
4．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为，则单摆在摆动时，从开始到第一次回到平衡位置所需要的时间为( )
A. s B. s C. s D.1 s
5.在中，，且，则“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.已知函数f（x）＝4sin（2x﹣）+1的定义域是[0，m]，值域为[﹣1，5]，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比，它还可以近似表示为，则的值近似等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
8.已知α，β∈(0，π)，cosα＝－，若sin(2α＋β)＝sinβ，则α＋β＝( )
A．π B．π C．π D．π
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是( )
A.tan α＝－ B.＝sin α－cos α
C．cos α＝－ D.＝sin α＋cos α
10．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝
11.给出下列四种图象的变换方法，能由函数的图象得到函数的图象的变换方法是（ ）
A.将图象向右平移个单位长度；B.将图象向左平移个单位长度；C.将图象向左平移个单位长度；D.将图象向右平移个单位长度．
12.已知函数，则
A．函数的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．的值域为，
D．若时，在区间，上单调，则的取值范围是，
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.求值：_______.
14．14．已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s.求2 s时点P的坐标为_______.
15.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)（ω>0,|φ|<)的部分 图象如图所示，则f()＝________.
16.已知函数在区间内有且仅有一个最大值，且方程在区间内有4个不同的实数根，则的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分).
(1)求的值;
（2）已知,求
18．(本小题满分12分)已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．(本小题满分12分)设函数(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)在上的单调增区间．
20．(本小题满分12分)如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
21.(本小题满分12分)在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，______，求在上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22.(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数）在某一个周期内的函数图象列表并填入的部分数据如下表
x x3
0
0 0 0
（1）求出的解析式，并写出上表中的x1；
（2）将的图象向右移个单位得到的图象，若总存在，使得成立，求实数m的取值范围.
