第6章6.2 平面向量的运算专项练习解析版
一、单选题
1．在△中，，则=( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】△中，有，由向量加减的三角形法则有、即可得、、间的等量关系
【详解】如下图，
∴向量加法的三角形法则：
∵，又
∴
即
故选：B
【点睛】本题考查了向量加减法的几何应用，结合向量加减法的三角形法则得到几何图形中各边对应向量的数量关系
2．已知向量，且不是方向相反的向量，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接由求解即可.
【详解】由已知必有，则所求的取值范围是．
故选：B.
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案．
【详解】根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】D
【分析】由向量的数量积的定义结合条件可得答案.
【详解】由条件可得
故选：D
5．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算将条件化为，再根据、、三点共线，得出，即可求解
【详解】由题意可知，，所以，
又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.
故选：D．
6．若非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设与的夹角为，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得，进而得答案.
【详解】解：根据题意，设与的夹角为，则，
若，则，
即，
又由，则，故选：C．
7．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
二、多选题
8．（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B． 3，
C．2， D． 3，
【答案】AB
【分析】利用平面向量共线基本定理即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，
则存在实数，使得，
即，
即，
所以，
又因为向量，不共线，
所以，解得，
所以实数，的值互为倒数即可求解.
故选：AB
9．若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】根据向量数量积的运算律逐一判断即可.
【详解】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，
若，则与方向相反，∴，B对，
若，则，即，不能推出，C错，
若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，
故选：ACD.
10．已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．，有
D．若，，则的值唯一
【答案】BC
【分析】结合已知条件，利用平面向量数量积的运算性质逐个检验即可
【详解】对于A：，
，故A错误；
对于B：，，
当，，得
，
，故B正确；
对于C：
，恒成立，故C正确；
对于D：，
，
，
，
，
，
，
当时，， ；
当时，，；
故D错误；
故选：BC
11．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】BD
【分析】由题意可知：，，两两的夹角为或，再根据平面向量数量积的运算计算的值即可求解.
【详解】，
因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或，
当夹角为时，
，，，
，
当夹角为时，
，，
，
，
所以或
故选：BD．
三、填空题
12．若＝5，与的方向相反，且＝7，则＝______.
【答案】
【分析】根据与的方向相反，则可设，根据题意求得即可.
【详解】解：∵与的方向相反，
可设，∴，
∴，∴,
又∵，∴.
故答案为：.
13．已知，，．则向量，夹角的余弦值为______．
【答案】
【分析】根据题意，设向量，夹角为，由数量积的计算公式可得，变形可得，解可得答案．
【详解】解：根据题意，设向量，夹角为，
若，，．则有，
即，解可得，
故答案为：．
14．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】根据条件：，
因为G是的重心，，
，
又M，G，N三点共线，.
，
，
当且仅当，即 时取等号成立.
的最小值为，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了基底向量、向量的共线定理性质运用、基本不等式的应用等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.
15．已知、、表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是__________．
【答案】
【分析】计算出的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得的取值范围.
【详解】已知、、表示共面的三个单位向量，，则，
，
所以，，
而，因此，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
四、解答题
16．化简下列各式：
（1）(＋)＋(－－)；
（2）－－.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据向量的加法三角形法则，可化简;
（2）根据向量的减法法则或向量的加法的平行四边形法则，可化简.
【详解】（1）法一：原式
法二：原式;
（2）法一：原式.
法二：原式.
【点睛】本题考查向量的加法和减法法则化简向量，关键在于熟练运用向量的加法和减法的法则，属于基础题.
17．阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可
（2）设，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于 的方程组，解出 ，再根据“极化恒等式”计算出的值
【详解】（1）
（2）设
，由（1）知 ，即 ①
,同理可得 ，即 ②
由①②解得
18．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【详解】（1）∵，，
∴，
；
（2）证明：∵，
∴与平行，又∵与有公共点，∴三点共线.
19．已知，.求的最大值和最小值.
【答案】最大值是3，最小值是1.
【分析】根据得到最大值，得到最小值.
【详解】因为，，
所以，当且仅当与，即与的方向相同时取等号.
，当且仅当与，即与的方向相反时取等号.
所以的最大值是3，最小值是1.
20．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.
(1)求；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)；(2)的余弦值为
【分析】(1)由条件可得，两边平方结合数量积的性质可求，(2) 与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.
【详解】（1）又已知为的中点，
所以，
所以，
所以，
又，，，
所以，所以，
（2）因为为的中点，所以，
又，
所以,
所以，
，
所以，
又与的夹角相等，
所以，所以的余弦值为.6.2 平面向量的运算专项练习
一、单选题
1．在△中，，则=
A． B．
C． D．
2．已知向量，且不是方向相反的向量，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（ ）
A． B．
C． D．1
5．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B． 3，
C．2， D． 3，
9．若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．，有
D．若，，则的值唯一
11．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．2 C． D．5
三、填空题
12．若＝5，与的方向相反，且＝7，则＝______.
13．已知，，．则向量，夹角的余弦值为______．
14．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为___________.
15．已知、、表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是__________．
四、解答题
16．化简下列各式：
（1）(＋)＋(－－)；
（2）－－.
17．阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
18．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
19．已知，.求的最大值和最小值.
20．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.
(1)求；
(2)求的余弦值.
