6.3平面向量基本定理及坐标表示专项练习解析版
一、单选题
1．已知平面上有, ,三点,点在直线上,且,连接DC并延长,取点E,使,则点E的坐标为( )
A．(0,1) B．(0,1)或
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量共线列方程即可求解.
【详解】设，由可得：，
所以，解得，即.
设，由可得：，
所以，解得，即.
故选：D．
2．已知向量，满足则
A．0 B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】应用向量的数量积和求模公式即可.
【详解】.
故选：B.
3．已知向量，，且，则实数（ ）
A．1或 B．1或3 C．或1 D．或1
【答案】A
【分析】利用平面向量共线列方程，解出实数．
【详解】由，有，解得或．
故选：A
4．设向量，，且，则实数的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由，求出向量的坐标，又，所以有，
最后根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】解：因为，，
所以，
又，
所以，即，解得，
故选：B.
5．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标表示，求得，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量，，
因为，可得，解得，即，
所以.
故选：A.
6．已知，，，，则向量在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据向量数量积的坐标表示求数量积，由向量在上的投影为即可求投影.
【详解】由题意知：，而，
又，而向量在上的投影为，
故选：C
7．已知菱形的边长为4，，是的中点，则
A．24 B． C． D．
【答案】D
【解析】根据平面向量的基本定理,将用基底表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.
【详解】由已知得,,,所以,.
因为在菱形中,,所以.又因为菱形的边长为4,所以,所以
.
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.
8．在平行四边形中，，M是中点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用为基底，把转化为的计算，利用夹角公式求出.
【详解】．
∴，∵∴．
故选：B
【点睛】在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
二、多选题
9．已知中，O是边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据向量基本定理，用表达出，用向量共线基本定理的推论结合题干信息进行求解得到.
【详解】，A正确，B错误；
因为，，所以，
又因为三点共线，
所以，故，C正确，D错误.
故选：AC
10．已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，的夹角为
C．在上的投影向量的坐标为（，）
D．在上的投影向量的坐标为（，）
【答案】ACD
【分析】根据两个向量垂直的充要条件,将垂直关系转化成数量积为0，即可判断A;根据夹角的坐标公式即可求解B;根据投影向量的求解即可求解C,D.
【详解】由，可知，
对于A.，所以，故，故A对.
对于B,设 为，的夹角，则 所以，的夹角为 ，故B错.
对于C, 在上的投影向量为 ，故C对.
对于D, 在上的投影向量为 ，故D对.
故选：ACD
11．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．向量共线的充要条件是存在实数，使得成立
B．对任意向量，恒成立
C．非零向量，满足，，则
D．在中，为边上一点，且，则
【答案】CD
【分析】根据共线向量基本定理、三角形三边关系可知AB错误，C正确；利用平面向量线性运算法则可知D正确.
【详解】对于A，若，，则共线，但不存在实数，使得，A错误；
对于B，若不共线，则构成三角形，则，B错误；
对于C，为非零向量，当时，；当时，，
，则，C正确；
对于D，，，
，D正确.
故选：CD.
12．下列命题中正确的是（ ）
A．设向量，，则是与垂直的单位向量
B．若，且，则与共线
C．若四边形满足，，则该四边形是菱形
D．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的内心
【答案】BD
【分析】由，可判定A不正确；根据向量的共线定理，可得判定B正确；由，得到四边形是平行四边形，在由，得到，可判定C不正确；由，分别表示，上的单位向量，，得到，结合菱形的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，
又由，不是单位向量，故A不正确；
对于B中，若，且，则与共线，故B正确；
对于C中，在四边形中，因为，
所以，所以且，所以四边形是平行四边形，
由，所以，即，可得，
所以平行四边形是矩形，故C不正确；
对于D中，因为，
由，分别表示，上的单位向量，，
所以，所以，所以，
表示以，为邻边的菱形的对角线上的向量，
因为菱形对角线平分对角，且与共线，所以在的平分线上，
所以直线一定经过的内心，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．在平面直角坐标系xoy中，点，，若向量，则实数___________.
【答案】##
【分析】利用向量的坐标运算和向量垂直与数量积关系即可得出答案.
【详解】解：由题意得：
，
又
，解得：
故答案为：
14．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则 的取值范围为_____．
【答案】[﹣9，0]
【分析】如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，设 A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，求出 ＝﹣3x；由于0≤x≤3，即得 的取值范围.
【详解】如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，
则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，
则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），
∴ ＝﹣3x；由于0≤x≤3，
∴﹣9≤﹣3x≤0，∴ 的取值范围是[﹣9，0]．
故答案为：[﹣9，0]．
【点睛】本题主要考查向量的坐标表示和数量积的计算，考查数量积的范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．已知，，且，则实数_________．
【答案】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，由此可求得的值.
【详解】由已知可得，解得.
故答案为：.
16．若向量不共线，且，则______
【答案】
【分析】先计算，的坐标，根据向量垂直，可知向量的数量积等于0，即可求出.
【详解】因为, ，且，
所以，解得或，
因为 向量不共线，所以不成立，
所以，故填.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的垂直，向量的数量积运算，属于中档题.
四、解答题
17．已知，.
（1）若，求的坐标；
（2）若与的夹角为，求在向量上的投影.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）利用公式求得与共线的单位向量的坐标，根据且，，代入计算即得；
（2）利用向量数量积的定义求得，利用投影的定义结合使用平面向量的数量积运算求得.
【详解】解：（1）∵，∴，
∴与共线的单位向量为，
∵且，∴或，
（2）∵，，与的夹角为，
∴，
∴在向量上的投影为：
.
18．已知、、是△的三内角，向量，且，，求.
【答案】
【分析】首先运用内角和将问题转化为，研究、的三角函数值即可，由条件可以建立两个关于、的方程，可解出关于、的三角函数值，进而求出的值.
【详解】由，即，而，
所以，则，即，
则且，故，
所以，
，
，即为锐角， 则，
则.
19．已知A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（﹣3，﹣4）．设=，=，=，且=3 ，2．
（1）求3+﹣3；
（2）求满足的实数m，n．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用向量坐标表示的运算规则，将所求的向量的坐标用已知向量表示出来，从而达到求解的目的；
（2）利用向量相等将左右两边的向量建立起等式关系，得出关于实数m，n的二元一次方程组，通过解方程求出实数m，n．
【详解】由已知得=（5，﹣5），=（﹣6，﹣3），=（1，8）．
（1）3+﹣3=3（5，﹣5）+（﹣6，﹣3）﹣3（1，8）
=（15﹣6﹣3，﹣15﹣3﹣24）=（6，﹣42）．
（2）∵m+n=（﹣6m+n，﹣3m+8n）==（5，﹣5），
得出，解得．
【点睛】本题考查向量坐标形式的运算，将向量的运算转化为二维数的运算是解决本题的关键．准确掌握向量加法，减法，数乘的运算规则进行计算，注意方程思想的运用．
20．已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）解方程即得解；
（2）根据得到，求出与的坐标即得解.
(1)
解：因为，所以，
即，所以或．
(2)
解：因为，所以，即
所以，
所以，即，
所以，，
所以．
21．已知是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，则由向量平行公式与模长公式可得向量的坐标；
（2）由条件利用两个向量垂直的性质求得，再根据向量夹角的坐标公式求解即可．
【详解】（1）设，则由和可得，
解得或者，
或
（2）因为与垂直，∴
即 ∴ ，
∴
22．如图，扇形所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动，且总有，设，.
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可,表示,.
（2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围.
【详解】（1）由题知,均为等边三角形,所以四边形为菱形.
所以,
所以,
.
（2）设,则,.
∴,
,
∴,
∵,
∴当,上式最小值为；当或1时,上式最大值为2.
∴的取值范围.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量基本定理的应用,平面向量数量积的运算,由二次函数性质求最值,属于中档题.6.3平面向量基本定理及坐标表示专项练习
一、单选题
1．已知平面上有, ,三点,点在直线上,且,连接DC并延长,取点E,使,则点E的坐标为( )
A．(0,1) B．(0,1)或
C． D．
2．已知向量，满足则
A．0 B． C．4 D．8
3．已知向量，，且，则实数（ ）
A．1或 B．1或3 C．或1 D．或1
4．设向量，，且，则实数的值是（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，，则向量在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
7．已知菱形的边长为4，，是的中点，则
A．24 B． C． D．
8．在平行四边形中，，M是中点．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知中，O是边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，的夹角为
C．在上的投影向量的坐标为（，）
D．在上的投影向量的坐标为（，）
11．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．向量共线的充要条件是存在实数，使得成立
B．对任意向量，恒成立
C．非零向量，满足，，则
D．在中，为边上一点，且，则
12．下列命题中正确的是（ ）
A．设向量，，则是与垂直的单位向量
B．若，且，则与共线
C．若四边形满足，，则该四边形是菱形
D．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的内心
三、填空题
13．在平面直角坐标系xoy中，点，，若向量，则实数___________.
14．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则 的取值范围为_____．
15．已知，，且，则实数_________．
16．若向量不共线，且，则______
四、解答题
17．已知，.
（1）若，求的坐标；
（2）若与的夹角为，求在向量上的投影.
18．已知、、是△的三内角，向量，且，，求.
19．已知A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（﹣3，﹣4）．设=，=，=，且=3 ，2．
（1）求3+﹣3；
（2）求满足的实数m，n．
20．已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，求与的夹角的余弦值．
21．已知是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
22．如图，扇形所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动，且总有，设，.
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围.
