6.4.3余弦定理、正弦定理专项练习提高版
一、单选题
1．如图中，已知点在边上，，，，，则的长为
A． B．
C． D．
2．在中，角 所对的边分别为 ，且，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．内角，，的对边分别为，，．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角A B C所对的边分别为a b c，若，，，点O H分别为的外心和重心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角△ABC中，，，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，的面积为S，若，则下列结论一定正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．有最小值
10．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则CD的值可能为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．下列说法中正确的是（ ）．
A．若，，．则有两组解
B．在中，已知，则是等腰直角三角形
C．若，则直线AP一定经过这个三角形的外心
D．在中，若
12．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状是等腰三角形
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则面积的最大值为
D．若的面积，，则的最大值为
三、填空题
13．在中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是__________.
14．点为所在平面内的一点且满足，
，动点满足，，则的最小值为__________．
15．中，，则的最大值为____________.
16．已知中，，，则面积的最大值是_________.
四、解答题
17．如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足．
(1)证明：；
(2)若，设,求四边形面积的最大值.
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若D是AC边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
19．已知的内角的对边分别为，满足，
(1)求；
(2)是线段边上的点，若，求的面积.
20．如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
21．D为边上一点，满足，，记，．
(1)当时，且，求CD的值；
(2)若，求面积的最大值．
22．王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC上的点F处，折痕为DE，设，．
（1）求x、y满足的关系式；
（2）求x的取值范围．6.4.3余弦定理、正弦定理专项练习提高版解析
一、单选题
1．如图中，已知点在边上，，，，，则的长为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，再由余弦定理即可求出.
【详解】根据题意有，
根据余弦定理可知
,
所以有的长为．
故选：B.
2．在中，角 所对的边分别为 ，且，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用正弦定理边角互化，结合同角三角函数关系可求得，利用余弦定理构造方程可求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】由正弦定理得：，
，
，，，
，由正弦定理得：，.
由余弦定理得：，解得：，
，.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查解三角形中的正余弦定理和三角形面积公式的应用。求解此类问题时，当所给边角关系式中边齐次时，通常采用正弦定理边化角，结合三角恒等变换公式化简整理得到所需等量关系.
3．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将，变形整理为，再根据正弦定理，变形整理为，确定，然后根据余弦定理，确定，根据三角形面积公式求解即可.
【详解】依题意，，即，故，故，即，因为，故；由余弦定理，，即，即，则，则的面积.
故选：C
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题.
4．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将，转化为，即，再根据为最大边，得到，然后由余弦定理得到，再利用基本不等式得到即可.
【详解】因为，
所以，即，
即
即，
所以，
因为为最大边，
所以，
由余弦定理得，
，
所以，
即，
又，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算变形求解问题的能力，属于较难题.
5．内角，，的对边分别为，，．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由正弦定理得到，求出的外接圆半径为R，作出辅助线利用余弦定理求出，求出的长.
【详解】由正弦定理得：，
因为，所以，故，即，
因为，所以，
设的外接圆半径为R，
则由正弦定理得：，故，
如图，，且，
因为，所以，，
过点C作CH∥OB交OP的延长线于点H，则，
因为，所以，，
在三角形OCH中，由余弦定理得：，
则，
所以
故选：C
6．在中，角A B C所对的边分别为a b c，若，，，点O H分别为的外心和重心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，作交于，过点作，连接，根据三角形重心和外心的定义可知，，在中，分别求出及，再利用余弦定理即可得出答案.
【详解】解：如图，取的中点，作交于，过点作，连接，
根据三角形重心的定义可知，
中，，则，
所以和均为等腰直角三角形，，
则，
根据三角形外心的定义可知，
由，
则，
则，，
则，则，
因为，，
所以，所以，
则，
在中，
，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了三角形的三心问题，在三角形外心和重心的基础之上利用余弦定理解三角形的问题，关键是理解外心和重心的定义，有一定的难度.
7．在锐角△ABC中，，，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求取值范围的问题.
【详解】∵，
∴，
∴，即，为锐角，
∴，又，
由正弦定理可得，
所以
，其中，，
因为为锐角三角形，
所以，
所以，又，
∴，
故的周长的取值范围是．
故选：C.
8．在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用正弦定理和余弦定理解三角形，求得，由此求得的取值范围.
【详解】由于，设是上一点，且，所以，.由，得，.设，在三角形中，.由正弦定理得，即，解得，所以.在三角形中，由余弦定理得，化简得，解得.表示平面内的点到两点的距离之差，所以，所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查向量模的减法运算的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，的面积为S，若，则下列结论一定正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．有最小值
【答案】BCD
【分析】由已知条件结合三角形面积公式，余弦定理辅助角公式，以及基本不等式，然后对各选项进行判断即可．
【详解】∵的面积为，若，
可得，∴，故A错误；
由余弦定理可得，，
∴，所以，故B正确；
由余弦定理可得，，
所以，
∴，（其中），故C正确；
又∴当且仅当时取等号；
所以，即，即
所以，又，所以，
，即最小值，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题对选项D的判断，容易产生误解，在解答过程中应该使用基本不等式得到进而求出，是判断选项D是否正确的关键.
10．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则CD的值可能为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】CD
【分析】设，由正弦定理得，由余弦定理得，，结合辅助角公式求出，即可求解.
【详解】设，在中，由正弦定理得，即，
由余弦定理得，又，
在中，由余弦定理得
，其中，所以当时，，A、B错误，C正确；
当时，，D正确.
故选：CD.
11．下列说法中正确的是（ ）．
A．若，，．则有两组解
B．在中，已知，则是等腰直角三角形
C．若，则直线AP一定经过这个三角形的外心
D．在中，若
【答案】AD
【分析】根据正弦定理可判断解的个数从而确定A的正误，根据正弦定理边角互化确定角的关系即可判断B的正误，根据式子特点确定的值即可确定C的正误，根据边角关系及正弦定理即可确定D的正误.
【详解】对于A，由正弦定理得，因为，所以或，有两解，故A正确；对于B，，可得或，故B错误；对于C，，所以直线AP一定经过这个三角形的垂心，故C错误；对于D，，故D正确.
故选：AD.
12．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状是等腰三角形
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则面积的最大值为
D．若的面积，，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】求得判定的形状是等腰三角形.选项A判断正确；求得角C有一个值.选项B判断错误；求得面积的最大值判断选项C；求得的最大值判断选项D.
【详解】选项A：由，可得，化简得，则的形状是等腰三角形.判断正确；
选项B：由，，，则有，
由，可得，则,
则满足条件的三角形仅有一个.判断错误；
选项C：由，可得
则（当且仅当时等号成立），解之得
则面积.判断正确；
选项D：由的面积，可得
化简得，又，则
又，则，则，（当且仅当时等号成立）
即的最大值为.判断正确.
故选：ACD
三、填空题
13．在中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是__________.
【答案】##0.6
【分析】由余弦定理结合基本不等式可得，从而得到的最大值.
【详解】由得：
故，
当且仅当时取等号，由于，故，
则，则，
即的最大值是
故答案为：
14．点为所在平面内的一点且满足，
，动点满足，，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定出的形状，再建立平面直角坐标系，借助坐标法求解作答.
【详解】令的内角所对的边分别为，
因，则点是外接圆的圆心，有，
由得：，
由二倍角的正弦公式整理得：，即，而在中，均为正，
即得：，由正弦定理得：，则有是正三角形，，
以点为原点，射线AB为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
则，由，设，
显然点是的中点，则有，
，
当时，取得最小值，所以 的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：平面图形中涉及动点问题，可以建立适当的平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键.
15．中，，则的最大值为____________.
【答案】
【分析】先求出，再利用正弦定理求出，再利用三角变换和基本不等式求其最大值.
【详解】由题得，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题的解题关键有两点，其一是利用正弦定理化简求出 ，其二是化简得到 ，再利用基本不等式求最大值.
16．已知中，，，则面积的最大值是_________.
【答案】3
【分析】利用条件结合余弦定理，求出，，再求出，代入面积公式转化为关于的二次函数即可求解.
【详解】由题知，如图所示：
因为，所以，
由余弦定理得：，
联立解得：，，
所以，
所以，
.
故答案为：3.
【点睛】考查了解三角形中余弦定理，面积公式等相关知识点，对于范围问题可尝试转化为二次函数或基本不等式来分析求解.
四、解答题
17．如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足．
(1)证明：；
(2)若，设,求四边形面积的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由已知条件化简可得sinC+sinB＝2sinA，再由正弦定理可得b+c＝2a；
（2）由条件和（1）的结论可得△ABC为等边三角形，利用S△OACB＝S△OAB+S△OBC，结合辅助角公式，可得平面四边形OACB面积的最大值．
【详解】（1）证明：由
，
，
，
，正弦定理得
（2）解：，，为等边三角形
,
，时，取最大值.
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及正弦定理和三角形的面积，考查三角函数的性质，正确表示平面四边形OACB面积是关键．
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若D是AC边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积.
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）先由向量的数量积及余弦定理求得，再由正弦定理化简得，即可求出，进而求出；
（2）直接由两角差的正弦、倍角公式及辅助角公式化简得，再由的范围及正弦函数的单调性求解即可；
（3）先由结合余弦定理得，令，借助辅助角公式得，求出取最大值时的值，即可计算面积.
（1）
由，，
则，由正弦定理得，化简得，
故，又，故；
（2）
由（1）知，，故
，
又，则，，故；
（3）
易得，由，可得，
整理得，又，整理可得，令，
则，其中，当，即时，取最大值，
此时，解得，
的面积为.
19．已知的内角的对边分别为，满足，
(1)求；
(2)是线段边上的点，若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦函数的倍角公式与诱导公式将条件转化为关于的一元二次方程，解之即可求得；
（2）在、与中，利用余弦定理及诱导公式得到关于的方程组，从而求得，从而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，，，
所以，即，
又，所以，
又，所以，则，故，
又，所以.
（2）设，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，，
所以，，整理得①，
在中，由余弦定理得，则②，
由①－②得，故，
将代入①式得，
所以的面积.
.
20．如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【分析】(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解；
(2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得.
【详解】(1)设，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，
则梯形的面积；
(2)在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，
即
解得或，
因为，则，即．
【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；
(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
21．D为边上一点，满足，，记，．
(1)当时，且，求CD的值；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设CD长为x，可知，，再利用正切的二倍角公式可求解；
（2）利用正弦定理得，，再利用三角形面积公式结合两角差的正弦公式及辅助角公式可得，利用正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）设CD长为x，当时，，，则，
因为，所以，即
所以，得，所以，所以为
（2）在中，，则，
由正弦定理得，又，
所以，，
则的面积，
又，
所以
因为，所以，
所以当，即时，S有最大值
又的面积等于，故的面积的最大值为
22．王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC上的点F处，折痕为DE，设，．
（1）求x、y满足的关系式；
（2）求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）连接，由翻折的特点可得垂直平分，则，在中，运用余弦定理可得，的关系式；
（2）由（1）的关系式，解得关于的式子，换元后，运用基本不等式可得所求范围，注意等号成立的条件．
【详解】解：（1）如图连接，由点翻折后恰好落在边上的点处，
折痕为，可得垂直平分，则，
由等边三角形的边长为1，且，
可得，，
在中，，
由余弦定理可得：
即，
化简可得：，
即x、y满足的关系式为：；
（2）由（1）可得，
解得：，
设，由，可得：，
则，
，
当且仅当，即，等号成立，
则x的取值范围是：．
【点睛】本题考查平面几何的翻折问题，考查解三角形的余弦定理，以及变量的取值范围的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力．
