5.3.1函数的单调性 课时训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

5.3.1函数的单调性课时训练--2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．
2．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数，则满足不等式的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数满足在上恒成立，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数k
8．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共2小题，共8分）
11．设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数在区间上有零点，则________．
14．已知向量，，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______.
15．写出函数的严格增区间：____________．
16．若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为______.
四、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．已知函数，求证：当时，.
18．已知函数．讨论的单调性；
19．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求在上的值域.
20．已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间．
21．设函数（为常数），.曲线在点处的切线与轴平行
(1)求的值；
(2)求的单调区间.
22．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．
参考答案：
1．A
【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.
【详解】函数的定义域为 ，
，当时，解得，
故函数的单调递增区间是，
故选：A
2．B
【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案.
【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.
故选：B
3．D
【分析】二次求导，得到的单调性，再由，，求出，解出实数x的取值范围,
【详解】，令，则，
因为在R上恒成立，所以在R上单调递增，
又，故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
由得到，解得：，
所以满足不等式的实数x的取值范围是.
故选：D
4．D
【分析】求导，判断在上单调性，利用单调性比较大小.
【详解】因为函数，
所以，
所以在上递增，
又因为，
所以，
故选：D
5．C
【分析】求出函数的导数，令导数小于0，即可求得答案.
【详解】由题意得，
令，
故函数的单调递减区间是，
故选：C
6．B
【分析】构造函数，根据导数确定函数单调性，进而判断各选项.
【详解】由，
设，则，
所以在上是增函数，
又，所以，即，
故选：B.
7．B
【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解.
【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根，
又的根为，且在或两侧异号，
而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，
∴或，
∴或，故A，C，D错误.
故选：B.
8．C
【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
令，得或，
又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，
故选：C
9．B
【分析】原命题等价为在R上恒成立，结合二次函数的性质列不等式求解即可.
【详解】∵函数在R上是增函数，在R上恒成立，
∴.
故选：B.
10．B
【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.
【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数，
当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，
当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢.
B选项中的图象满足题意.
故选：B.
11．AB
【分析】构建，根据题意分析可得：为奇函数，在R上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.
【详解】
令，即，则为奇函数，
当时，，则在区间上单调递增，
故在区间上单调递增，则在R上单调递增，
∵，即，
∴，解得，
故A、B正确，C、D错误.
故选：AB．
12．AD
【分析】构造函数，，利用导数判断各函数的单调性，进而判断各选项.
【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即，故A选项正确，B选项错误；
令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，即，故C选项错误，D选项正确．
故选：AD．
13．2
【分析】求出函数定义域，求出导函数，求出，由零点存在性定理得到答案.
【详解】定义域为，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
因为区间上有零点，故.
故答案为：2
14．
【分析】利用向量数量积的坐标公式可得，利用导数确定参数范围.
【详解】由已知得，
则，
所以在上恒成立，
即恒成立，
设，，
当时，，则，
故.
故答案为：.
15．，
【分析】由题意,根据，求解即可.
【详解】由题意，解得，，
故函数的严格增区间为，.
故答案为：，.
16．
【分析】三次函数恰有三个单调区间，即函数有两个极值点，则导函数的图像抛物线与轴有两个交点，判别式，解不等式即可.
【详解】由题意有，
函数恰有三个单调区间，则函数有两个极值点，
的图像抛物线与轴有两个交点，则判别式，解得或.
所以实数的取值范围为.
故答案为：
17．证明见解析
【分析】利用导数，求函数单调性，证明不等式.
【详解】证明：
，函数定义域为，
，当时，，
∴在上是增函数.
于是当时，．
18．答案见解析
【分析】求定义域，求导，分与两种情况下，讨论得到函数的单调性.
【详解】定义域为R，
．
当时，则，在R上单调递增，
当时，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
19．(1)函数在上单调递增，在上单调递减；
(2)
【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性；
（2）根据第一问的函数单调性得出其值域.
【详解】（1）函数，则，
当时，，当，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
则在上的最大值，最小值，
故在上的值域为.
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)根据导数与切线的关系求解；
(2)根据导数结合不同的值分类讨论求解.
【详解】（1）当时，，
，，，
曲线在处的切线方程为，
即．
（2），
①当时，当时，，当时，，
∴在单调递增，在单调递减；
②当时，由，得，或；
由，得，
∴在，单调递减，在单调递增；
③当时，恒成立，∴在单调递减；
④当时，由，得，或；
由，得，
∴单调递减区间为，，单调递增区间为
21．(1)；
(2)单调递减区间为，单调递增区间为.
【分析】（1）利用导数的运算求得导函数，根据导数的几何意义求得；
（2）利用导数与函数的单调性的关系，在定义域内研究导数的正负区间，进而得到函数的单调区间.
【详解】（1），
，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，
所以.
（2），定义域为，
，
令，得，
当变化时，和的变化如下表：
1
－ 0 ＋
增 0 减
由上表可知的单调递减区间为，单调递增区间为，
22．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数几何意义求解.
（2）判断函数在上单调性，然后观察零点.
【详解】（1）因为，且，，
所以切线方程为，
即所求切线方程为．
（2）．
因为，所以，，，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以在上是减函数，且，
所以在上仅有一个零点．