人教版八年级数学下册 18.2.2 菱形 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 18.2.2 菱形 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 819.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-19 17:07:10 | ||
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文档简介
18.2.2 菱形 同步练习
一、单选题
1．如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（ ）．
A．20° B．25° C．65° D．75°
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE，OE=5，BD=12，则菱形的面积为( )
A．96 B．48 C．192 D．24
4．菱形和矩形的对角线，具有的性质是下列的（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相垂直平分 D．对角线互相平分
5．在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD＞CD．将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E，则四边形CDC′E的形状准确地说应为（）.
A．矩形 B．菱形
C．梯形 D．平行四边形
6．如图，在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC＝60°，∠ADB＝15°．点E是AD边上一个动点，延长EO交BC于点F，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
7．如图在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长是（ ）
A． B． C． D．
8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个如图所示区域，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后区域的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在图1中，、、分别是等边 的边、、的中点，在图2中，，，分别是的边、、的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（ ）个．
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知一个菱形的周长是4，较长的对角线比较短的对角线长2，则这个菱形的面积是______．
12．如图，已知菱形的一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________．
13．菱形的两条对角线长分别为5和12，那么这个菱形的面积为___________
14．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为_______________．
15．如图，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接ED，若，则DE的长为______．
三、解答题
16．如图，在中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形图ADCF是菱形？为什么？
17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，点E是BC延长线上一点，连接DE，DEAC，DE⊥BD，点D到BE的距离为d．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求d．
18．如图：在中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
(1)四边形ABEF是什么四边形？请说明理由；
(2)若四边形ABEF的周长为40，，求AE的长和的度数．
参考答案
1．C
【详解】解：在菱形中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案选C．
2．A
【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选A．
3．A
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴CD=2OE=10，
∴，
∴AC=2OC=16，
∴菱形的面积为：.
故选A.
4．D
【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形的对角线，具有的相同性质是对角线互相平分，
故选：D．
5．B
【详解】四边形CDC′E是菱形．
理由：根据折叠的性质，可得：CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E，
∵AD∥BC，
∴∠C′DE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∴CD=C′D=C′E=CE，
∴四边形CDC′E为菱形．
故选B．
6．B
【详解】解：点E从D点向A点移动过程中，
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵∠AOD=180°-∠DAC-∠ADB=115°，
∴当∠EOD＝15°时，∠AOE=90°，
此时平行四边形AECF是菱形；
当∠EOD=45°，∠AEO=∠EOD+∠ADO=45°+15°=60°，
∴∠OAE=∠OEA，
∴OA=OE，
∴AC=EF，
此时平行四边形AECF是矩形；
∴∠EOD＜15°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD＝15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，
当15°＜∠EOD＜45°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD＝45°时，四边形AFCE为矩形，
当45°＜∠EOD＜105°时，四边形AFCE为平行四边形，
故选：B．
7．C
【详解】解：连接BE，BD，设EF与BD
相交于点O，如图，
矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
垂直平分BD，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形DEBF为菱形，
在中，
，
设BE=x，则DE=x，AE=8-x，
在中，，
即，
解得，
，
S菱形DEBF=S三角形DEB，
，
，
，
故选：C．
8．B
【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=1（m），
同理可证：AF=EF=1（m）
∴AB=BG+GF+AF=1×3=3（m），
∴扩建后菱形区域的周长为3×4=12（m），
故选：B．
9．C
【详解】解：由题意可得，
∵、、分别是等边 的边、、的中点，
∴ ,
∴图1有三个菱形，由此可得作一次中位线分三个菱形，
∴第n个图形中菱形的个数共有 个菱形，
故选C．
10．C
【详解】解：∵菱形
∴AB=BC=CE=AE,AC⊥BE,OE=BE
又∵，
∴四边形OCDE是矩形
∴OD=CE,OE=CD
∴OD=AB=AE,OB=CD
故A、B选项正确；
又∵
∴四边形OBCD是平行四边形
∴OD∥BC
所以D正确；
又OD=CE与BE没有直接关系，所以C错误；
故答案为C.
11．2
【详解】解：∵菱形的周长是4，
∴边长为，
∵较长的对角线比较短的对角线长2，，
∴设菱形的两对角线分别为x，（x+2），
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
则对角线的一半分别为，，
根据勾股定理得，（）2+（）2=（）2，
整理得：x（x+2）=4，
∴这个菱形的面积= x（x+2）=2．
故答案为：2．
12．
【详解】解：在菱形中，
∴，，
又∵
∴
∴
故答案为25．
13．30
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为5和12，
∴菱形的面积：．
故答案为：30．
14．
【详解】由题意得矩形矩形，
，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积，
，∴四边形是菱形，
．
设，则．
在中，由勾股定理得，
解得
，
∴四边形的周长．
15．
【详解】解： 菱形ABCD，∠BCD＝60°，，
故答案为：
16．
【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，BD=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°
又∵点D是边BC的中点，
∴AD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
17．
【详解】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵DEAC，DE⊥BD，
∴ AC ⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形．
（2）解：如图，过点D 作DF⊥BE ，垂足为点 F ．
由（1）知，
在Rt△AOB 中．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BC =CD = AB = AD =5 ，BD =2OB =8 ，ADCE．
∵ DE/AC，
∴四边形 ACED 是平行四边形，
∴ CE = AD = 5 ，DE= AC = 6 ，
∴．
18．(1)四边形ABEF是菱形，理由见解析
(2)10，120°
【详解】解：（1）四边形ABEF是菱形．
理由：从尺规作图中得出AB＝AF，∠BAE＝∠FAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA,
∴∠BAE＝∠BEA,
∴AB＝BE.
∵AB＝AF,
∴BE＝AF.
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形.
由于AB＝BE,
∴四边形ABEF是菱形．
（2）设BF与AE交于点O.
∵菱形ABEF的周长为40，
∴AF＝AB＝10.
又∵BF＝10，
∴AF＝AB＝BF.
∴∠BAF＝60°.
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OF＝BF＝5，AE＝2AO，AF∥BC.
∴AO＝=，
∴AE＝2AO＝10.
∵AF∥BC，
∴∠ABC+∠BAF=180°,
∴∠ABC＝180°－∠BAF＝120°.
一、单选题
1．如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（ ）．
A．20° B．25° C．65° D．75°
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE，OE=5，BD=12，则菱形的面积为( )
A．96 B．48 C．192 D．24
4．菱形和矩形的对角线，具有的性质是下列的（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相垂直平分 D．对角线互相平分
5．在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD＞CD．将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E，则四边形CDC′E的形状准确地说应为（）.
A．矩形 B．菱形
C．梯形 D．平行四边形
6．如图，在平行四边形ABCD中对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC＝60°，∠ADB＝15°．点E是AD边上一个动点，延长EO交BC于点F，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
7．如图在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长是（ ）
A． B． C． D．
8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个如图所示区域，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后区域的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在图1中，、、分别是等边 的边、、的中点，在图2中，，，分别是的边、、的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（ ）个．
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知一个菱形的周长是4，较长的对角线比较短的对角线长2，则这个菱形的面积是______．
12．如图，已知菱形的一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________．
13．菱形的两条对角线长分别为5和12，那么这个菱形的面积为___________
14．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为_______________．
15．如图，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接ED，若，则DE的长为______．
三、解答题
16．如图，在中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形图ADCF是菱形？为什么？
17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，点E是BC延长线上一点，连接DE，DEAC，DE⊥BD，点D到BE的距离为d．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求d．
18．如图：在中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
(1)四边形ABEF是什么四边形？请说明理由；
(2)若四边形ABEF的周长为40，，求AE的长和的度数．
参考答案
1．C
【详解】解：在菱形中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案选C．
2．A
【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选A．
3．A
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴CD=2OE=10，
∴，
∴AC=2OC=16，
∴菱形的面积为：.
故选A.
4．D
【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形的对角线，具有的相同性质是对角线互相平分，
故选：D．
5．B
【详解】四边形CDC′E是菱形．
理由：根据折叠的性质，可得：CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E，
∵AD∥BC，
∴∠C′DE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∴CD=C′D=C′E=CE，
∴四边形CDC′E为菱形．
故选B．
6．B
【详解】解：点E从D点向A点移动过程中，
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵∠AOD=180°-∠DAC-∠ADB=115°，
∴当∠EOD＝15°时，∠AOE=90°，
此时平行四边形AECF是菱形；
当∠EOD=45°，∠AEO=∠EOD+∠ADO=45°+15°=60°，
∴∠OAE=∠OEA，
∴OA=OE，
∴AC=EF，
此时平行四边形AECF是矩形；
∴∠EOD＜15°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD＝15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，
当15°＜∠EOD＜45°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD＝45°时，四边形AFCE为矩形，
当45°＜∠EOD＜105°时，四边形AFCE为平行四边形，
故选：B．
7．C
【详解】解：连接BE，BD，设EF与BD
相交于点O，如图，
矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，
垂直平分BD，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形DEBF为菱形，
在中，
，
设BE=x，则DE=x，AE=8-x，
在中，，
即，
解得，
，
S菱形DEBF=S三角形DEB，
，
，
，
故选：C．
8．B
【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=1（m），
同理可证：AF=EF=1（m）
∴AB=BG+GF+AF=1×3=3（m），
∴扩建后菱形区域的周长为3×4=12（m），
故选：B．
9．C
【详解】解：由题意可得，
∵、、分别是等边 的边、、的中点，
∴ ,
∴图1有三个菱形，由此可得作一次中位线分三个菱形，
∴第n个图形中菱形的个数共有 个菱形，
故选C．
10．C
【详解】解：∵菱形
∴AB=BC=CE=AE,AC⊥BE,OE=BE
又∵，
∴四边形OCDE是矩形
∴OD=CE,OE=CD
∴OD=AB=AE,OB=CD
故A、B选项正确；
又∵
∴四边形OBCD是平行四边形
∴OD∥BC
所以D正确；
又OD=CE与BE没有直接关系，所以C错误；
故答案为C.
11．2
【详解】解：∵菱形的周长是4，
∴边长为，
∵较长的对角线比较短的对角线长2，，
∴设菱形的两对角线分别为x，（x+2），
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
则对角线的一半分别为，，
根据勾股定理得，（）2+（）2=（）2，
整理得：x（x+2）=4，
∴这个菱形的面积= x（x+2）=2．
故答案为：2．
12．
【详解】解：在菱形中，
∴，，
又∵
∴
∴
故答案为25．
13．30
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为5和12，
∴菱形的面积：．
故答案为：30．
14．
【详解】由题意得矩形矩形，
，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积，
，∴四边形是菱形，
．
设，则．
在中，由勾股定理得，
解得
，
∴四边形的周长．
15．
【详解】解： 菱形ABCD，∠BCD＝60°，，
故答案为：
16．
【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，BD=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°
又∵点D是边BC的中点，
∴AD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
17．
【详解】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵DEAC，DE⊥BD，
∴ AC ⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形．
（2）解：如图，过点D 作DF⊥BE ，垂足为点 F ．
由（1）知，
在Rt△AOB 中．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BC =CD = AB = AD =5 ，BD =2OB =8 ，ADCE．
∵ DE/AC，
∴四边形 ACED 是平行四边形，
∴ CE = AD = 5 ，DE= AC = 6 ，
∴．
18．(1)四边形ABEF是菱形，理由见解析
(2)10，120°
【详解】解：（1）四边形ABEF是菱形．
理由：从尺规作图中得出AB＝AF，∠BAE＝∠FAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA,
∴∠BAE＝∠BEA,
∴AB＝BE.
∵AB＝AF,
∴BE＝AF.
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形.
由于AB＝BE,
∴四边形ABEF是菱形．
（2）设BF与AE交于点O.
∵菱形ABEF的周长为40，
∴AF＝AB＝10.
又∵BF＝10，
∴AF＝AB＝BF.
∴∠BAF＝60°.
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OF＝BF＝5，AE＝2AO，AF∥BC.
∴AO＝=，
∴AE＝2AO＝10.
∵AF∥BC，
∴∠ABC+∠BAF=180°,
∴∠ABC＝180°－∠BAF＝120°.