6.2平面向量的运算专项练习基础版
一、单选题
1．在平行四边形中，（ ）
A． B．0 C． D．
2．若，，与的夹角是，则（ ）
A．12 B． C．1 D．
3．“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-8 B．-2 C．2 D．8
5．设为非零向量，则“”是“存在整数，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列命题为真命题的序号是（ ）
①
②若向量和反向，则
③若，则或
④若，则为钝角三角形
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．在中，，且，则的值为（ ）．
A．2 B． C．1 D．
8．已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知m，n是实数，为向量，则下列运算中正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
10．对于非零向量，，，下列命题中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量）
C．
D．
11．下列说法错误的是（ ）
A．就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．
12．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．向量，，，则向量与的夹角为__________．
14．在中，，则_______．
15．已知向量满足，向量是与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量为__________.
16．已知非零向量与的夹角为，，若，则______.
四、解答题
17．已知向量，满足，，.
（1）求与的夹角；
（2）求的值.
18．设向量满足，．
(1)求向量的夹角；
(2)求．
19．设向量满足及，
（Ⅰ）求夹角θ的大小；
（Ⅱ）求的值．
20．已知满足，求.
21．已知，，向量，的夹角为60°，，，则当m为何值时，与垂直
22．已知不共线的向量满足的夹角为.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.6.2平面向量的运算专项练习基础版解析
一、单选题
1．在平行四边形中，（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形法则直接进行向量的加法运算即可.
【详解】.
故选：A
【点睛】本题考查向量的基本运算，属于基础题.
2．若，，与的夹角是，则（ ）
A．12 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的计算公式，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，向量，，与的夹角是，
所以.
故选：C.
3．“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积的定义，向量平行的定义以及充分条件，必要条件的定义即可判断．
【详解】若平面向量，平行，则向量，方向相同或相反，所以或；
若，则，即向量，方向相同，以及向量，平行．
综上，“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的必要非充分条件．
故选：B．
4．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-8 B．-2 C．2 D．8
【答案】C
【分析】由向量平行可得，即可求出实数的值.
【详解】解：因为，所以，解得.
故选:C.
【点睛】本题考查了已知向量平行求参数的值，属于基础题.
5．设为非零向量，则“”是“存在整数，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】考查由“”与“存在整数，使得”为题设、结论的互逆的两个命题真假即可得解.
【详解】因为非零向量，设的夹角为，则，
若，则，是0或锐角，而是锐角时，不成立，即“”“存在整数，使得”；
若有“存在整数，使得”，取并且，则，即不成立，
“存在整数，使得”“”，
综上得“”是“存在整数，使得”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6．下列命题为真命题的序号是（ ）
①
②若向量和反向，则
③若，则或
④若，则为钝角三角形
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】根据平面向量的相关概念结合平面向量的线性运算、数量积以及模长逐项分析判断.
【详解】对于①：，故①真命题；
对于②：若向量和反向，则，
若，当且仅当，故②假命题；
对③：若，则和的模相等不能得到或，③假命题；
对④：在中，若，则为锐角，即为钝角，
故为钝角三角形， ④真命题.
故选：D.
7．在中，，且，则的值为（ ）．
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由已知分析出点在的延长线上，且为的中点，然后利用三角形法则用向量，表示出向量，进而可以求解．
【详解】解：因为，则，即点在的延长线上，且为的中点，
则，
所以，，则，
故选：．
8．已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知，，从而求得，求得夹角最大值.
【详解】由题知，，即，
又，
则，即，的夹角最大为
故选：C
二、多选题
9．已知m，n是实数，为向量，则下列运算中正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】AD
【分析】利用平面向量数量积的运算律与向量共线的充要条件判断选项的正误即可.
【详解】A选项：，满足向量的运算法则，所以A正确；
B选项：当时，，但是，不一定相等，所以B不正确；
C选项：表示与共线的向量，表示与共线的向量，
所以两个向量不一定相等，所以C不正确；
D选项：，满足向量的数量积的运算法则，所以D正确.
故选：AD
【点睛】平面向量数量积的运算律有
交换律：
数乘结合律：
分配率：
注意
10．对于非零向量，，，下列命题中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量）
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用向量的数量积判断；利用向量的投影向量判断；向量垂直的充要条件判断；向量的数量积判断；
【详解】解：对于A：，所以不正确；
对于B：在上的投影向量为：是与方向相同的单位向量），所以不正确．
对于C：，所以正确；
对于D：由，则，因为，所以，即在方向上的投影相等，故得不到，所以不正确；
故选：．
11．下列说法错误的是（ ）
A．就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．
【答案】AB
【分析】对于A，利用平行向量的定义即可判断；
对于B，利用相等向量的定义即可判断；
对于C，根据零向量的定义即可判断；
对于D，根据向量的加法即可求解.
【详解】对于A，若，则的方向相同或相反，所在的直线与所在的直线平行或在同一直线上，故A不正确；
对于B，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B不正确；
对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：AB.
12．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先利用平面向量的数量积运算得到，即可得到的值，再利用平面向量的数量积运算得到，最后求解，即可判断选项.
【详解】，∴，故B正确，
∴，∴不成立，故C不正确，
又，故D正确，
又，∴与的夹角为，故A不正确.
所以BD正确.
故选：BD.
三、填空题
13．向量，，，则向量与的夹角为__________．
【答案】##
【分析】为求向量夹角，根据题目已知，只需求出的值即可.
【详解】依题意得：，即，即，则，所以夹角为.
故答案为：
14．在中，，则_______．
【答案】
【分析】由题设知为直角三角形且 ，写出、、，根据向量数量积公式可将目标式化为，即可求值.
【详解】由题设知：，故为直角三角形且 ，
∴，，，
∵，
∴.
故答案为：
15．已知向量满足，向量是与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量为__________.
【答案】
【分析】根据平面向量投影的定义，计算对应的投影即可．
【详解】解：向量，满足||＝1，⊥，∴，
∴向量在向量方向上的投影为
||cosθ
＝1．
又因为向量是与同向的单位向量，所以则向量在向量上的投影向量为
故答案为：．
16．已知非零向量与的夹角为，，若，则______.
【答案】1
【解析】由得，把代入可求出
【详解】由，则，
则(舍)或，
故答案为：1
【点睛】此题考查向量的数量积的运算，考查向量的模的求法，属于基础题
四、解答题
17．已知向量，满足，，.
（1）求与的夹角；
（2）求的值.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）对化简变形可求出与的夹角；
（2）由化简可得答案
【详解】解：（1）因为，，，
所以，
，
解得，
因为，
所以，
（2）
18．设向量满足，．
(1)求向量的夹角；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用数量积求夹角即可；
（2）由，展开后代入已知得答案．
【详解】（1）因为，，
所以，
又，所以.
（2）.
19．设向量满足及，
（Ⅰ）求夹角θ的大小；
（Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ ）对进行平方，利用向量的数量积公式，可以求出夹角θ的大小；
（Ⅱ）先对进行平方运算，然后把结果再开算术平方根.
【详解】解：（Ⅰ）由，
得，即，
∵，∴．
∴．
又∵，∴夹角；
（Ⅱ）∵
＝．
∴．
【点睛】本题考查了应用向量数量积求向量夹角问题、求向量模大小问题，考查了运算能力.常见的求模的口诀是遇模则平方再开算术平方根，也就是应用这个公式.
20．已知满足，求.
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的运算律得到，再根据计算可得；
【详解】解：因为
所以
即，解得
所以
21．已知，，向量，的夹角为60°，，，则当m为何值时，与垂直
【答案】
【分析】利用垂直向量的数量积为0可求的值.
【详解】由已知得.由，知，
即
，
所以，即当时，与垂直.
22．已知不共线的向量满足的夹角为.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对式子进行平方运算，即可得到答案；
（2）根据向量垂直，数量积为0，即可得到答案；
(1)
（1）
(2)
（2），，
，
，
，
.
