8.4空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练
（答案）
一、选择题
1、下列命题是真命题的是( B )
A．空间任意三个点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面
D．两两平行的三条直线确定三个平面
2、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是( D )
A．AB与CD是异面直线
B．GH与CD相交
C．EF∥CD
D．EF与AB异面
解：把展开图还原成正方体，如图所示．
还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A，B，C正确，EF与AB相交，故D错误，选D．
3、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( C )
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
解：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.
4、已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则( A )
A．P∈c B．P c
C．c∩a＝ D．c∩β＝
解：因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a α，b γ，
由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，
所以P∈α且P∈γ，
因为γ∩α＝c，所以P∈c，故选项A正确，选项B不正确；
因为P∈c，P∈a，所以c，a有公共点P，故选项C不正确；
因为P∈b，b β，所以P∈β，因为P∈c，所以c与β有公共点P，故选项D不正确；故选A．
5、在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( B )
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
解：如图，因为EF 平面ABC，HG 平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以P∈AC.故选B．
6、已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m α，所以m，n，l在同一平面内，故选B．
7、如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( C )
A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线
B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线
C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线
D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线
解：如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为MH∥A1C1∥AC∥FG，
所以M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，
所以E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，
因为EF∥HN，HN∩HG＝H，
HN，HG，EF 平面EFGNHM，
所以EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，
所以EF＝GH，即GH≠2EF.故选C．
8、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是( D )
解：对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．
9、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是( C )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
解：由题意知，D∈l，l β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
10、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.
11、若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b α，则a与b的位置关系是( D )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
解：若A∈b，则a与b相交，若A b，则a与b异面，故选D．
12、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( D )
A．直线AA1 B．直线A1B1
C．直线A1D1 D．直线B1C1
解：根据异面直线的概念可知直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线．因为直线B1C1和EF在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线B1C1和直线EF相交．
13、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( B )
A．AP与CM是异面直线
B．AP，CM，DD1相交于一点
C．MN∥BD1
D．MN与平面BB1D1D相交
解：连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，
又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，
所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确．
令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.
因为M，N分别是C1D1，BC的中点，
所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝CD，
则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，
又因为OD1与BD1相交于点D1，所以MN与BD1不平行．
因为MN 平面BB1D1D，OD1 平面BB1D1D，
所以MN∥平面BB1D1D，C不正确，D不正确．
14、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( D )
A． B．
C． D．
解：如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝，故选D．
15、如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( D )
A． B．
C． D．
解：如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．
因为SE＝SB，
所以SE＝BE.
又OB＝3，所以OF＝OB＝1.
因为SO⊥OC，SO＝OC＝3，所以SC＝3.
因为SO⊥OF，所以SF＝＝.
因为OC⊥OF，所以CF＝.
所以在等腰三角形SCF中，
tan ∠CSF＝＝.
16、如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( D )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解：①中GH∥MN；②中，G，H，N三点共面，但M 平面GMN，因此GH，MN是异面直线；③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH，MN是异面直线．
17、已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是( B )
A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合
B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交
D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行
解：选B．A选项，当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，M，N两点能重合，可知A错误；B选项，若M，N重合，则AC∥BD，则AC∥平面β，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项，当AB与CD相交，且AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项，当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B．
二、填空题
18、已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为___③_____．
①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；
②若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交．
解：①忽略了a在α内这一情况，故①错误；
②直线a与b没有交点，所以直线a与b可能异面也可能平行，故②错误；
③直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；
④直线a与平面β可能相交也可能平行，故④错误．
19、已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是___平行_____．
解：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.
20、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
解：如图，将原图补成正方体ABCD-QGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，所以∠APG或其补角为异面直线AP与BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝.
21、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN是异面直线．
以上结论中，正确结论是____③④____．(填序号)
解：由平面展开图可得原正方体如图所示：
由图可得，BM，ED为异面直线，CN与BE不是异面直线，DM，BN是异面直线，故①②错误，
④正确．
连接AN，AC，DM，BN，BE，
则△ANC为等边三角形，而BM∥AN，
故∠ANC或其补角为CN与BM所成的角，
因为∠ANC＝60°，
故CN与BM所成的角为60°，故③正确．
综上，正确命题的序号为③④.
三、解答题
22、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
证明：如图，连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，因为BB1DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，
又H∈B1D，B1D 平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，
所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．
23、如图，已知在空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．
解：如图，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，所以∠EMN＝∠ENM＝30°，
所以∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，
即BC与AD所成的角为60°.
24、在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O-ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O-ABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，所以ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
因为＋＝，即DE2＋EM2＝MD2，
所以△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
所以tan ∠EMD＝＝＝.
所以异面直线OC与MD所成角的正切值为.
25、如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綉AD.又BC綉AD，
∴GH綉BC.
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 共面.∵BE綉AF，G是FA的中点，
∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.8.4空间点、直线、平面之间的位置关系跟踪训练
一、选择题
1、下列命题是真命题的是( )
A．空间任意三个点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面
D．两两平行的三条直线确定三个平面
2、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是( )
A．AB与CD是异面直线
B．GH与CD相交
C．EF∥CD
D．EF与AB异面
3、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
4、已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则( )
A．P∈c B．P c
C．c∩a＝ D．c∩β＝
5、在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
6、已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7、如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )
A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线
B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线
C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线
D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线
8、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是( )
9、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
10、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
11、若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b α，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
12、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )
A．直线AA1 B．直线A1B1
C．直线A1D1 D．直线B1C1
13、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )
A．AP与CM是异面直线
B．AP，CM，DD1相交于一点
C．MN∥BD1
D．MN与平面BB1D1D相交
14、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A． B．
C． D．
15、如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )
A． B．
C． D．
16、如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
17、已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是( )
A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合
B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交
D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行
二、填空题
18、已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．
①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；
②若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交．
19、已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
20、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
21、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN是异面直线．
以上结论中，正确结论是________．(填序号)
三、解答题
22、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
23、如图，已知在空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．
24、在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O-ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
25、如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
