6.3平面向量基本定理及坐标表示专项练习基础版解析
一、单选题
1．在中，，，点M为线段DE的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量加法与减法的线性运算,即可得解.
【详解】中,,,点M为线段DE的中点,位置关系如下图所示:
由向量的线性运算可得
.
故选:A
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,根据线段关系用基底表示向量,属于基础题.
2．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解.
【详解】解：以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则、、、，
，，
，
故选：B.
3．在中，，，M是线段BC的三等分点（靠近点C），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.
【详解】在中，，，M是线段BC的三等分点（靠近点C），
所以.
故选：A
4．已知四边形是平行四边形，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算得出，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，即可得出的值．
【详解】，
，
，
，，故，
故选：C．
5．已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】依题意可判断可以作为一组基底，再根据平面向量共线定理计算可得；
【详解】解：因为，
所以不共线，所以可以作为基底，所以由与共线，得，解得.
故选：A．
6．设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用投影向量的计算公式求解．
【详解】解：，，
在方向上的投影向量.
故选：A.
7．已知，，且，，则的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（－1，2） C．（1，－2） D．（－1，－2）
【答案】D
【分析】由平行排除两个选项，再由数量积小于0确定正确选项．
【详解】，B选项向量与不平行，同理C选项向量与不平行，
又，A选项也不合题意，只有D满足题意．
故选：D.
8．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．＝(2，2)，＝(1，1) B．＝(1，－2)，＝(4，－8)
C．＝(1，0)，＝(0，－1) D．＝(1，－2)，＝
【答案】C
【分析】利用向量共线定理对各个选项判断即可.
【详解】因为不共线的两个向量可以作为它们所在平面内所有向量的基底，
对于A，由于，即共线，故A不合题意；
对于B，由于，即共线，故B不合题意；
对于C，由于，即不共线，故C合题意；
对于D，由于，即共线，故D不合题意；
故选：C.
二、多选题
9．已知平面向量，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由可得，而，则有，则可求出，进而可求出
【详解】因为，所以，
所以，
因为
所以，则．
因为，
所以．
故选：AC
10．已知向量，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．向量在向量上的投影为
C．与的夹角余弦值为
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据向量的几何意义即可判断B；根据向量夹角公式的坐标表示可判断C；根据向量共线的坐标表示可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：，，可得，，
所以向量与不垂直，故选项A不正确
对于选项B：向量在向量上的投影为
，故选项B正确；
对于选项C：，所以与的夹角余弦值为，
故选项C正确；
对于选项D：，，因为，所以与平行，故选项D正确，
故选：BCD.
11．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若向量与向量满足，且与同向，则
B．若向量，则与共线的单位向量是
C．若，则可知
D．
【答案】CD
【分析】根据向量的定义，共线向量，以及平面向量基本定理，向量数量积的性质，逐一判断选项.
【详解】A.向量是既有方向又有大小的量，向量不能比较大小，故A错误；
B.与向量共线的单位向量是和，故B错误；
C. 若，则，即，故C正确；
D. ，故D正确.
故选：CD
12．已知向量，，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．与向量平行的单位向量为
D．与是共线向量
【答案】ABD
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用与向量平行的单位向量为可判断C选项；利用零向量与任何非零向量共线可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，因此，，B对；
对于C选项，，则与向量平行的单位向量为，C错；
对于D选项，与是共线向量，D对.
故选：ABD.
三、填空题
13．如图，在中，D是的中点，E是的中点，F是的中点，若，，则用，表示的结果为______．
【答案】
【分析】利用向量的线性运算，可得，从而可得 .
【详解】解：由题意，可得，
是的中点，E是的中点，F是的中点，
∴，同理，，，
.
故答案为： .
14．已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为_____．
【答案】3
【解析】以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，算出和的坐标，然后可得答案.
【详解】以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示
则
∴
故答案为：3
【点睛】本题考查的是平面向量的数量积的运算，属于基础题.
15．已知，若，则实数________．
【答案】或
【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，即，解得或，
故答案为：或
16．已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.
【答案】
【解析】利用与垂直求出，然后由数量积的定义可得向量与的夹角的余弦值．
【详解】由已知，，
∵与垂直，∴，∴，
∴以．
故答案为：．
四、解答题
17．（1）已知，，求向量、的坐标；
（2）已知轴的正方向与向量的夹角为,且，求向量的坐标.
【答案】（1），；（2）或
【分析】（1）利用平面向量的线性运算可求得向量、的坐标；
（2）设，根据平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，即可求得向量的坐标.
【详解】解：（1）由已知可得，则，
；
（2）设，与已知轴的正方向同方向的单位向量为，
由题意可得，解得，故或.
18．已知向量与的对应关系可用表示.
（1）设，，求及的坐标；
（2）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有成立；
（3）求使成立的向量.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）带入对应关系直接计算即可；（2）设，，求出，带入对应关系求出，然后计算，得出两式相同，即可证明；（3）设，带入对应关系解出.
【详解】（1），
（2）设，，∴，
∴
∴，
故对于任意向量、及常数m、n，恒有成立.
（3）设，因为，则有，解得，所以.
19．已知点、，向量，．
（1）若，求与夹角的余弦值；
（2）若向量与平行，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出向量、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得与夹角的余弦值；
（2）求出向量与的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】（1）由已知可得，则，
所以，；
（2）因为，，
因为向量与平行，故，解得.
20．已知 三点的坐标分别为 ，且，，求点 和向量的坐标.
【答案】点的坐标为，点的坐标为，向量.
【解析】由 三点坐标可得，，再分别设P、Q的坐标，由C点坐标再次求得、，根据向量相等可得答案.
【详解】因为 三点的坐标分别为 ，
所以，，
所以，，
设，则有，
所以，解得，
即点的坐标为，
设，则有，
所以，解得，
可得，
因此向量.
【点睛】本题考查了用坐标表示向量的线性运算，关键点是用两种方式求出向量的坐标，根据向量相等可得答案.
21．已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，且A，B，C，D按逆时针方向排列，求：
（1）AB，BC；
（2）C点的坐标．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由两点间距离公式，及平行四边形对边相等的性质，即得解；
（2）利用，即，即得解
【详解】（1）由两点距离公式得．
又因为，
所以．
（2）由题意知，，所以，
因此，，
从而．
【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
22．已知平面向量．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角．求实数的取值范围．
【答案】(1)或；(2)
【分析】（1）设，由向量平行和向量的模列出方程组可解得x，y，即可得向量的坐标；
（2）由可求出的范围，去除两向量共线的情形即可得最终范围.
【详解】（1）设，
因为，所以，因为，所以
解得：，或，所以或
（2），，
因为与的夹角为锐角，所以，
，解得：且，即6.3平面向量基本定理及坐标表示专项练习基础版
一、单选题
1．在中，，，点M为线段DE的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，M是线段BC的三等分点（靠近点C），则（ ）
A． B． C． D．
4．已知四边形是平行四边形，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，且，，则的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（－1，2） C．（1，－2） D．（－1，－2）
8．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．＝(2，2)，＝(1，1) B．＝(1，－2)，＝(4，－8)
C．＝(1，0)，＝(0，－1) D．＝(1，－2)，＝
二、多选题
9．已知平面向量，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．向量在向量上的投影为
C．与的夹角余弦值为
D．若，则
11．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若向量与向量满足，且与同向，则
B．若向量，则与共线的单位向量是
C．若，则可知
D．
12．已知向量，，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．与向量平行的单位向量为
D．与是共线向量
三、填空题
13．如图，在中，D是的中点，E是的中点，F是的中点，若，，则用，表示的结果为______．
14．已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为_____．
15．已知，若，则实数________．
16．已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.
四、解答题
17．（1）已知，，求向量、的坐标；
（2）已知轴的正方向与向量的夹角为,且，求向量的坐标.
18．已知向量与的对应关系可用表示.
（1）设，，求及的坐标；
（2）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有成立；
（3）求使成立的向量.
19．已知点、，向量，．
（1）若，求与夹角的余弦值；
（2）若向量与平行，求实数的值．
20．已知 三点的坐标分别为 ，且，，求点 和向量的坐标.
21．已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，且A，B，C，D按逆时针方向排列，求：
（1）AB，BC；
（2）C点的坐标．
22．已知平面向量．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角．求实数的取值范围．
