6.2.1 向量的加法运算 同步练习（含解析）

6.2.1 向量的加法运算 同步练习
一、单选题
1．已知在中，点在的延长线上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
①向量与是平行向量，则、、、四点一定不在同一直线上；
②向量与平行，且，则或；
③两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
④单位向量都相等.
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3．已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（ ）
A．在的内部 B．在的边上
C．在的边上 D．在的外部
4．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则的长度相同，方向相同或相反
B．若向量是向量相反向量，则
C．若，则存在唯一的实数使得
D．在四边形中，一定有
5．若点M是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为.
A． B． C． D．
6．在中，已知，，M、N分别是BC边上的三等分点，则的值是　　
A．5 B． C．6 D．8
7．已知点是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．在梯形中，已知，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在平行四边形中，下列计算正确的是
A． B．
C． D．
10．下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，设，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，长为的是边的高，若，则（ ）
A． B．
C． D．是正三角形
三、填空题
13．化简__________．
14．若O为平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点， =4, =6, 则=____.
15．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有，则△AOC的面积为__________.
16．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.
四、解答题
17．如图，在中，，点E是CD的中点，设，用表示.
18．如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
19．（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求；
（2）设O是正n边形的中心，求．
参考答案
1．A
【详解】∵，，∴，故选A．
2．D
【详解】对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错；
对于②，因为向量与平行，且，则、互为相反向量或相等向量，
则或，②对；
对于③，由相等向量知，起点相同则终点一定相同，故③对；
对于④，单位向量不仅仅长度为，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同，故④错.
故选：D.
3．C
【详解】因为
所以
即，
所以点为中点.
故选：C.
4．B
【详解】对于A，若，则的长度相同，方向任意，A错误；
对于B，由相反向量定义知：与方向相反，模长相等，B正确；
对于C，当，时，，此时不存在唯一的实数使得，C错误；
对于D，若为中点，则，
与不恒相等，不恒成立，D错误.
故选：B.
5．C
【详解】如图，由5=+3得
2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.
6．C
【详解】如图，
设BC的中点为O，由，
得，
∵，
∴，由此可得：，
而|AO|2﹣|OM|2，
由已知，
∴|AO|2﹣|OM|2，
∴6．
故选C．
7．B
【详解】为方向上的单位向量，
为方向上的单位向量，
则的方向为的平分线的方向．
又，
所以的方向与的方向相同．
而，
所以点P在上移动，
所以点P的轨迹一定通过的内心．
8．D
【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：
，
又因为，所以，
所以.
故选：D.
9．AD
【详解】由向量加法的平行四边形法则可知，故A正确；
，故B不正确；
，故C不正确；
，故D正确．
故选AD
10．BD
【详解】对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：BD
11．ABD
【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD
12．AC
【详解】如图，结合题意绘出图像：
因为是边的高，，
所以，即，
，，
因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
所以易知是顶角为的等腰三角形，
因为，所以，，，
故选：AC.
13．
【详解】
14．-2-3
【详解】46.
故答案为.
15．1
【详解】如图，设AC中点为M，BC中点为N.
因为，所以，即，所以O为中位线MN的中点，
所以.
故答案为：1
16．##
【详解】在中，设，，
则，所以，
所以.
故答案为：
17．，
【解析】根据向量的加减运算法则，，分别代换即可.
【详解】解：
18．
【详解】如图，连接DE， EF， FD,
因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，得①,
同理②，③，将①②③式相加，
.
19．
【详解】（1）令，若将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，如下图：
向量在旋转后对应位置为，
所以，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故.
（2）设，将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，
同理，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故.