4.2.2等差数列的前n项和公式 课时训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

4.2.2等差数列的前n项和公式课时训练--2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
4．已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
5．在数列中，且，（ ）
A．0 B．1300 C．2600 D．2650
6．设等差数列的前项和为，若，且，则的公差为（ ）
A． B． C． D．
7．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．2021 B．2022 C．4042 D．4043
8．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
9．已知数列满足，，令，则数列的前2022项和（ ）
A． B． C． D．
10．记等差数列的前n项和为．若，则下列一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共2小题，共8分）
11．下列说法正确的有（ ）
A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
B．等差数列的单调性是由公差决定的．
C．等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数．
D．已知等差数列的通项公式，则它的公差为．
12．已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则__________．
14．已知公差不为0的等差数列的前23项和等于前8项和．若，则k的值为______．
15．记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．
16．已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．
四、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．已知等差数列中，为其前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
18．已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．已知是等差数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求n的最小值．
20．已知等差数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的前项和为，求正整数的值．
21．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
22．在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为等差数列的前n项和，求使不等式成立的n的最小值.
参考答案：
1．B
【分析】将等差数列的前23和24项和与0的大小比较，得出具体的项数的正负，即可求出当取得最小值时的值.
【详解】由题意，，∴，
，∴，
则等差数列满足，，
可得公差，
∴数列为递增数列，且当，时，，
当，时，，
∴当取得最小值时，的值为12．
故选：B．
2．B
【分析】根据的关系求解.
【详解】∵，当时，，
当时，，
时，也适合此式，
∴，,
故选:B.
3．C
【分析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值.
【详解】设等差数列的公差为，由可得，
整理可得，所以，，
令，即，解得，
因此，当取最小值时，.
故选：C.
4．A
【分析】利用等差数列片段和得性质求解即可.
【详解】由题可知数列为等差数列，
所以有
得，解得，
故选：A
5．C
【分析】利用分类讨论思想，将数列分为奇数项与偶数项整理递推公式，根据等差数列的定义，整理通项，结合等差数列求和，可得答案.
【详解】当为奇数，即时，设，，，
则，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，
故；
当为偶数，即时，设，，，
则，显然数列为常数列，则，即；
.
故选：C.
6．B
【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得的值，即可求得数列的公差.
【详解】因为，，则，
因此，等差数列的公差为.
故选：B.
7．C
【分析】根据题意得，，再结合，，求解即可．
【详解】根据,得，，所以，
因为，所以，
所以使前项和成立的最大自然数是4042．
故选：C
8．C
【分析】根据题意，利用等差数列求和公式和等差中项性质可判断，的正负.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
故选：C.
9．B
【分析】化简，得，可得是等差数列，求出通项公式，再用裂项相消的方法求数列的前2022项和即可.
【详解】因为数列满足，即，即，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，则，
因为，则，
数列的前2022项和.
故选：B
【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
10．C
【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列的通项公式和条件得到，再根据等差数列的前n项和公式判断各选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，即.
对于A选项和B选项：，，
当时，；当时，；当时，；
所以A选项和B选项错误；
对于C选项：，所以C选项正确；
对于D选项：，
当时，；当时，；当时，；
所以D选项错误；
故选：C.
11．BD
【分析】根据等差数列的定义可判断A；根据等差数列的单调性可判断B；根据等差数列前项和的性质可判断C；根据等差数列的通项公式确定公差即可判断D.
【详解】若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列，故A不正确；
对于等差数列，因为，故的符号决定数列的单调性，故等差数列的单调性是由公差决定的，故B正确；
当等差数列为常数列时，其前项和不是二次函数，故C不正确；
等差数列的通项公式，所以，则它的公差为，故D正确.
故选：BD.
12．ABC
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,验证各选项是否正确.
【详解】公差为的等差数列中，其前项和为，且，
则，解得，所以，A选项正确；
，B选项正确；
，C选项正确；
，，D选项错误.
故选：ABC
13．
【分析】根据等差数列的前n项和公式的特征可设，即可表示出，即可求得答案.
【详解】两个等差数列和的前项和分别为和，且，
故设，
则，
,
所以，
故答案为：
14．24
【分析】设等差数列的公差为d，根据已知得出，根据结合等差数列前项和公式解得，再据结合等差数列通项列式，与联立即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为d，，
则由题意得，
即，
整理得．
因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以．
故答案为：.
15．6
【分析】利用等差数列的性质，结合等差数列的通项公式与前项和公式化简可得关于的方程，解之即可.
【详解】因为是公差不为0的等差数列，设公差为，
所以，，
又，
所以，即
则，
所以，又，
所以，则．
故答案为：6
16．2022
【分析】由，利用倒序相加求解.
【详解】解：由，
令，
则，
两式相加得：，
∴．
故答案为：2022
17．(1).
(2).
【分析】（1）根据题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）可得，利用裂项求和即可求得答案.
【详解】（1）由题意等差数列中，，设公差为d，
可得，解得，
故.
（2）由（1）可得，
故
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）首先根据等差数列的定义得到的通项公式，即可得到，再根据计算可得；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）解：∵，∴，
又∵数列为以为公差的等差数列，
∴，即，
∵时，，
∴时，符合上式，
∴数列的通项公式为.
（2）解：由（1）可得
所以
，
∴数列的前项和.
19．(1)
(2)8
【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式求得，即可得结果；
（2）先根据等差数列的求和公式求，解不等式即可得结果，注意.
【详解】（1）设数列的公差为d，
由题意可得：，解得，
∴．
（2）由（1）可得：，
令，即，解得或（舍去），
∵，故n的最小值是8．
20．(1)
(2)7
【分析】（1）由下标关系列方程组解得数列基本量，即可写出通项公式；
（2）写出前项和，代入条件方程求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，故由可得
，
∴；
（2），由，
因为，所以等式化简得或（舍）.
∴正整数的值为7.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据所给式子得到，作差即可得到，，再计算，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）解：因为，
所以时，，
两式作差得，，
所以时，，
又时，，得，符合上式，
所以的通项公式为．
（2）解：由（1）知，
所以
，
即数列的前项和．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列公式得到，，得到通项公式.
（2）计算，解不等式得到答案.
【详解】（1）等差数列中，，，故，，
故.
（2），，即，解得，
故的最小值为