6.4平面向量的应用专项练习提高版解析
一、单选题
1．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.
【详解】由余弦定理，可得
，
整理，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或或，故三角形为等腰三角形.
故选：A
2．锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接，延长交于，求得且，利用余弦定理和三角形的性质得到，求得，结合对勾函数的性质，即可求解.
【详解】如图所以，连接，延长交于，由于为重心，故为中点，
因为，且，所以，
由重心的性质得，，即，
由余弦定理得，，
，
因为，且，
所以，
则，
又因为为锐角三角形，则应该满足 ，
将代入可得 则，
由对勾函数性质可得的取值范围为，
故选：B.
3．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，可以表示出的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案.
【详解】建立如图所示坐标系，
则点，
设点，且，
则
故当 时，有最大值为13
故选：A.
4．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设的坐标为，求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.
【详解】解：以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，
设的坐标为，
过点作垂直轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，，
∴，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故选B．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．
5．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将，转化为，即，再根据为最大边，得到，然后由余弦定理得到，再利用基本不等式得到即可.
【详解】因为，
所以，即，
即
即，
所以，
因为为最大边，
所以，
由余弦定理得，
，
所以，
即，
又，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算变形求解问题的能力，属于较难题.
6．在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用正弦定理及，表达出，再利用基本不等式求出最值.
【详解】如图所示，
因为，所以，
在Rt△ABD中，，即，
因为，
由正弦定理可得：，即，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C
7．已知的三个内角满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是锐角三角形
B．
C．角的最大值为
D．角的最大值为
【答案】D
【分析】A选项整理得到即可判断三角形形状；
B选项根据大边对大角，小边对小角得到三边的大小关系，从而得到，再利用放缩和正弦定理即可证明；
C选项利用特殊值的思路判断即可；
D选项根据题目中的条件再结合基本不等式求出的最大值即可.
【详解】A选项：因为，得，所以，为钝角三角形，故A错；
B选项：由题意可得是最大的角，所以，，，所以
，故B错；
C选项：由题意知当，时，，，故C错；
D选项：由题可得，
所以，当且仅当时等号成立，
因为，且，所以，故D正确.
故选：D.
8．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
二、多选题
9．已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（ ）
A．若为直角三角形，则；
B．若，则为等腰三角形；
C．若，则的面积为；
D．若，则．
【答案】BD
【分析】利用正弦定理边角互化设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，结合两边和大于第三边求得2＜t＜8，讨论t.判断选项A,利用余弦定理得m的式子判断BD;利用面积公式判断C
【详解】根据题意，依次分析4个结论：
对于A，根据题意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，则a：b：c＝ln2：ln4：lnt，
故可设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．
则有b﹣a＜c＜b+a，则kln2＜c＜3kln2，变形可得2＜t＜8，
当时；c最大，若为直角三角形，则，即，解得；
当时；若为直角三角形，则，即，解得综上：或，故A错；
由题意，abcosC＝abmc2，
∴m．
若，则解得t=4，故，为等腰三角形；B正确；
对于C，当t＝4，a＝kln2时，则b＝kln4，c＝klnt＝kln4，则有b＝c＝2a，此时等腰△ABC底边上的高为 ，三角形面积为，C错；
对于D，当,则有a2+b2﹣c2＜0，即解得由选项A,B的解析知kln2＜c＜3kln2综合两式得，故m 选项D正确；
综合可得BD正确；
故选：BD．
10．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状是等腰三角形
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则面积的最大值为
D．若的面积，，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】求得判定的形状是等腰三角形.选项A判断正确；求得角C有一个值.选项B判断错误；求得面积的最大值判断选项C；求得的最大值判断选项D.
【详解】选项A：由，可得，化简得，则的形状是等腰三角形.判断正确；
选项B：由，，，则有，
由，可得，则,
则满足条件的三角形仅有一个.判断错误；
选项C：由，可得
则（当且仅当时等号成立），解之得
则面积.判断正确；
选项D：由的面积，可得
化简得，又，则
又，则，则，（当且仅当时等号成立）
即的最大值为.判断正确.
故选：ACD
11．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，则的面积的最大值为
C．若，且为锐角三角形，则边的长度的取值范围为
D．若，且，为的内心，则的面积为
【答案】BCD
【分析】根据条件求出.
选项A：根据条件求角，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；
选项B：把的面积表示成的一个函数，利用二次函数求最值；
选项C：根据正弦定理把边表示为，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边的范围；
选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求的内切圆半径，从而求的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理，得,
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项：若，则，
所以的外接圆的直径 ，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A错误；
选项：若，则，
又因为，所以由余弦定理，得，
即，所以，
所以
，
所以当时，取最大值，且最大值为，所以选项B正确；
选项：由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项：因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，又因为，所以，， ，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选：BCD.
12．已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】结合已知对进行变形化简即可得的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R可求的范围，从而判断B；根据的值，结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得，从而判断D﹒
【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足，
∴，即，
∴，
由题可知，，
∴，
∴
∴，
∴有，故A错误；
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理可知，，
∴，
∴，∴，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：CD．
三、填空题
13．在中，是角A，B，C的对边，已知，现有以下判断：
①；②可能等于16；③的面积可能是.
请将所有正确的判断序号填在横线上________.
【答案】①
【分析】根据余弦定理得三角形的三边的关系，再利用均值不等式的积与和之间的不等转化，得到和的最大值，从而得解.
【详解】由三角形的射影定理得故①正确；
由余弦定理得 所以
所以又因为，
解得，故②错误.
因为，所以解得
所以 故③错误．
故得解.
【点睛】本题考查余弦定理和均值不等式的应用，属于中档题.
14．正方形的边长为2，，分别为，的中点，点是以为圆心，为半径的圆上的动点，点在正方形的边上运动，则的最小值是______.
【答案】
【解析】先将转化为关于的向量表达式,再数形结合分析最值即可.
【详解】易得,
,
当且仅当同向时取等号.即考虑的最小值即可.
当与重合时, .
当与不重合时,设夹角为,由图易得当在上时取最小值为,当在时, 取最大值为,故,
利用向量模长不等式有
,且两次“” 不能同时取“=”.故此时.
综上所述, 的最小值是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的综合运用,需要根据题意找到定量关系进行化简再分析.属于难题.
15．如图，在中，，，分别是，上一点，满足，．若，则的面积为__________．
【答案】
【分析】由题意，过点E作EF⊥AC于F，可得EF=AB，设EF为x，利用勾股定理及余弦定理表示出BC与BE，进而求得EF长度，利用三角形面积公式即可求得的面积．
【详解】如图所示，过点E作EF⊥AC于F．
由∠A=90°，知EF//AB，由BE=4CE，得EF=AB．
设EF=x，则AB=5x．
又∠ADB=∠CDE=30°，得BD=10x，AD=，∠BDE=120°．
由勾股定理，得．
又由余弦定理，得，
又，所以，则．
解得：或(不合题意，舍去)．
故 ．
【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．
16．如图，在中，，，，则___.
【答案】3
【分析】以作为基底向量并用它们表示，根据，得到的关系后可求的值.
【详解】，
，
所以，
，
因为，
故，
故答案为：3.
【点睛】本题考查向量的数量积，一般地，向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．
四、解答题
17．如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），.
（1）若，，求；
（2）已知，记四边形的面积为.
① 求的最大值；
② 若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（直接写结果，不需要过程）
【答案】（1）3；（2）①；②.
【分析】（1）在中，利用余弦定理求得；在中利用余弦定理构造关于的方程，解方程求得结果；（2）①在和中利用余弦定理构造等量关系可得，根据三角形面积公式可得，两式平方后作和可得，当时，可求得的最大值；②由可知，根据①可知，的范围由的范围决定，求解出且，且为钝角、为锐角；根据的单调性可求得最小值，从而求得得到结果.
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理得：
在中，，，
由余弦定理得：
即：，解得：
（2）①在和中，由余弦定理得：
整理可得：
面积：，即：
即：
当时，即，时，
四边形面积的最大值为：
②
由①知：，则需研究的范围.
当增大时，增大，从而随之增大
所以，当趋于共线时，趋于，其中钝角满足
当减小时，减小，从而随之减小
所以，当趋于共线时，趋于，其中锐角满足
令，则在上递增，在上递减
并且，，
，即
【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.
18．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，再利用化简，从而求出角；
（2）在中由余弦定理建立等式，再利用得到另一等式，进而求出的三边，由此求出其面积．
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
因为，则，所以，即，故，
又，所以，故.
（2）由题意设，，，由（1）得，
在中由余弦定理可得，①，
因为，所以，
即②，
联立①②，解得（负值舍去），
则，，是等边三角形，
所以，即的面积是．
.
19．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，
所以；
（2）锐角中，，，
由正弦定理得：，
故，
则
，
因为锐角中，，
则，，
解得：，
故，，
则，
故，
所以三角形周长的取值范围是.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
20．依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域建成生态园林城，，，，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，km．
（1）求道路的长度；
（2）如图所示，要建立一个观测站，并使得，，求两地的最大距离．
【答案】（1）km；（2）km.
【分析】（1）先利用余弦定理，可得，再在中，由，即得解；
（2）设，在中，利用正弦定理可得，，再利用，可得，利用三角恒等变换化简结合，即得解.
【详解】（1）连接，由余弦定理可得，所以，
由，，所以，因为，所以，
在中，，所以，解得，
即道路的长度为；
（2）设，在中，由正弦定理可得，
所以，因为，所以，
所以，，则，
所以，
因为，所以，
所以当，即，取最大值为，
故两地的最大距离为．
21．在中，角、、所对的边分别是、、．且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)，的面积为
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；
（2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；
（3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可
【详解】（1）由正弦定理及，得，
即，化简得，故．
又，故．
（2）由（1）知，，
故
.
又，则，，
故．
（3）
∵，∴，∵，为中点，∴，
∵，∴，，∴，，
设，则，
∴，，
∴，
在直角中，，
∴当时，的面积为．
22．在中，内角所对的边分别为，.
（1）求角的大小；
（2）设函数，且图象上相邻两最高点间的距离为,求的取值范围.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】（1）直接利用已知条件和正余弦定理的应用可求得结果，
（2）先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式化为，再由已知可求出，从而可得根据题意求出，，再利用三角函数恒等变换公式可求得结果.
【详解】（1）因为，由余弦定理知
所以，
又因为，则由正弦定理得，
所以，
因为，
所以 ，
（2），
由已知，得，
所以，
则
因为，，
所以，
所以，
，
，
所以，
因为，
所以，
所以
所以
，
所以当，时，
，
当，时，
，
所以的取值为6.4平面向量的应用专项练习提高版
一、单选题
1．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
2．锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为
A． B．
C． D．
3．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13 B． C．5 D．
4．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
7．已知的三个内角满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是锐角三角形
B．
C．角的最大值为
D．角的最大值为
8．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（ ）
A．若为直角三角形，则；
B．若，则为等腰三角形；
C．若，则的面积为；
D．若，则．
10．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状是等腰三角形
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则面积的最大值为
D．若的面积，，则的最大值为
11．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，则的面积的最大值为
C．若，且为锐角三角形，则边的长度的取值范围为
D．若，且，为的内心，则的面积为
12．已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在中，是角A，B，C的对边，已知，现有以下判断：
①；②可能等于16；③的面积可能是.
请将所有正确的判断序号填在横线上________.
14．正方形的边长为2，，分别为，的中点，点是以为圆心，为半径的圆上的动点，点在正方形的边上运动，则的最小值是______.
15．如图，在中，，，分别是，上一点，满足，．若，则的面积为__________．
16．如图，在中，，，，则___.
四、解答题
17．如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），.
（1）若，，求；
（2）已知，记四边形的面积为.
① 求的最大值；
② 若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（直接写结果，不需要过程）
18．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.
19．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
20．依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域建成生态园林城，，，，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，km．
（1）求道路的长度；
（2）如图所示，要建立一个观测站，并使得，，求两地的最大距离．
21．在中，角、、所对的边分别是、、．且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．
22．在中，内角所对的边分别为，.
（1）求角的大小；
（2）设函数，且图象上相邻两最高点间的距离为,求的取值范围.
