10.1.3 古典概型同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

《第一节　随机事件与概率》同步练习
（课时3　古典概型）
一、基础巩固
知识点1　古典概型的特征
1.下列有关古典概型的说法中,错误的是(　　)
A.试验中样本点的个数是有限的
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本空间中的样本点个数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.(多选)[2022广东梅州沐彬中学高一下月考]下列概率模型是古典概型的为(　　)
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于2的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
知识点2　古典概型的概率计算
3.[2022辽宁辽阳一中高一月考]现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入一个盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“1”,一张为“2”的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.[2022江苏扬州高邮一中高一下月考]哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数(即质数)的和”,如10=3+7.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在2,3,5,7,11这五个素数中,任取两个素数,其和是合数的概率是(　　)
A. B. C. D.
5.(多选)[2022重庆市第八中学校高二下期中]有5个形状大小相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是(　　)
A.“取不到红球”的概率为
B.“取出的两球均为红色”的概率为
C.“至多取到1个红球”的概率为
D.“取出一个红球、一个蓝球”的概率为
6.[2022广东广州二中等五校高一下期末]如图,把一枚棋子放在△ABC的顶点A,棋子每次跳动只能沿△ABC的一条边从一个顶点跳到另一个顶点,并规定:抛一枚硬币,若出现正面朝上,则棋子按逆时针方向从棋子所在的顶点跳到△ABC的另一个顶点;若出现反面朝上,则棋子按顺时针方向从棋子所在的顶点跳到△ABC的另一个顶点.现在抛3次硬币,棋子按上面的规则跳动3次.
(1)列出棋子从起始位置A开始3次跳动的所有路径(用△ABC顶点的字母表示);
(2)求3次跳动后,棋子停在A点的概率.
二、能力提升
1.[2022安徽合肥市第六中学模考]“田忌赛马”的故事千古流传,故事大意是:在古代齐国,马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天,齐王找田忌赛马,两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马,每匹马都各赛一局,采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马,比齐王同等次的马慢,但比齐王较低等次的马快.若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场,则田忌获胜的概率为(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
2.[2022天津南开区高一下期中]连掷两次骰子分别得到点数m,n,设向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角为θ,则θ>的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.(多选)[2022山东滨州高一下期末]某次数学考试的一道多项选择题,要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,则下列表述正确的是(　　)
A.甲同学仅随机选一个选项 ,能得2分的概率是 B.乙同学仅随机选两个选项,能得5分的概率是
C.丙同学随机至少选择一个选项 ,能得分的概率是 D.丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是
4.[2022陕西咸阳普集高中高一下月考]随着经济发展,江门市居住环境进一步改善,市民休闲活动的公园越来越多,其中,最新打造的网红公园有儿童公园、潮头中央公园、下沙公园.某个节假日,甲、乙、丙、丁四组家庭到这几个网红公园打卡,通过访问和意向筛查,最后将这四组家庭的意向汇总如下表:
公园 儿童公园 潮头中央公园 下沙公园
有意向的家庭组 甲、乙、丙 甲、乙、丁 乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项,且每个公园至多有两组家庭选择,则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为　　　　.
5.[2022河南省部分名校段考]盒子中装了6张外形相同数字不同的两种卡片,其中写有数字1的卡片m张,写有数字2的卡片n张.小明以游戏的方式决定暑期是去北京、上海还是广州旅游.游戏规则为:从盒子中任取2张卡片,若这2张卡片上数字之和小于3,则去北京旅游,若这2张卡片上数字之和等于3,则去上海旅游,否则就去广州旅游.已知小明去北京旅游的概率为.
(1)求常数m,n的值;
(2)分别求小明去广州旅游的概率和不去上海旅游的概率.
参考答案
一、基础巩固
1.B　B中所说的事件不一定是基本事件,所以B说法错误;根据古典概型的特点及计算公式可知A,C,D说法正确.故选B.
2.AD　显然A,D符合古典概型的特征.B选项中基本事件的个数是无限个,不是古典概型.C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.
3.C　取出两张卡片的所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种.满足题意的取法为(1,2),(2,1),共2种情况,所以所求的概率P=.
4.D　从2,3,5,7,11这五个素数中任取两个素数的样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)},共10个样本点,记事件A为“其中两个数的和是合数”,则A={(2,7),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)},共7个样本点,由古典概型概率的计算公式,得P(A)=.
5.ABC　记3个红球分别为A,B,C,2个蓝球分别为a,b,则Ω={AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab}.
6.解析(1)根据题意可知,棋子从起始位置A开始3次跳动的所有路径有:A→B→C→A,A→C→A→B,A→B→A→B,A→B→C→B,A→C→B→C,A→C→A→C,A→B→A→C,A→C→B→A.
(2)记事件E为“3次跳动后,棋子停在A点”,则事件E包含2个样本点,故P(E)=.
二、能力提升
1.D　设齐王有上、中、下三等的三匹马A,B,C,田忌有上、中、下三等的三匹马a,b,c,所有比赛的方式有:Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Ac,Bb,Ca,一共6种.其中田忌能获胜的方式只有Ac,Ba,Cb这1种,故此时田忌获胜的概率为.
2.D　由题设知,向量(m,n)的样本点有36个,要使θ>,则(m,n)·(-1,1)=n-m<0,即n的概率是.
3.ABC　甲同学仅随机选一个选项,包含的样本点为A,B,C,D,事件“能得2分”包含的样本点为C,D,故“能得2分”的概率为,A正确;乙同学仅随机选两个选项,包含的样本点为AB,AC,AD,BC,BD,CD,事件“能得5分”包含的样本点为CD,故“能得5分”的概率为,B正确;丙同学随机至少选择一个选项,选择一项或选择两项共包含10个样本点,选择三项或全选,包含的样本点为ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD,事件“能得分”包含的样本点为CD,故“能得分”的概率为,C正确;丁同学随机至少选择两个选项,由C的分析可知,样本点共有11个,事件“能得分”包含的样本点为CD,故“能得分”的概率为,D错误.故选ABC.
4.　解析①选儿童公园和潮头中央公园时,有以下情况:甲丙、乙丁;乙丙、甲丁;
②选儿童公园和下沙公园时,有以下情况:甲乙、丙丁;甲丙、乙丁;
③选下沙公园和潮头中央公园时,有以下情况:甲乙、丙丁;甲丁、乙丙;
④选3个公园时,有以下几种情况:甲乙、丁、丙;甲丙、乙、丁;甲丙、丁、乙;乙丙、甲、丁;丙、甲乙、丁;乙、甲丁、丙;丙、甲丁、乙;甲、乙丁、丙;甲、丁、乙丙;丙、甲、乙丁;甲、乙、丙丁;乙、甲、丙丁.
共有18种选择,其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的有4种,则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为.
5.解析(1)设这6张卡片分别为A,B,C,D,E,F,则从6张卡片中取2张的样本空间Ω={AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF},共15个样本点.
设写有数字1的m张卡片分别为a1,a2,a3,…,am,其中任取2张卡片,数字之和小于3的情况是(a1,a2), (a1,a3),…,(a1,am),(a2,a3),(a2,a4),…,(a2, am),…,(am-1,am),样本点个数为(m-1)+(m-2)+…+1,所以小明去北京旅游的概率为,又由题意知m+n=6,m=2,3,4,5,所以m=4,n=2.
(2)由(1)可设写有数字1的卡片分别为a1,a2,a3,a4,写有数字2的卡片分别为b1,b2,总的样本点个数为15,
则任取2张卡片数字之和大于3的情况只有(b1,b2)这1种,所以小明去广州旅游的概率为.
小明不去上海旅游即去北京或广州旅游,任取2张卡片数字之和不等于3的情况有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),(b1,b2),共7种情况,所以小明不去上海旅游的概率为.