6.4平面向量的应用专项练习解析版
一、单选题
1．在中，，，，，则下列关系不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可．
【详解】解：对于A，，则，故A成立；
对于B，因为，所以，故B成立；
对于C，，则，故C成立；
对于D，，则，故D不成立.
故选：D.
2．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求出，从而求出的大小.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
故选：B
3．如图，一货轮航行速度为海里/小时，在处，测得灯塔在货轮的北偏东，随后货轮按北偏西的方向航行分钟后到达处，又测得灯塔在货轮的北偏东，此时货轮到灯塔的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】B
【分析】计算出、、的值，利用正弦定理可求得结果.
【详解】在中，，，，
所以，由正弦定理，可得.
故选：B.
4．在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解仅有唯一解，则（ ）
A．0＜a≤2 B．2＜a≤2
C．0＜a≤2或a≥2 D．0＜a≤2或a＝2
【答案】D
【分析】由正弦定理判断.
【详解】解：由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，
因为仅有唯一解，
所以A，C的值确定，
当时，，仅有唯一解，此时，
则0＜a≤2，
当时，，仅有唯一解，此时，
当，且时，有两解，不符合题意，
综上：0＜a≤2或．
故选：D．
5．如图所示，在中，为中点，过点的直线分别交于不同的两点，设，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意，利用作为基底表示向量，进而根据向量相等求解即可.
【详解】解：因为在中，为中点，，，
所以，
设，
所以，即
所以.
故选：C
6．已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的150公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则
A． B．80 C．100 D．125
【答案】C
【详解】画出图象如下图所示，由余弦定理得
①，
由正弦定理得，.
由，解得，
故，，
故，
代入①解得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，属于中档题.
7．已知，在三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且b＝7，则a＋c＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】切化弦，化简整理可得，然后由正弦定理和和差化积公式可得.
【详解】因为，所以，
化简得，所以，
因为，所以，
即，由正弦定理，所以
故选：C
8．设、、是平面内不共线的三点，记，若 为线段 垂直平分线上任意一点，且当时,则等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设是线段的中点，将转化为求数量积，再用代入，得，结合已知条件的数据，不难得出这个数量积．
【详解】设是线段的中点，
根据题意，得
，
与互相垂直
，
又三角形中，是边上的中线
∴
故选：D．
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
【答案】BC
【分析】结合选项逐个求解，可进行判断.
【详解】对于A，因为，所以，只有一解；
对于B，因为，且，所以有两解；
对于C，因为，且，所以有两解；
对于D，因为，但，所以有一解；
故选：BC.
10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形且，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则符合条件的有两个
【答案】AC
【分析】对于A：可得，利用正弦函数单调性和诱导公式分析运算；对于B：，则或，则为等腰三角形或直角三角形；对于C：利用大边对大角结合正弦定理处理辨析；对于D：运用余弦定理求．
【详解】若为锐角三角形，则，即
∵，则，A正确；
，则或，即或
∴为等腰三角形或直角三角形，B错误；
∵
根据正弦定理
∴，C正确；
，即，即
符合条件的只有一个，D错误；
故选：AC．
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】AB
【分析】先利用三角形的三边关系得到，再结合得到，即判定选项A正确；先利用三角形的内角和定理得到，再结合正弦定理和边角关系判定选项B正确；先利用正弦定理将边角关系转化为边边关系，再利用余弦定理得到，再利用判定选项C错误；先利用诱导公式、两角差的正弦公式得到，进而判定三角形是直角三角形或等边三角形，即选项D错误.
【详解】对于A：根据三角形的三边关系得，
即，又，所以，
即的形状唯一确定，故选项A正确；
对于B：因为，所以，
解得，又因为，，
所以由，得，
解得，又，所以，
即三角形唯一确定，故选项B正确；
对于C：因为，
所以，则，
则，
因为，所以，
又，则，
所以三角形不存在，即选项C错误；
对于D：因为，
所以，
所以，
所以，
则或，
即或，
若，又，，所以；
若，又，，所以；
即是直角三角形或等边三角形，即选项D错误.
故选：AB.
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则为锐角三角形 D．若的面积，且，则
【答案】AC
【分析】利用正弦定理化边为角证明等号右边等于左边即可判断A；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系化切为弦以及正弦的二倍角公式化简可得角、的关系， 即可判断B；可判断最大，根据已知条件变形可得即由余弦定理可求角，可判断C；由三角形的面积公式、正弦定理以及二倍角公式化简即可判断D；进而可得正确选项.
【详解】对于A：由正弦定理化边为角可得
，（指外接圆的半径），故选项A正确；
对于B：若，则，因为，，所以，即，所以或
，所以或，当时，不一定有，故选项B不正确；
对于C：因为，所以中边最大，由可得，
因为，，所以，即，
所以，可得角为锐角，因为角是中最大的角，所以是锐角三角形，故选项C正确；
对于D：由面积公式可得：，由正弦定理可得：，
因为且，所以，因为，
所以，所以，可得或为锐角，故选项D不正确；
故选：AC.
三、填空题
13．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是________ km/h.
【答案】150
【分析】根据题意，由求解.
【详解】如图所示，
，
故答案为：.
14．在中，角的对边分别是，已知的面积为，则=___________.
【答案】
【分析】先利用面积公式得关系式，再利用正弦定理进行边角互化即得结果.
【详解】依题意，中，面积，即得，
利用正弦定理进行边化角得，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式和正弦定理，属于基础题.
15．如图，在等腰梯形中，，，是的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，为圆弧与的交点，若，其中，，则的取值范围是______.
【答案】，
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量相等列方程组求出、，利用辅助角公式化简，再利用正弦函数性质可求得结论．
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，
则，，，，
，，，，；
设，，
由，
，，
，，
①，
②，
由①②解得，
，
，
，时，，，
，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用以及求解运算能力，正确利用坐标系是解题的关键．平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是几何运算，二是利用坐标运算，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
16．在中，已知，，则的外接圆直径为______．
【答案】
【分析】根据正弦定理的推论，即可求得答案.
【详解】由正弦定理可得 (R为的外接圆半径)，
故 ，
即的外接圆直径为，
故答案为：
四、解答题
17．已知：如图，在梯形中，，，，，求的长
【答案】
【分析】先在求得,即得,再利用余弦定理求的长.
【详解】因为，，所以为正三角形，
所以
因为，，所以
因此
【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．在三角形ABC中，A= ，D点在AC边上，AD=1， DC=．
(1)BD=，求△ABD的面积．
(2)若E点在AB边上，AD= AE，∠DBC= 30°，求sin∠EDB．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)在中利用余弦定理和面积公式即可；
（2）在和中利用正弦定理分析求解.
（1）
在中，由余弦定理得
，
即，则（舍负）
所以，．
（2）
，则为正三角形，，
设，在中，，
由正弦定理得．（*）
在中，，
由正弦定理得（**）
由（*）和（**）得，
即，
又，则，故，所以，.
19．如图，在中，，，，点在边上，且．
（1）求；
（2）求线段的长．
【答案】（1）；（2）4.
【解析】（1）直接根据余弦定理即可求出；
（2）根据同角的三角函数的关系和正弦定理即可求出．
【详解】（1）根据余弦定理：；
（2）因为，所以，，
，
，
根据正弦定理得：，
．
【点睛】本题考查利用正余弦定理，同角的三角函数的关系，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于中档题．
20．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，，.
（1）求外接圆的半径；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】（1）由，利用正弦定理、和差公式可得，再利用正弦定理即可得出外接圆的半径．
（2）由，可得：，．可得．，利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．
【详解】（1）因为
所以
所以
所以
又因为
所以
又
所以
又因为
所以
又因为
所以外接圆半径
（2）据题设知，
所以，
又，
所以
因为是锐角三角形，且
所以
解得
所以
所以
即周长的取值范围是
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
21．中，三个内角的对边分别为，若，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若，则有cosB （2a+c）+cosC b=0，结合正弦定理可得cosB （2sinA+sinC）+cosC sinB=0，将其整理变形可得，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案．
详解：
（1）∵，∴，
∴，
∴ ，
∴，∴.
（2）根据余弦定理可知，∴，
又因为，∴，∴，∴，
则.
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
22．在中，已知，，
（Ⅰ）若ac=5，求的面积；
（Ⅱ）若为锐角，求的值．
【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）．
【详解】试题分析：第一问该题是有关解三角形问题，第一问根据题中的条件，结合同角正余弦平方和等于，从而求得，利用正弦定理，结合题中的条件，求得，利用三角形的面积公式求得结果；第二问由第一问中的结果，结合题中的条件为锐角，利用同角正余弦平方和等于，可得，最后根据三角形内角和为，利用诱导公式转化，利用和角公式求得结果.
（Ⅰ）由，得，因为，所以.
因为，所以．
故的面积．
（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.
所以．
方法点睛：该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中，一定要抓住题的条件，死咬同角的正余弦平方和等于1，以及灵活应用正弦定理，熟练应用诱导公式以及正弦和角公式，从而能够正确得出结果.6.4平面向量的应用专项练习
一、单选题
1．在中，，，，，则下列关系不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一货轮航行速度为海里/小时，在处，测得灯塔在货轮的北偏东，随后货轮按北偏西的方向航行分钟后到达处，又测得灯塔在货轮的北偏东，此时货轮到灯塔的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
4．在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解仅有唯一解，则（ ）
A．0＜a≤2 B．2＜a≤2
C．0＜a≤2或a≥2 D．0＜a≤2或a＝2
5．如图所示，在中，为中点，过点的直线分别交于不同的两点，设，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确定
6．已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的150公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则
A． B．80 C．100 D．125
7．已知，在三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且b＝7，则a＋c＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．设、、是平面内不共线的三点，记，若 为线段 垂直平分线上任意一点，且当时,则等于 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形且，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则符合条件的有两个
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则为锐角三角形 D．若的面积，且，则
三、填空题
13．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是________ km/h.
14．在中，角的对边分别是，已知的面积为，则=___________.
15．如图，在等腰梯形中，，，是的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，为圆弧与的交点，若，其中，，则的取值范围是______.
16．在中，已知，，则的外接圆直径为______．
四、解答题
17．已知：如图，在梯形中，，，，，求的长
18．在三角形ABC中，A= ，D点在AC边上，AD=1， DC=．
(1)BD=，求△ABD的面积．
(2)若E点在AB边上，AD= AE，∠DBC= 30°，求sin∠EDB．
19．如图，在中，，，，点在边上，且．
（1）求；
（2）求线段的长．
20．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，，.
（1）求外接圆的半径；
（2）求周长的取值范围.
21．中，三个内角的对边分别为，若，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
22．在中，已知，，
（Ⅰ）若ac=5，求的面积；
（Ⅱ）若为锐角，求的值．
