6.4.3余弦定理、正弦定理专项练习解析版
一、单选题
1．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据正弦定理整理可得，结合大边对大角判断角的取舍．
【详解】∵，则
又∵，即，则或
故选：D．
2．在中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设为的最小角，为的最大角，利用余弦定理求得的大小，即可求解.
【详解】设为的最小角，为的最大角，
由余弦定理，可得，
因为，所以，
所以，即最大角和最小角之和是.
故选：B.
3．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是（ ）海里
A． B． C．20 D．
【答案】B
【分析】在中，由正弦定理求解.
【详解】解：如图所示：
在中，，
则，又，
由正弦定理得，
即，
解得，
故选：B
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．90° B．120° C．60° D．150°
【答案】C
【分析】根据题中条件，由余弦定理，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，
由，则,
故选：C
5．已知点在的边上，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求，的值，作交于，利用勾股定理求得的值，进而在中，由正弦定理可求的值．
【详解】解：∵∴为等边三角形，
由，得，则
作交于
在等边中，，
则
在中，
在中，由正弦定理得
∴.
故选：D.
6．中，角所对的边分别为，表示三角形的面积，若，，则对的形状的精确描述是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】通过三角函数的恒等变换化简；通过余弦定理和面积化简，即可得到三角形的形状.
【详解】因为，则，
因为，所以，
即，又，所以，
由得
整理得，又因为，所以，所以，
是等腰直角三角形，所以C正确；
故选：C.
7．在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】①在三角形中“大角对大边”，可以得到，再根据正弦定理化简，进一步可以得到答案；
②在三角形中利用化简，利用正弦定理轻松可以得到答案；
③利用正弦定理化简得带入化简，就可以得到答案；
④根据表示， 再根据可以得到°,进一步得到答案.
【详解】①∵，∴，
又∵
∴
∴
故①成立；
②∵
∴
∴
∴；
故②成立；
③∵
∴
∴
∴ ；
故③成立；
④∵表示为边的单位向量， 表示为边的单位向量，
∴所以（）.表示，
又∵，
∴°
所以为等边三角形
故④成立.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及利用向量来解三角形的相关知识点，命题体现了数学基本运算的核心素养，属于比较常见的题型.
8．在中，角所对的边分别是，若，则角的取范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，利用基本不等式，结合余弦定理求得，进而求得角的取范围.
【详解】（当且仅当 时等号成立），所以 ，
由余弦定理可得： ，
（当且仅当 时等号成立），
，
故选：A.
二、多选题
9．已知中，，若三角形有两解，则x不可能的取值是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】ACD
【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解
【详解】解：因为中，，且三角形有两解，
所以，
由正弦定理得，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
故选：ACD
10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．斜三角形ABC中，
B．若，，，则有两解
C．若，则一定为直角三角形
D．若，则外接圆半径为
【答案】ABC
【分析】利用两角和的正切公式以及三角形的内角和性质可判断A；利用余弦定理可判断B；利用正弦定理的边角互化可判断C；利用余弦定理以及正弦定理可判断D.
【详解】A，斜三角形ABC中，
，故A正确；
B，由余弦定理可得，所以，
整理可得，，此方程有两个解，故B正确；
C，
，所以或（舍），
整理可得，所以一定为直角三角形，故C正确；
D，由余弦定理可得，
所以，
正弦定理可得，解得，故D错误.
故选：ABC
11．在中，角所对的边分别为的面积为 根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】对A，根据为等腰三角形判断即可
对B，由三边确定判断即可
对C，根据面积公式判断即可
对D，根据面积公式与余弦定理分析可得有两个解即可
【详解】对A，易得为等腰三角形，故，，故仅一个解；
对B，因为三边均确定，且满足任意两边大于第三边，故有唯一解；
对C，由面积公式可得，故，故有两解；
对D，由可得，故，故，即，结合，有，故可得有两组解.
故选：CD
12．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，.则有两组解
B．在中，已知，则是等腰直角三角形
C．两个不能到达的点之间无法求两点间的距离
D．在中，若.
【答案】AD
【分析】选项A，利用边边角多解的判定条件可判断；
选项B，原式可利用正弦定理转化为，可判断；
选项C，两个不能到达的点之间可通过构造三角形，通过解三角形求两点间的距离；
选项D，由正弦定理，，可判断.
【详解】选项A：由正弦定理，，又，或，有两组解，故A正确；
选项B：由题意，根据正弦定理，
又或，即或
故是等腰三角形或直角三角形，故B不正确；
选项C：两个不能到达的点之间可通过构造三角形，通过解三角形求两点间的距离，故C不正确；
选项D：由正弦定理，，故D正确.
故选：AD
三、填空题
13．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角B的大小为___________
【答案】
【分析】利用余弦定理结合已知条件求的余弦值即得结果.
【详解】因为，所以，
又△中，，故，
故答案为：.
14．已知外接圆半径是2，，则的面积最大值为__________．
【答案】
【分析】根据正弦定理求出，再根据余弦定理结合基本不等式可求 的最大值，从而可求面积的最大值.
【详解】根据正弦定理，，解得，
若的面积最大，则外接圆圆心在三角形内部，故角为锐角，，
又，整理得 ，
当且仅当时等号成立，故的最大值为12，
所以面积的最大值为，
故答案为：.
15．如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸，的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度等于_____m．
【答案】
【分析】先计算出的长度，然后在中求出和，利用正弦定理求出的长度．
【详解】在△ABC中，由得．
又，，
由正弦定理得．
故答案为．
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的实际应用，一般而言，正弦定理解三角形适用于已知两角与一边类型的三角形，同时要分清楚正弦、余弦定理所适用的基本类型，在解三角形时根据已知元素类型合理选择这两个公式来求解．
16．如图，测量河对岸的旗杆AB高时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得，，，并在点C测得旗杆顶A的仰角为，则旗杆高AB为_________.
【答案】
【分析】先根据三角形内角和为，可求得，再根据正弦定理求得BC，进而在中，根据求得AB．
【详解】在中，，
由正弦定理得，
所以，
在中，，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
四、解答题
17．在中，角A B C的对边分别为a b c，已知
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可；
（2）由（1）可得，利用正弦定理求得．
【详解】（1）在中，由，整理得，
又由余弦定理，可得；
（2）由（1）可得，又由正弦定理，
及已知，可得；
故.
18．函数·
（1）求函数的最小正周期并求当时，函数的最大值和最小值；
（2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求的面积.
【答案】（1），最大值为3，最小值为；（2）.
【分析】（1）根据同角三角函数关系式、正弦的二倍角公式、余弦诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；
（2）根据特殊角的三角函数值，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）
，
∴函数的最小正周期；
因为所以，
因为函数在单调递增，在上单调递减
所以，
，
所以函数的最大值为3，最小值为；
（2），
∵，∴.，即，
由正弦定理以及，可得，
由余弦定理可得，
可得，
∴，∴.
19．在中，已知，，，求边b的长及.
【答案】
【分析】由余弦定理可得，，再由面积公式可得的面积.
【详解】，
所以，
所以.
20．在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出，由已知条件得出角的范围，进而求出角．
（2）由，的值，利用正弦定理表示出，，进而表示出三角形的周长，利用三角形的内角和定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围．
(1)
解：由及正弦定理得：，又，所以，
所以，
又，所以，
(2)
解：由正弦定理可得，所以，，
所以的周长
，
因为，所以，所以
所以，
即，
所以周长的取值范围为．
21．在中，角所对的边分别为，c．且，
(1)求角大小
(2)若求函数的最小正周期和单调递增区间．
【答案】(1)
(2)最小正周期为；单调递增区间为
【分析】（1）中， ，，求，由正弦定理求得到角B的大小.
（2）求出c，代入，化简得，可求最小正周期和单调递增区间.
【详解】（1）中，，∴
由正弦定理得，
由，∴.
（2）中，，∴，
则，∴，
，
所以，所求函数的最小正周期为.
由，
得
所以所求函数的单调递增区间为.
22．在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理化简求得=，设a2=12k（k>0），则b2=7k，利用余弦定理求得c2=25k，然后利用余弦定理即可求解.（2）利用三角形面积公式求得ac=10，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，所以==.
设a2=12k（k>0），则b2=7k，由cosC=-，
得==-，解得c2=25k，
所以cosB===
0（2）因为△ABC的面积S=acsinB=ac=，所以ac=10.
又=，所以a=2，c=5.
由（1）知=，所以b=，CD=.
所以BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosC=，故BD=.6.4.3余弦定理、正弦定理专项练习
一、单选题
1．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．或
2．在中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是（ ）
A． B．
C． D．
3．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是（ ）海里
A． B． C．20 D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．90° B．120° C．60° D．150°
5．已知点在的边上，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
6．中，角所对的边分别为，表示三角形的面积，若，，则对的形状的精确描述是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
7．在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角所对的边分别是，若，则角的取范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知中，，若三角形有两解，则x不可能的取值是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．斜三角形ABC中，
B．若，，，则有两解
C．若，则一定为直角三角形
D．若，则外接圆半径为
11．在中，角所对的边分别为的面积为 根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，.则有两组解
B．在中，已知，则是等腰直角三角形
C．两个不能到达的点之间无法求两点间的距离
D．在中，若.
三、填空题
13．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角B的大小为___________
14．已知外接圆半径是2，，则的面积最大值为__________．
15．如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸，的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度等于_____m．
16．如图，测量河对岸的旗杆AB高时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得，，，并在点C测得旗杆顶A的仰角为，则旗杆高AB为_________.
四、解答题
17．在中，角A B C的对边分别为a b c，已知
(1)求的值；
(2)若，求的值.
18．函数·
（1）求函数的最小正周期并求当时，函数的最大值和最小值；
（2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求的面积.
19．在中，已知，，，求边b的长及.
20．在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
21．在中，角所对的边分别为，c．且，
(1)求角大小
(2)若求函数的最小正周期和单调递增区间．
22．在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.
