6.2.4向量的数量积专项练习
一、单选题
1．若单位向量满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A． B．7 C． D．3
3．下列说法正确的是（ ）
A．设非零向量，，若，则向量与的夹角为锐角
B．若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线
C．若，，则
D．若，则
4．若向量垂直于向量和，向量，，且，则
A． B．
C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能
5．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（ ）
A． B．
C． D．1
6．中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于A，B，C，D四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量 满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B．1
C．-1 D．
8．O是的外心，，，则（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
9．已知m，n是实数，为向量，则下列运算中正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
10．下列命题不正确的是（ ）
A．若＝，则＝ B．若＝0，则＝或＝
C．若∥，∥，则∥ D．若＝，＝，则＝
11．已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若与平行，与平行，则与平行 B．
C．若且则 D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．
三、填空题
13．两个向量的夹角的取值范围是______．当与同向时，夹角为______．当与反向时，夹角为______．
14．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______________．
15．已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______.
16．若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________.
四、解答题
17．已知向量的夹角为，且.
(1)求；
(2)当时，求实数m.
18．已知向量与的夹角，，，求
(1)；
(2)．
19．在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．
（1）试用，表示；
（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．
20．已知，
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
21．已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值.6.2.4向量的数量积专项练习解析版
一、单选题
1．若单位向量满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由已知条件求出，再由即可求出答案.
【详解】解：因为为单位向量，
所以，所以,
所以，
故选：C.
2．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A． B．7 C． D．3
【答案】C
【分析】计算出，再根据计算出结果.
【详解】由题意得：，
所以.
故选：C
3．下列说法正确的是（ ）
A．设非零向量，，若，则向量与的夹角为锐角
B．若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【分析】对于A，当向量，同向时，即可判断；对于B，根据共线向量的定义即可判断；对于C，根据零向量与任意向量共线，即可判断；对于D，根据相等向量的定义即可判断.
【详解】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，若非零向量与是共线向量，
则与平行或共线，故B错误；
对于C，若，，
当时，不能确定是否平行，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
4．若向量垂直于向量和，向量，，且，则
A． B．
C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能
【答案】B
【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断．
【详解】解：向量垂直于向量和，则，，
又向量，
所以，
所以．
故选：．
5．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】D
【分析】由向量的数量积的定义结合条件可得答案.
【详解】由条件可得
故选：D
6．中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于A，B，C，D四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出A,B,CD的坐标，确定可能的位置，从而计算的坐标，根据数量积的计算，可得答案.
【详解】如图示：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ,
由于“马”每步只能走“日”字，故“马”走动一步到达点的位置可能为 ，
则，或或，
则的值可能为，
或，
或，
则的值不可能为 ，
故选：B
7．已知向量 满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B．1
C．-1 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再借助投影向量的意义计算作答.
【详解】因，则，令向量与向量的夹角为，
于是得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：A
8．O是的外心，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论是否在上.
【详解】当在上，则为的中点，满足，符合题意，
∴，则；
当不在上，取的中点，连接，则，
则，
同理可得：
∵，
，
联立可得，解得，
故选：D.
二、多选题
9．已知m，n是实数，为向量，则下列运算中正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】AD
【分析】利用平面向量数量积的运算律与向量共线的充要条件判断选项的正误即可.
【详解】A选项：，满足向量的运算法则，所以A正确；
B选项：当时，，但是，不一定相等，所以B不正确；
C选项：表示与共线的向量，表示与共线的向量，
所以两个向量不一定相等，所以C不正确；
D选项：，满足向量的数量积的运算法则，所以D正确.
故选：AD
【点睛】平面向量数量积的运算律有
交换律：
数乘结合律：
分配率：
注意
10．下列命题不正确的是（ ）
A．若＝，则＝ B．若＝0，则＝或＝
C．若∥，∥，则∥ D．若＝，＝，则＝
【答案】ABC
【分析】两向量相等，方向相同，大小相等，据此可判断A；
两向量数量积为零，则其中一个向量为零向量或两向量垂直，据此可判断B；
零向量和任意向量共线，故如果不限制向量为非零向量，三个向量之间，向量共线不具有传递性，据此可判断C；
向量相等具有传递性，据此可判断D.
【详解】A：若＝，则与不一定相等，因为它们方向未知，故A错误；
B：若＝0，则＝或＝或，故B错误；
C：若∥，∥，则当时，无法判断与的关系，故C错误；
D：若＝，＝，则＝，故D正确.
故选：ABC.
11．已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法与向量的数量积公式即可判断各选项正确与否.
【详解】通过向量加法的平行四边形法则可知，，选项A正确；
，选项B错误；
与方向不同，选项C错误；
延长到,使,通过向量减法的三角形法则可知,在中，，，选项D正确.
故选：AD.
12．下列说法正确的是（ ）
A．若与平行，与平行，则与平行 B．
C．若且则 D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．
【答案】BD
【分析】当为零向量时,利用零向量和任意向量都平行的规定可以判定A错误；根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定B正确；由移项，提取公因式，可等价转化为与垂直，进而判定C错误；利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D正确.
【详解】当为零向量时，对于任意的与，与平行，与平行总是成立，故A错误；
，故B正确；
等价于，当与垂直时成立，不一定，即推不出，故C错误；
在上的投影向量为，，
所以和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．故正确.
故选：.
三、填空题
13．两个向量的夹角的取值范围是______．当与同向时，夹角为______．当与反向时，夹角为______．
【答案】 0
【分析】根据平面向量的夹角定义、 平面向量同向与反向的性质进行求解即可.
【详解】根据向量夹角的定义可知：两个向量的夹角的取值范围是，当与同向时，夹角为0，当与反向时，夹角为，
故答案为：；0；.
14．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______________．
【答案】##
【分析】由垂直转化得数量积为0，再将数量积转化为模长公式，即可求解.
【详解】由可得，即，因为，不妨令，则，，代值化简得，因为向量夹角范围为，故与的夹角为.
故答案为：
15．已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______.
【答案】
【分析】利用向量夹角公式以及向量投影公式直接求解.
【详解】设与的夹角，则，
所以在上的投影向量为，
故答案为：.
16．若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________.
【答案】##
【分析】设与的夹角为，根据，，由数量积的定义和运算律求解.
【详解】解：设与的夹角为，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
四、解答题
17．已知向量的夹角为，且.
(1)求；
(2)当时，求实数m.
【答案】(1)；
(2)12.
【分析】（1）利用向量数量积的运算律及已知求；
（2）由向量垂直可得，结合数量积的运算律列方程求参数值即可.
（1）
由，则.
（2）
由题设，则.
18．已知向量与的夹角，，，求
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积的定义计算;
（2）把模平方转化为数量积进行计算.
【详解】（1）根据数量积的定义可得
（2），
所以
19．在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．
（1）试用，表示；
（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由三角形中位线的性质可知，可得到答案；
（2）先求得，将，代入，用表示再求其范围.
【详解】（1）连接AB，则，
∵A，B分别是线段CE，ED的中点，
∴，则．
（2)
，
将，代入，
则．
∵，
∴，则，
故．
【点睛】本题考查了向量的共线表示，向量的数量积公式及求模长的取值范围问题.
20．已知，
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，
（2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可
【详解】（1）因为，，
所以，，得，
所以
（2）因为，
，
所以，
因为，
所以，
即与的夹角为
21．已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值.
【答案】(1)
(2)时，最小值为
【分析】（1）由数量积为0求得后可得；
（2）把平方转化为数量积的运算得的函数，由函数可得最小值．
【详解】（1）因为与垂直，
所以，
所以，，
所以，
；
（2）
，
所以时，取得最小值．
