5.2.2导数的四则运算法则 课时训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 5.2.2导数的四则运算法则 课时训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 583.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-17 06:57:52 | ||
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文档简介
5.2.2导数的四则运算法则课时训练--2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．一质点运动的位移方程为，当秒时，该质点的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．－1 B．0 C．－8 D．1
5．设函数，已知，，，，则（ ）
A．－2 B．－1 C． D．3
6．若函数在处的切线方程为，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
7．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共2小题，共8分）
11．函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
12．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则__________．
14．已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为___________.
15．曲线在点处的切线方程为___________________ .
16．请写出与曲线在处具有相同切线的另一个函数：______．
四、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．已知函数（其中），且，求：
(1)f（x）的表达式；
(2)曲线y=f（x）在x=a处的切线方程.
18．已知函数满足.
(1)求的值；
(2)求的图象在处的切线方程.
19．已知函数，求的值．
20．已知，且
(1)求的值；
(2)求在处的切线方程．
21．已知函数.
(1)求的导数；
(2)求曲线在点处的切线方程.
22．已知抛物线，其中，直线 l 为抛物线在点处的切线．
(1)求切线 l 的方程；
(2)求证：抛物线上除切点外，其余各点都在该切线 l 的上方．
参考答案：
1．C
【分析】求导后根据导数的物理意义可求.
【详解】由求导得
所以秒时，该质点的瞬时速度为.
故选：C
2．B
【分析】根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解.
【详解】由题意杯子的底面面积，
则杯中溶液上升高度，
则，
当时，，
即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为.
故选：B.
3．C
【分析】根据函数的奇偶性确定的解析式，再利用导数的几何意义求得切线方程.
【详解】函数为奇函数，
当时，，所以，
，
即，
则，，，
所以切线斜率，
切线方程为，
即，
故选：C.
4．C
【分析】求导，解得，得到求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
则，
解得，
则，
所以，
故选：C
5．B
【分析】先求出函数的导函数，再代入已知条件计算即可.
【详解】由已知，
.
故选：B.
6．A
【分析】由导数的几何意义列出方程求解即可.
【详解】，
由切线斜率为4，得，整理得①，
由切线经过，得，整理得②，
联立①②解得，故.
故选：A.
7．A
【分析】根据导数运算法则直接求解即可.
【详解】.
故选：A.
8．D
【分析】对求导，即可求出.
【详解】，所以.
故选：D.
9．A
【分析】通过求导，利用导数的运算、导数的瞬时变化率进行求解．
【详解】因为，所以，
当时，得，即，
解得或（舍去)，
故当时，，
即速度首次达到时加速度为，
故选：A．
10．A
【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；
将代入得：，故C错误．
故选：A．
11．AC
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】依题意，令，解得
，
故点的坐标为和，
故选：AC
12．BCD
【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可.
【详解】对于A，，
当时，，，故A错误；
对于B，在恒成立，故B正确；
对于C，在恒成立，故C正确；
对于D，，
因为，所以，所以恒成立，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】由函数和，分别求出，以及和，代入曲率公式计算，化简求值即可．
【详解】，则，
，，；
，则，
，，；
则
故答案为：
14．8
【分析】求出函数的导函数，令即可求出，即可得到，再代入计算可得.
【详解】解：因为，
所以，则，解得，
所以，则，
即的图象在点处的切线的斜率为.
故答案为：
15．
【分析】先求出导函数，求出导数值（即在点处的切线斜率），再利用斜截式写出方程
【详解】因为，所以，曲线在点处的切线的斜率，
由直线方程的斜截式可得切线方程为.
故答案为：.
16．（答案不唯一）
【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点且在处的导数值即可，由此可得曲线方程.
【详解】的导函数为，又过原点，
在原点处的切线斜率，
在原点处的切线方程为；
所求曲线只需满足过点且在处的导数值即可，如，
，又过原点，
在原点处的切线斜率，
在原点处的切线方程为.
故答案为:（答案不唯一）.
17．(1)
(2)
【分析】（1）运用导数运算公式解得，再根据已知条件解得a的值即可.
（2）由（1）可解得切点及切线斜率，再运用点斜式方程写出切线方程即可.
【详解】（1），于是有，
所以，
又，即，
.
（2）由（1）知，，所以，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，
即.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求导得出，令可得出的值；
（2）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，解得.
（2）解：由（1）可知，则，则，，
因此，的图象在处的切线方程为，即.
19．
【分析】根据求导公式得，代入即可求解.
【详解】
，
所以.
20．(1)0
(2)
【分析】（1）求导，代入，列出方程，求出；
（2）在（1）的基础上，求出，，利用点斜式求出切线方程，化为一般式即可.
【详解】（1），则，解得：；
（2）由（1）知，，
故，，
所以在处的切线方程为，
即.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；
（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解
【详解】（1）因为，
所以
（2）由（1）得，，则所求切线的斜率为1，
故所求切线方程为.
22．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义即得；
（2）由题可得时，，进而即得.
【详解】（1）由已知得，则，
于是所求切线的斜率为，
所以切线 l 的方程为，即；
（2）将切线l的方程化为，
当时，恒成立，
因此抛物线上除切点外，其余各点都在该切线l的上方．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．一质点运动的位移方程为，当秒时，该质点的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．－1 B．0 C．－8 D．1
5．设函数，已知，，，，则（ ）
A．－2 B．－1 C． D．3
6．若函数在处的切线方程为，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
7．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共2小题，共8分）
11．函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
12．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线和在处的曲率分别为，则__________．
14．已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为___________.
15．曲线在点处的切线方程为___________________ .
16．请写出与曲线在处具有相同切线的另一个函数：______．
四、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．已知函数（其中），且，求：
(1)f（x）的表达式；
(2)曲线y=f（x）在x=a处的切线方程.
18．已知函数满足.
(1)求的值；
(2)求的图象在处的切线方程.
19．已知函数，求的值．
20．已知，且
(1)求的值；
(2)求在处的切线方程．
21．已知函数.
(1)求的导数；
(2)求曲线在点处的切线方程.
22．已知抛物线，其中，直线 l 为抛物线在点处的切线．
(1)求切线 l 的方程；
(2)求证：抛物线上除切点外，其余各点都在该切线 l 的上方．
参考答案：
1．C
【分析】求导后根据导数的物理意义可求.
【详解】由求导得
所以秒时，该质点的瞬时速度为.
故选：C
2．B
【分析】根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解.
【详解】由题意杯子的底面面积，
则杯中溶液上升高度，
则，
当时，，
即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为.
故选：B.
3．C
【分析】根据函数的奇偶性确定的解析式，再利用导数的几何意义求得切线方程.
【详解】函数为奇函数，
当时，，所以，
，
即，
则，，，
所以切线斜率，
切线方程为，
即，
故选：C.
4．C
【分析】求导，解得，得到求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
则，
解得，
则，
所以，
故选：C
5．B
【分析】先求出函数的导函数，再代入已知条件计算即可.
【详解】由已知，
.
故选：B.
6．A
【分析】由导数的几何意义列出方程求解即可.
【详解】，
由切线斜率为4，得，整理得①，
由切线经过，得，整理得②，
联立①②解得，故.
故选：A.
7．A
【分析】根据导数运算法则直接求解即可.
【详解】.
故选：A.
8．D
【分析】对求导，即可求出.
【详解】，所以.
故选：D.
9．A
【分析】通过求导，利用导数的运算、导数的瞬时变化率进行求解．
【详解】因为，所以，
当时，得，即，
解得或（舍去)，
故当时，，
即速度首次达到时加速度为，
故选：A．
10．A
【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；
将代入得：，故C错误．
故选：A．
11．AC
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】依题意，令，解得
，
故点的坐标为和，
故选：AC
12．BCD
【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可.
【详解】对于A，，
当时，，，故A错误；
对于B，在恒成立，故B正确；
对于C，在恒成立，故C正确；
对于D，，
因为，所以，所以恒成立，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】由函数和，分别求出，以及和，代入曲率公式计算，化简求值即可．
【详解】，则，
，，；
，则，
，，；
则
故答案为：
14．8
【分析】求出函数的导函数，令即可求出，即可得到，再代入计算可得.
【详解】解：因为，
所以，则，解得，
所以，则，
即的图象在点处的切线的斜率为.
故答案为：
15．
【分析】先求出导函数，求出导数值（即在点处的切线斜率），再利用斜截式写出方程
【详解】因为，所以，曲线在点处的切线的斜率，
由直线方程的斜截式可得切线方程为.
故答案为：.
16．（答案不唯一）
【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点且在处的导数值即可，由此可得曲线方程.
【详解】的导函数为，又过原点，
在原点处的切线斜率，
在原点处的切线方程为；
所求曲线只需满足过点且在处的导数值即可，如，
，又过原点，
在原点处的切线斜率，
在原点处的切线方程为.
故答案为:（答案不唯一）.
17．(1)
(2)
【分析】（1）运用导数运算公式解得，再根据已知条件解得a的值即可.
（2）由（1）可解得切点及切线斜率，再运用点斜式方程写出切线方程即可.
【详解】（1），于是有，
所以，
又，即，
.
（2）由（1）知，，所以，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，
即.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求导得出，令可得出的值；
（2）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，解得.
（2）解：由（1）可知，则，则，，
因此，的图象在处的切线方程为，即.
19．
【分析】根据求导公式得，代入即可求解.
【详解】
，
所以.
20．(1)0
(2)
【分析】（1）求导，代入，列出方程，求出；
（2）在（1）的基础上，求出，，利用点斜式求出切线方程，化为一般式即可.
【详解】（1），则，解得：；
（2）由（1）知，，
故，，
所以在处的切线方程为，
即.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；
（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解
【详解】（1）因为，
所以
（2）由（1）得，，则所求切线的斜率为1，
故所求切线方程为.
22．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义即得；
（2）由题可得时，，进而即得.
【详解】（1）由已知得，则，
于是所求切线的斜率为，
所以切线 l 的方程为，即；
（2）将切线l的方程化为，
当时，恒成立，
因此抛物线上除切点外，其余各点都在该切线l的上方．