4.3.2等比数列的前n项和公式 课时训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 4.3.2等比数列的前n项和公式 课时训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 632.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-17 06:57:19 | ||
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文档简介
4.3.2等比数列的前n项和公式课时训练--2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为等比数列的前项和，与分别为方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（ ）
A． B．43 C． D．41
4．已知等比数列的前项和为，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知等比数列满足，，则的前n项和（ ）
A． B． C． D．
6．某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体坛生活期间的薪资最多，下列方案选择错误的是（ ）
A．若体验7天，则选择方案① B．若体验8天，则选择方案②
C．若体验9天，则选择方案③ D．若体验10天，则选择方案③
7．已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
8．已知数列是等比数列，若，，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．为建设宜居之城，某市决定每年按当年年初住房总面积的建设新住房，同时拆除面积为单位：的旧住房已知该市年初拥有居民住房的总面积为单位：，则到年末，该市住房总面积为（ ）
参考数据：，
A． B．
C． D．
10．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户 存入规定数额资金 用于教育目的的专项储签，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策，若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，则一次性取出的金额总数为（ ）（假设教育储蓄存款的年利率为5%，取）
A．14400元 B．15400元 C．16200元 D．18500元
二、多选题（本大题共2小题，共8分）
11．记为等比数列的前项和，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．成等比数列 D．成等比数列
12．记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若对，，有，则数列一定是等差数列
B．若对，，有，则数列一定是等比数列
C．已知，则一定是等差数列
D．已知，则一定是等比数列
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．
14．现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆.所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推___________.
15．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第三天走的路程为________里．
16．中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第五天行走的路程是__________里（用数字作答）.
四、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求数列的前n项和．
18．已知等差数列的公差为2，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)记，若数列的前项和.
19．已知等差数列满足，其前项和；数列是单调递增的等比数列，且满足，.
(1)求数列和的通项公式．
(2)求数列的前项和．
20．已知数列是的前n项和为，满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
21．已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式及.
22．在数列中，，．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为．若，求正整数的值．
参考答案：
1．C
【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，再根据等比数列前项和公式计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，由得，解得，
所以．
故选：C．
2．A
【分析】利用已知条件，求出 的两个根分别是-1和4，分类讨论a3 和S2的值，利用等比数列的求和和等比数列通项公式建立和的方程，解出方程，即可求解。
【详解】解：方程的两个根为和，
由题意可得 或
当 时， 无解．
当 时，
解得
所以 ，
故 ．
故选：A
3．A
【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.
【详解】设，则，
因为为等比数列，
所以，，仍成等比数列．
因为，所以，
所以，故．
故选：A.
4．B
【分析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案.
【详解】当时，，故，，
当时，，分以下几种情况，
当时，，此时；
当时，，此时，
当时，，此时；
当时，，此时；
故当时，与可正可负，故排除A、C.
当时， ，故， ；
当时，，由于与同号，故，
所以符号随正负变化，故D不正确，B正确；
故选：B
5．D
【分析】设数列的公比为q，由条件结合等比数列通项公式求，再由前项和公式求.
【详解】设数列的公比为q，
因为，，
所以，解得，
所以．
故选：D.
6．B
【分析】根据等差数列与等比数列求和公式得出各天各方案的薪资，比较大小即可对选项一一判断.
【详解】对于A：体验7天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验7天，则选择方案①薪资最多，故A正确；
对于B：体验8天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验8天，则选择方案①薪资最多，故B错误；
对于C：体验9天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验9天，则选择方案③薪资最多，故C正确；
对于D：体验10天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验10天，则选择方案③薪资最多，故D正确；
故选：B.
7．C
【分析】由条件求出,代入等比数列求和公式即可.
【详解】因为，代入得：，
即，解得，
故，
故选：C.
8．B
【分析】代入等比数列求和公式求解.
【详解】由题意知，得，
故选：B
9．A
【分析】根据题意可得，根据等比数列的求和公式即可化简求值.
【详解】由题意，年末的住房面积为，
年末的住房面积为，
年末的住房面积为，
……
年末的住房面积为
.
到年末，该市住房总面积为.
故选：A
10．A
【分析】根据题意结合等比数列前项和公式即可得解.
【详解】金额总数为
元.
结合各选项中的数据可知A最符合，
故选：A.
11．AB
【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.
【详解】设等比数列公比为，则有，
所以，所以是以为公比的等比数列，A正确；
，所以是以为公比的等比数列，B正确；
若公比，则，所以不能构成等比数列，C错误；
若公比，且为偶数，则都等于0，
此时不能构成等比数列，D错误.
故选:AB.
12．AC
【分析】利用等差，等比数列的定义和性质，以及等差，等比数列的前项和的形式，可逐一判断.
【详解】由和等差中项的性质，
可得数列是等差数列，即A正确；
当时，由和等比中项的性质，
可得数列是等比数列，即B不正确；
由等差数列前项和，
得可看成的二次函数，且不含常数项，则C正确；
由等比数列前项和，
若，则，所以，
则此时数列不是等比数列，则D错.
故选：AC
13．
【分析】找到数列与的公共项，组成数列，可得数列是首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】由题意令，即2不是数列与的公共项；
令，即4是数列与的公共项；
令，即8不是数列与的公共项；
令，即16是数列与的公共项；
依次类推，可得数列：，
即是首项为4，公比为4的等比数列，
故数列的前n项的和为 ，
故答案为：
14．
【分析】根据半圆的面积公式，结合等比数列的定义、通项公式、前项和公式进行求解即可.
【详解】因为长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，设半圆的面积为，
所以，
第二次操作得到半圆的面积为，
第三次操作得到半圆的面积为，
显然有，故通过规律可发现数列是等比数列，
所以，
故答案为：
15．32
【分析】先根据题意转化为等比数列问题，利用等比数列的通项公式和前项和公式求解即可.
【详解】由题意得此人每天走的路程依次可构成公比为的等比数列，且前6项和为252．
设首项为，则有，解得，
所以.
故答案为：
16．
【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式求出第1天行走的路程，即可计算作答.
【详解】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列，，其公比，
令数列的前n项和为，则，而，因此，解得，
所以此人在第五天行走的路程（里）.
故答案为：12
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项，建立方程组，可得答案；
（2）根据等比数列的定义，结合其求和公式，可得答案.
【详解】（1）因为是等差数列，设数列的公差为d，
由，得，
解得，，
所以．
（2）因为，，
是等比数列，则的公比，
所以，
所以数列的前n项和．
18．(1)
(2)
【分析】(1)根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求解；
(2)分组求和.
【详解】（1）由题知
即解得，
所以.
（2）
.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出等差数列的通项公式，根据等比数列的单调性与基本性质可求得、的值，可求得等比数列的公比，进而可得出数列的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：设数列的公差为，由已知可得，解得，
所以，．
因为数列是单调递增的等比数列，由已知可得，解得，
所以，数列的公比为，所以．
（2）解：.
20．(1)
(2)
【分析】(1) 由已知证明数列是等比数列，进而结合等比数列通项公式求解即可.
(2)利用分组求和法，结合等比数列求和公式求.
【详解】（1）因为，所以，
因为，，所以，故，
所以，则数列是以2为首项、2为公比的等比数列，
所以，所以．
（2）因为，
所以，
所以．
21．(1)证明详见解析
(2)，
【分析】（1）利用凑配法，结合等比数列的定义证得数列为等比数列.
（2）由（1）求得，利用分组求和法求得.
【详解】（1）依题意，，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，所以，
所以
.
22．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，利用累加法求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，即可得到，利用裂项相消法求出，即可得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：因为，，且，
所以，
当时，
当时
，
又时也符合上式，
所以.
（2）解：由（1）可知，所以，
所以，
所以，
则，解得.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为等比数列的前项和，与分别为方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（ ）
A． B．43 C． D．41
4．已知等比数列的前项和为，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知等比数列满足，，则的前n项和（ ）
A． B． C． D．
6．某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体坛生活期间的薪资最多，下列方案选择错误的是（ ）
A．若体验7天，则选择方案① B．若体验8天，则选择方案②
C．若体验9天，则选择方案③ D．若体验10天，则选择方案③
7．已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
8．已知数列是等比数列，若，，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．为建设宜居之城，某市决定每年按当年年初住房总面积的建设新住房，同时拆除面积为单位：的旧住房已知该市年初拥有居民住房的总面积为单位：，则到年末，该市住房总面积为（ ）
参考数据：，
A． B．
C． D．
10．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户 存入规定数额资金 用于教育目的的专项储签，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策，若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，则一次性取出的金额总数为（ ）（假设教育储蓄存款的年利率为5%，取）
A．14400元 B．15400元 C．16200元 D．18500元
二、多选题（本大题共2小题，共8分）
11．记为等比数列的前项和，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．成等比数列 D．成等比数列
12．记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若对，，有，则数列一定是等差数列
B．若对，，有，则数列一定是等比数列
C．已知，则一定是等差数列
D．已知，则一定是等比数列
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．
14．现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆.所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推___________.
15．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第三天走的路程为________里．
16．中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第五天行走的路程是__________里（用数字作答）.
四、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求数列的前n项和．
18．已知等差数列的公差为2，且成等比数列，
(1)求的通项公式；
(2)记，若数列的前项和.
19．已知等差数列满足，其前项和；数列是单调递增的等比数列，且满足，.
(1)求数列和的通项公式．
(2)求数列的前项和．
20．已知数列是的前n项和为，满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
21．已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式及.
22．在数列中，，．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为．若，求正整数的值．
参考答案：
1．C
【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，再根据等比数列前项和公式计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，由得，解得，
所以．
故选：C．
2．A
【分析】利用已知条件，求出 的两个根分别是-1和4，分类讨论a3 和S2的值，利用等比数列的求和和等比数列通项公式建立和的方程，解出方程，即可求解。
【详解】解：方程的两个根为和，
由题意可得 或
当 时， 无解．
当 时，
解得
所以 ，
故 ．
故选：A
3．A
【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.
【详解】设，则，
因为为等比数列，
所以，，仍成等比数列．
因为，所以，
所以，故．
故选：A.
4．B
【分析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案.
【详解】当时，，故，，
当时，，分以下几种情况，
当时，，此时；
当时，，此时，
当时，，此时；
当时，，此时；
故当时，与可正可负，故排除A、C.
当时， ，故， ；
当时，，由于与同号，故，
所以符号随正负变化，故D不正确，B正确；
故选：B
5．D
【分析】设数列的公比为q，由条件结合等比数列通项公式求，再由前项和公式求.
【详解】设数列的公比为q，
因为，，
所以，解得，
所以．
故选：D.
6．B
【分析】根据等差数列与等比数列求和公式得出各天各方案的薪资，比较大小即可对选项一一判断.
【详解】对于A：体验7天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验7天，则选择方案①薪资最多，故A正确；
对于B：体验8天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验8天，则选择方案①薪资最多，故B错误；
对于C：体验9天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验9天，则选择方案③薪资最多，故C正确；
对于D：体验10天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验10天，则选择方案③薪资最多，故D正确；
故选：B.
7．C
【分析】由条件求出,代入等比数列求和公式即可.
【详解】因为，代入得：，
即，解得，
故，
故选：C.
8．B
【分析】代入等比数列求和公式求解.
【详解】由题意知，得，
故选：B
9．A
【分析】根据题意可得，根据等比数列的求和公式即可化简求值.
【详解】由题意，年末的住房面积为，
年末的住房面积为，
年末的住房面积为，
……
年末的住房面积为
.
到年末，该市住房总面积为.
故选：A
10．A
【分析】根据题意结合等比数列前项和公式即可得解.
【详解】金额总数为
元.
结合各选项中的数据可知A最符合，
故选：A.
11．AB
【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.
【详解】设等比数列公比为，则有，
所以，所以是以为公比的等比数列，A正确；
，所以是以为公比的等比数列，B正确；
若公比，则，所以不能构成等比数列，C错误；
若公比，且为偶数，则都等于0，
此时不能构成等比数列，D错误.
故选:AB.
12．AC
【分析】利用等差，等比数列的定义和性质，以及等差，等比数列的前项和的形式，可逐一判断.
【详解】由和等差中项的性质，
可得数列是等差数列，即A正确；
当时，由和等比中项的性质，
可得数列是等比数列，即B不正确；
由等差数列前项和，
得可看成的二次函数，且不含常数项，则C正确；
由等比数列前项和，
若，则，所以，
则此时数列不是等比数列，则D错.
故选：AC
13．
【分析】找到数列与的公共项，组成数列，可得数列是首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.
【详解】由题意令，即2不是数列与的公共项；
令，即4是数列与的公共项；
令，即8不是数列与的公共项；
令，即16是数列与的公共项；
依次类推，可得数列：，
即是首项为4，公比为4的等比数列，
故数列的前n项的和为 ，
故答案为：
14．
【分析】根据半圆的面积公式，结合等比数列的定义、通项公式、前项和公式进行求解即可.
【详解】因为长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，设半圆的面积为，
所以，
第二次操作得到半圆的面积为，
第三次操作得到半圆的面积为，
显然有，故通过规律可发现数列是等比数列，
所以，
故答案为：
15．32
【分析】先根据题意转化为等比数列问题，利用等比数列的通项公式和前项和公式求解即可.
【详解】由题意得此人每天走的路程依次可构成公比为的等比数列，且前6项和为252．
设首项为，则有，解得，
所以.
故答案为：
16．
【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式求出第1天行走的路程，即可计算作答.
【详解】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列，，其公比，
令数列的前n项和为，则，而，因此，解得，
所以此人在第五天行走的路程（里）.
故答案为：12
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项，建立方程组，可得答案；
（2）根据等比数列的定义，结合其求和公式，可得答案.
【详解】（1）因为是等差数列，设数列的公差为d，
由，得，
解得，，
所以．
（2）因为，，
是等比数列，则的公比，
所以，
所以数列的前n项和．
18．(1)
(2)
【分析】(1)根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求解；
(2)分组求和.
【详解】（1）由题知
即解得，
所以.
（2）
.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出等差数列的通项公式，根据等比数列的单调性与基本性质可求得、的值，可求得等比数列的公比，进而可得出数列的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：设数列的公差为，由已知可得，解得，
所以，．
因为数列是单调递增的等比数列，由已知可得，解得，
所以，数列的公比为，所以．
（2）解：.
20．(1)
(2)
【分析】(1) 由已知证明数列是等比数列，进而结合等比数列通项公式求解即可.
(2)利用分组求和法，结合等比数列求和公式求.
【详解】（1）因为，所以，
因为，，所以，故，
所以，则数列是以2为首项、2为公比的等比数列，
所以，所以．
（2）因为，
所以，
所以．
21．(1)证明详见解析
(2)，
【分析】（1）利用凑配法，结合等比数列的定义证得数列为等比数列.
（2）由（1）求得，利用分组求和法求得.
【详解】（1）依题意，，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，所以，
所以
.
22．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，利用累加法求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，即可得到，利用裂项相消法求出，即可得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：因为，，且，
所以，
当时，
当时
，
又时也符合上式，
所以.
（2）解：由（1）可知，所以，
所以，
所以，
则，解得.