5.3.2函数的极值与最大（小）值强化训练（答案）
一、选择题
1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( A )
A. B.e2 C. D.2e
解：依题意f′(x)＝(x2－2x－3)
＝(x－3)(x＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f(3)＝＝.
3、已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于( C )
A. B. C. D.
解：由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×＝.
4、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2
当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值.
5、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝－f(x)，函数f(x＋2)为偶函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x3＋x2－6x＋a.若x∈(－2，0)时，f(x)的最大值为－，则a＝( A )
A.3 B.2 C. D.－
解：由函数f(x＋2)是偶函数，得f(x)关于直线x＝2对称，即f(x＋4)＝f(－x)，因为f(x＋4)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，因为f(x)在(－2，0)上的最大值为－，所以f(x)在(0，2)上的最小值是，当x∈(0，2)时，f′(x)＝－3x2＋9x－6，令f′(x)＝0，得x＝1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，故x＝1时，f(x)取极小值，即最小值，故f(x)min＝f(1)＝a－＝，故a＝3.
6、若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( A )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解：由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A．
7、当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝( B )
A．－1 B．－
C． D．1
解：因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2，所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－，故选B.
8、 已知函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，则实数a的取值范围为( D )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(0，2] D．(0，2)
解：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－4＋＝.因为函数f(x)有两个极值点，
所以方程f′(x)＝0有两个正根，
所以方程2x2－4x＋a＝0有两个正根x1，x2，所以得0＜a＜2.
9、已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( B )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
解：因为f(x)＝2f′(1)ln x－x，所以f′(x)＝2f′(1)－1，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，所以f′(1)＝1，则f′(x)＝－1，所以函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，则f(x)的极大值为f(2)＝2ln 2－2.故选B．
10、已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是( D )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
解：依题意f′(x)＝(x－a)(x－1)ex，它的两个零点为x＝1，x＝a，若x＝1是函数y(x)的极小值点，则需a<1，此时函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x＝1处取得极小值．故选D．
11、(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( AC )
A.－3是函数y＝f(x)的极值点
B.－1是函数y＝f(x)的极小值点
C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D.－2是函数y＝f(x)的极大值点
解：根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以A正确.
因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误.
12、(多选)已知f(x)＝，则f(x)( BC )
A.在(－∞，＋∞)上单调递减
B.在(－∞，1)上单调递增
C.有极大值，无极小值
D.有极小值，无极大值
解：由题意知f′(x)＝，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)递增，x＞1时，f′(x)＜0，f(x)递减，f(1)是函数的极大值，也是最大值f(1)＝，函数无极小值.
13、(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( ABC )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
解：由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，
∴x＝，故A正确；
f′(x)＝－＝－，
当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＜0，
当x∈(－1，2)时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，
∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确；
又f(－1)＝－e，f(2)＝，
且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，
∴f(x)的图象如图所示，
由图知C正确，D不正确.
14、(多选)对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是( ACD )
A.x＝3是函数f(x)的一个极值点
B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C.f(x)在区间(1，2)上单调递减
D.直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点
解：由题意得f′(x)＝＋2x－10＝，x＞－1，令2x2－8x＋6＝0，得x＝1或x＝3，则f(x)在(－1，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故A、C正确，B错误.f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln 2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln 4－21，且y＝16ln 3－16＝f(2)，根据f(x)在(1，3)上单调递减得f(1)＞f(2)＞f(3)，又x→－1时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点，故D正确.
二、填空题
15、函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是___(－∞，－)∪(，＋∞)_____.
解： f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(2a)2－4×3×2＞0，解得a＞或a＜－.
16、若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝___4_____.
解：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
17、已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为___－_____.
解：由f(x)＝(x2＋ax)ex，
得f′(x)＝(x2＋ax＋2x＋a)ex，
因为x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，
所以f′(1)＝(3＋2a)e＝0，解得a＝－.
∴f′(x)＝ex，
所以f′(0)＝－.
所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为－.
18、若函数f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为_(－∞，－1]__.
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋＝，由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a≤0，所以a∈(－∞，－1]．
19、已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是________.
解： f(x)＝xln x＋mex(x＞0)，
∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x＞0)，
令f′(x)＝0，得－m＝，
设g(x)＝，
则g′(x)＝(x＞0)，
令h(x)＝－ln x－1，
则h′(x)＝－－＜0(x＞0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，
∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(x)max＝g(1)＝，
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
只需0＜－m＜，故－＜m＜0.
20、函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为____1____.
解：函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
①当x>时，f(x)＝2x－1－2ln x，
所以f′(x)＝2－＝.
当1时，f′(x)>0，所以f(x)在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
②当0ln e＝1.
综上，f(x)min＝1.
三、解答题
21、已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ln 2－1 ?
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
22、已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
解 (1)当a＝0时，f(x)＝，
则f′(x)＝
＝.
当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－4，
故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－4(x－1)，
整理得4x＋y－5＝0.
(2)已知函数f(x)＝，
则f′(x)＝
＝.
若函数f(x)在x＝－1处取得极值，
则f′(－1)＝0，即＝0，解得a＝4.
经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f(x)的极大值，符合题意.
此时f(x)＝，其定义域为R，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
f(x)，f′(x)随x的变化趋势如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，4) 4 (4，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4).
极大值为f(－1)＝1，极小值为f(4)＝－.
又因为x<时，f(x)>0；x>时，f(x)<0，
所以函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，
最小值为f(4)＝－.
23、已知函数f(x)＝ax2－x·ln x＋b(a，b∈R)，g(x)＝f′(x).若函数y＝g(x)在x＝处有极值，求a的值及极值，并说明该极值是极大值还是极小值．
解 由f(x)＝ax2－x·ln x＋b，知g(x)＝f′(x)＝ax－ln x－1(x>0)，
因为函数y＝g(x)在x＝处有极值，
所以g′＝0，
因为g′(x)＝a－＝(x＞0)，
所以g′＝a－＝0，所以a＝2.
所以该极值为g＝a－ln －1＝ln 2，
当a＝2时，令g′(x)＝＝0，得x＝，
若x∈，则g′(x)<0，所以g(x)在上单调递减；
若x∈，则g′(x)>0，所以g(x)在上单调递增．
所以ln 2是极小值．
24、已知函数f(x)＝＋a(ln x－x)(a∈R).
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的极值点的个数．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x－x(x>0)，f′(x)＝＋－1＝(1－x)，
∴f′(1)＝0，
又f(1)＝－1，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.
(2)由已知，得
f′(x)＝＋a＝(x＞0).
记g(x)＝＋a(x>0)，则g′(x)＝，
令g′(x)>0，得01.
∴g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝＋a，
∴a①当a≥0时，g(x)>0恒成立．
令f′(x)>0，得01.
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
此时f(x)有且只有1个极值点．
②当a≤－时，g(x)≤0恒成立．
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
此时f(x)有且只有1个极值点．
③当－0；当1x2时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，1)上单调递增，在(1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
此时f(x)有3个极值点．
综上，当a≥0或a≤－时，f(x)有1个极值点；当－25、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.
解 (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0；
当x＞1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，
∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意.
②若a＜－，令f′(x)＞0得a＋＞0，结合x∈(0，e]，解得0＜x＜－；
令f′(x)＜0得a＋＜0，结合x∈(0，e]，解得－＜x≤e.
从而f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
∴f(x)max＝f＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
∵－e2＜－，∴a＝－e2为所求.
故实数a的值为－e2.5.3.2函数的极值与最大（小）值强化训练
一、选择题
1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( )
A. B.e2 C. D.2e
3、已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于( )
A. B. C. D.
4、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
5、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝－f(x)，函数f(x＋2)为偶函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x3＋x2－6x＋a.若x∈(－2，0)时，f(x)的最大值为－，则a＝( )
A.3 B.2 C. D.－
6、若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
7、当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝( )
A．－1 B．－
C． D．1
8、 已知函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(0，2] D．(0，2)
9、已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
10、已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
11、(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( )
A.－3是函数y＝f(x)的极值点
B.－1是函数y＝f(x)的极小值点
C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D.－2是函数y＝f(x)的极大值点
12、(多选)已知f(x)＝，则f(x)( )
A.在(－∞，＋∞)上单调递减
B.在(－∞，1)上单调递增
C.有极大值，无极小值
D.有极小值，无极大值
13、(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
14、(多选)对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是( )
A.x＝3是函数f(x)的一个极值点
B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C.f(x)在区间(1，2)上单调递减
D.直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点
二、填空题
15、函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________.
16、若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________.
17、已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为_______.
18、若函数f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为_______.
19、已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是________.
20、函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________.
三、解答题
21、已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
22、已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
23、已知函数f(x)＝ax2－x·ln x＋b(a，b∈R)，g(x)＝f′(x).若函数y＝g(x)在x＝处有极值，求a的值及极值，并说明该极值是极大值还是极小值．
24、已知函数f(x)＝＋a(ln x－x)(a∈R).
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的极值点的个数．
25、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.