6.3平面向量基本定理及坐标表示专项练习提高版
一、单选题
1．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为
A． B． C．3 D．
4．在中，若，且，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
5．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，则
6．均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量满足，，，，，则动点P的运动路径的总长为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点 在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则
B．的取值范围为
C．若点P在BD上时，
D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1
10．设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则称，调和分割，．现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段的中点
B．点D不可能是线段的中点
C．点C，D可能同时在线段上
D．点C，D不可能同时在线段的延长线上
11．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得 B．当时，与垂直
C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影为
12．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.
14．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________.
15．如图，正方形ABCD的边长为，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且，将线段DE绕点D逆时针旋转至线段DF，若，则的最小值为_________.
16．在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．
四、解答题
17．如图，在平面四边形中，点E，F分别是，的中点，且．若，求．
18．在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且||＝2||，设，．
(1)试用，表示；
(2)若H在BC上，且RH⊥BC，设||＝2，||＝1，,，若θ＝[,]，求的取值范围．
19．平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中．
(1)当时，试用表示；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的最小值．
20．如图，已知三点不共线，且，设
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
21．如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，.
(1)用，表示，；
(2)若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求.
22．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
(1)求；
(2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.6.3平面向量基本定理及坐标表示专项练习提高版解析
一、单选题
1．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
圆的方程为，可设，
所以．
故．
所以的最大值为
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.
2．在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简得到，根据得到，得到的最大值.
【详解】，
故
故，故.
当时等号成立.
故选：.
【点睛】本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.
3．已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】延长交于，利用三点共线可设，再利用三点共线可设，利用题设条件可计算的值，从而可计算所求面积之比.
【详解】
如图，延长交于，则，
因为三点共线，所以即，
所以，则，故且，
又，故，所以，
所以，所以，故选C.
【点睛】一般地，利用向量的线性运算可计算平面几何中线段的比值，从而得到相应的面积之比，在计算线段比值时，应利用基底法，把向量的关系转化为基底向量的系数关系，从而得到欲求的线段长度的比值.
4．在中，若，且，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】由题中，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】如图所示.
，
，
.
∵，∴.作于，则，∴，
∴为的中点，∴.
同理可证，∴为等边三角形.
答案选A
【点睛】个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解
5．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，则
【答案】D
【分析】A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】A．，
时，，，
时，，成立，
时，，，
综上，A不恒成立；
B．是一个实数，无意义，B不成立；
C．若，，则，
，，
，
，
，C错误；
D．若，，则，，
，
，
所以，成立．
故选：D．
【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．
6．均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解
【详解】设，
以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为 轴，建立平面直角坐标系
均为单位向量，且它们的夹角为45°，则 ，
，设
满足
，设
,故 ，
则，则 的最小值为圆上的点到直线 距离的最小值
其最小值为
故选:C.
【点睛】向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.
7．已知向量满足，，，，，则动点P的运动路径的总长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三点以及面外一点向量共线的模型，对绝对值形式分类讨论，得出点运动路径为如图的平行四边形的四边:再结合余弦定理求解即可.
【详解】
因为,
所以,
因为 ,
所以 ,
所以 .
如上图所示,
当时,点运动路径为线段,
以此类推，当时,点运动路径为如图的平行四边形的四边:
由余弦定理，得,
由余弦定理，得,
动点的运动路径的总长度为
故选：C.
8．已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点 在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圆的参数方程，设出 点的坐标，进而找出与角的关系，通过三角转化为三角函数，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，可得，
设，
设，其中，
所以，
所以
，
因为，所以，
可得，即的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及圆的参数方程，三角函数的化简及三角函数的性质的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.
二、多选题
9．在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则
B．的取值范围为
C．若点P在BD上时，
D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1
【答案】ACD
【分析】利用向量共线定理推论可判断A，利用向量的线性运算几何表示可判断B，利用向量的数量积的定义及运算律可判断C，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D.
【详解】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；
因为P在在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，
所以，则，故B错误；
当点P在BD上时，，
所以，故C正确；
若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，
设，则，，
∴
∴当时，有最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
10．设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则称，调和分割，．现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段的中点
B．点D不可能是线段的中点
C．点C，D可能同时在线段上
D．点C，D不可能同时在线段的延长线上
【答案】BD
【分析】由题意设，，，，结合已知条件得，根据选项考查的解，用排除法选择答案即可.
【详解】由已知不妨设，，，，
由C，D调和分割A，B 可知，，，
代入得( )
对于AB，若C是线段AB的中点，则，代入( )得，d不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理D不可能是线段的中点，故A错误，B正确；
对于C， 若C，D同时在线段AB上，则，代入( )得，，
此时C和D点重合，与已知矛盾，故C错误；
对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，，则，这与矛盾，所以C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的应用问题，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查学生的逻辑推理与特殊与一般思想，属于较难题.
11．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得 B．当时，与垂直
C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影为
【答案】BD
【分析】A选项考察向量平行坐标之间的关系；B选项考察向量垂直时坐标之间的关系；C选项分别求出，可以得到是否存在，使得；D选项中根据数量积求出角的三角函数值，可以求出在方向上的投影
【详解】选项A中，若，则，，所以不存在这样的，所以A错误
选项B中，若，则，，得：，所以选项B正确
选项C中，，，当时，，所以C错误
选项D中，，两边同时平方得： ，
化简得：，同除得：，，所以，即，解得：，设与的夹角为，所以在方向上的投影，D选项正确
故选：BD.
12．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.由，得，从而D0P⊥AB.利于几何关系证明CE∥DP0，所以CE⊥AB.根据等腰三角形三线合一即可证明AC=BC.
【详解】如图，
在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.故.同理，由，得，故DP0⊥AB.
由D为BC的中点，E为AB的中点，且，得CE∥DP0，所以CE⊥AB.
又E为AB的中点，所以AC=BC.
故选：ABC
三、填空题
13．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：
，分别为的中点，，
以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动，
设，
，
即，
，所以，两式相加：，
即，
要取得最大值，即当时，
故答案为：
【点睛】此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.
14．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________.
【答案】
【分析】设，则由数量积公式可得
，再由点的轨迹找出到的距离最大值，从而得出所求最值.
【详解】设与所成夹角为
则
因为，，所以的夹角为
设，则
所以，设到的距离为
则，所以
因为，所以点落在以点为圆心，以为半径的圆上
所以到的距离最大值为
所以的最大值为
所以的最大值为
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用向量的运算得出
，再结合圆的对称性得出所求最值.
15．如图，正方形ABCD的边长为，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且，将线段DE绕点D逆时针旋转至线段DF，若，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,设,写出相关点的坐标,并根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题.
【详解】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,,.设,则.又,,所以
,所以,所以.
又,所以,从而.因为点E是正方形ABCD内一动点,所以,所以当时,取最小值,为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示,考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力. 试题以正方形为载体,结合旋转考查向量知识,通过建立恰当的平面直角坐标系,将向量知识迁移到几何情境中考查,重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
16．在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．
【答案】
【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.
【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．
四、解答题
17．如图，在平面四边形中，点E，F分别是，的中点，且．若，求．
【答案】
【分析】利用基底向量的思想,将转化为有关的向量进行求解,或者建立平面直角坐标系利用坐标运算求解.
【详解】解法1：由题意得,,
从而,两边平方,整理得．
∴
．
解法2：建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设,从而,,．
由题意,得
从而
即
,
①-②得,即,④
而③即为,⑤
⑤+④得,即．
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及数量积的运用,属于中等题型.
18．在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且||＝2||，设，．
(1)试用，表示；
(2)若H在BC上，且RH⊥BC，设||＝2，||＝1，,，若θ＝[,]，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由点共线有、，可得、，结合平面向量基本定理列方程组求，即可用，表示；
（2）由（1）及题设有、且k＞0，再由向量垂直得得到θ关于k的表达式，结合θ的范围求k的范围即可.
（1）
由P、R、C共线，则存在λ使，
∴，整理得：；
由B、R、O共线，则存在使，
∴，整理得：；
∴根据平面向量基本定理：，解得；
∴；
（2）
由（1）知：，则，
由、共线，设，k＞0；
而RH⊥BC，有；
∴，即，可得；
由，故，即，解得,
∴的范围为.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据点共线有、，结合向量线性运算的几何意义用含有参数且以、为基底表示，求出参数即可.
（2）由，令并结合向量垂直的表示、数量积的运算律求得θ关于k的表达式.
19．平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中．
(1)当时，试用表示；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的最小值．
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】(1)根据向量的线性运算即可求得答案;
(2) 当时，利用向量的线性运算可推得对任意正整数，且，
有,由此可得,结合向量的坐标以及模的计算,可得答案;
(3)利用向量的坐标运算求得的表达式,设,分类讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得当时，,
.
（2）当时,,
故对任意正整数 ，且，
有 ， ,
所以 ,而,故,
所以当时，
,
即当时，求.
（3）当时，
,
,
,
,
故
，设 ,
当时，
当时，上式有最小值 ，
当时， ，
当时,,
当 时，上式有最小值,
综上 的最小值是.
【点睛】难点点睛：本题主要考查了向量的线性运算以及向量模的最值问题，难点在于第三问的最小值问题，解答时利用向量的坐标运算求得其表达式，由于表达式含有两个变量，因此要转化为一元函数问题，即确定取某个值时取得最小值，再结合二次函数知识求解即可.
20．如图，已知三点不共线，且，设
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
【答案】（1）（2）详见解析
【分析】（1）选择作为基底，用两种方式三点共线以及三点共线表示出向量，再根据平面向量基本定理，由系数相等建立方程组即可求出；（2）要证明三点共线，即证向量共线，因此以作为基底，分别表示出，由向量共线定理即可证出。
【详解】（1）∵三点共线，
∴①
同理，∵三点共线，∴，②
比较①②，得
解得。
（2）∵，
∴，
∴，∴三点共线.
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量共线定理的应用，同时还考查了向量形式的中点公式应用。
21．如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，.
(1)用，表示，；
(2)若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求.
【答案】(1)；
(2)5
【分析】（1）利用向量加法减法的几何意义即可用，表示，；
（2）利用向量共线充要条件求得的坐标，进而即可求得的值.
【详解】（1）在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，
则，，
则
设，则
由，可得，解之得
则，则
22．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
(1)求；
(2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由向量的线性运算表示，，根据向量垂直的条件求得，继而可求得；
（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，设点，且，，运用二次函数的性质可求得的取值范围.
【详解】（1）解：，
，
又，所以，所以，
由得，
所以
.
所以；
（2）解：以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则
，，，，，，
又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，
所以，
所以当时，取得最大值：，
当或时，取得最小值：，
所以的取值范围为.
