4.4数学归纳法 课时训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

4.4*数学归纳法课时训练--2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．用数学归纳法证明（，，是正整数），在验证时，左边所得的项为（ ）
A．1 B． C． D．
2．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（ ）
A．1 B．
C． D．
3．用数学归纳法证明：“”，设，从到时（ ）
A． B．
C． D．
4．用数学归纳法证明：（），在验证时，左端计算所得的式子是（　　）
A． B． C． D．
5．已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
6．用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A． B． C． D．
7．用数学归纳法证明“，”，则当时，左端应在的基础上加上（ ）．
A． B．
C． D．
8．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B． C． D．
9．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A． B．
C． D．
10．在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共2小题，共8分）
11．如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（ ）
A．若对成立，则对所有正整数都成立
B．若对成立，则对所有正偶数都成立
C．若对成立，则对所有正奇数都成立
D．若对成立，则对所有自然数都成立
12．一个与正整数有关的命题，当时命题成立，且由时命题成立可以推得时命题也成立，则下列说法正确的是（ ）
A．该命题对于时命题成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与取值无关
D．以上答案都不对
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．存在常数a，b，c使得等式对一切正整数成立，则______．
14．用数学归纳法证明“” 时，从“到”时，左边应增添的式子是__．
15．用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为______．
16．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项.
四、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．已知数列满足，.
(1)求，，；
(2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
18．已知正项数列的前n项和为，．
(1)计算，，，，根据计算结果猜想的表达式．
(2)用数学归纳法证明你的结论．
19．在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列.
(1)求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：.
20．已知数列的前项和为，，满足.
(1)当时，用表示；
(2)计算，，，；
(3)猜想的表达式（不用证明）.
21．用数学归纳法证明：（n为正整数）．
22．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，它可以形成近似的等角螺线．记，，，的长度所组成的数列为．写出数列的通项公式．
参考答案：
1．C
【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令即可得出答案.
【详解】当时，，
在验证时，左边所得的项为.
故选：C.
2．D
【分析】根据数学归纳法求解即可.
【详解】表达式的左边是从开始加到结束，
所以验证成立时等式左边计算所得项是.
故选：D
3．B
【分析】计算出，结合的表达式可得出结果.
【详解】因为，
则，
即.
故选：B.
4．C
【分析】在验证时，左端计算所得的项．把代入等式左边即可得到答案．
【详解】用数学归纳法证明：，
在验证时，把当代入，左端．
故选：C．
5．B
【分析】首先因为n为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，则代入无意义，故需证明成立．
【详解】解：若已假设（，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：B．
6．D
【分析】求出时，不等式的左边，再求出当时，不等式的左边，得到当时，即可推出不等式的左边比时增加的项 .
【详解】当时，不等式左边等于，
当时，不等式左边等于
当时，不等式的左边比时增加.
故选：D
7．B
【分析】分别确定和时等式左端的式子，由此可得结果.
【详解】解：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
两式比较可知，增加的项为．
故选：B．
8．C
【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出与时的结论，即可得到答案．
【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于，左边,
时，左边，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是，
故选：．
9．D
【分析】当时，写出左端，并当时，写出左端，两者比较， 可得答案.
【详解】当时，左端，
那么当时 左端，
故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，
即，
故选：．
10．D
【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.
【详解】当时，左边，
当时，左边，
则.
故选：D.
11．BC
【分析】由推理关系，可知需分为奇数和偶数两种情况讨论，再结合首项成立，即可判断选项.
【详解】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.
故选：BC
12．AB
【分析】利用数学归纳法原理可判断各选项的正误.
【详解】命题对于时成立，那么它对于也成立，
若当时命题成立，则对时命题成立，从而对时命题成立，
假设当时命题成立，则当时命题也成立，
因此，该命题对于所有的正偶数都成立，当为奇数时，无法确定该命题的真假.
故选：AB.
13．24
【分析】根据题意直接令，代入求解即可.
【详解】令，则，
则.
故答案为：24
14．
【分析】左边应增添的式子是，整理得到答案.
【详解】左边应增添的式子是
故答案为：
15．
【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答.
【详解】依题意，当时，应证明的等式为：
.
故答案为：
16．3
【分析】根据给定条件，分析从到时式子的变化即可作答.
【详解】因为，，
所以不等式左边的比增加了，共3项.
故答案为：3
17．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）首先根据题意得到，再求，，即可.
（2）首先猜想数列的通项公式为，再利用数学归纳法证明即可.
【详解】（1）由可知，
当时，代入，解得；
当时，代入，解得；
当时，代入，解得；
（2）猜想数列的通项公式为.
当时，左边，右边，成立.
（2）假设当时，成立.
则当时，有，
即当时，也成立.
所以对任何都成立.
18．(1)
(2)见解析
【分析】（1）把分别代入依次计算，根据结果容易猜想的表达式；
（2）按照用数学归纳法证明命题的两个步骤，利用，对该式朝目标化简整理即可.
【详解】（1）根据为正项数列，则
当时，，解得或0（舍），
当时，，解得或（舍），
当时，，解得或（舍），
当时，，解得或（舍），
故猜想.
（2）①当时，显然成立
②假设当，时，则当时，
∴
∴
即：
∵，，∴，即当时，结论成立.
综上所述，由①②可知.
19．(1)，猜想：，证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意可得：，，分别令求解，猜想：，利用数学归纳法证明猜想；（2）利用进行放缩，结合裂项相消证明．
(1)
根据题意可得：，
令，则，，可得
令，则，，可得
令，则，，可得
猜想：
当，，成立
假定当，
当时，，即，则
，即，则成立
∴
(2)
即
20．(1)
(2)，，，
(3)
【分析】（1）根据与之间的关系运算整理即可；（2）根据题意直接可得，分别取结合（1）中的关系式运算求解；（3）猜想，并利用数学归纳法证明.
【详解】（1）当时， 则，
整理得.
（2）由题意可得：；
当时， 则；
当时， 则；
当时， 则；
故，，，.
（3）猜想，理由如下：
当时， 则满足上式；
假设当时， 则满足上式；
当时， 则满足上式；
故由数学归纳法可知.
21．证明见解析
【分析】根据数学归纳法的步骤即可完成证明
【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，
即，
那么当时，
．
故当时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
22．且.
【分析】由题设，应用勾股定理可得，结合已知条件即可写出通项公式，应用数学归纳法求证通项公式.
【详解】由题设，，，…，，
数学归纳法证明：
当时，，符合题设；
若时，也成立，
则时，，满足假设.
所以，的通项公式为且.