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第十八章 平行四边形
18.1.2平行四边形的判定 第1课时
一、温故知新（导）
通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握平行四边形的判定定理1，2，3；
2、会熟练运用平行四边形的三种判定定理进行有关证明和计算.
学习重难点
重点：平行四边形判定定理的证明；
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.
二、自我挑战（思）
1、平行四边形的定义知： 的四边形是平行四边形，平行四边形的定义既可以作为平行四边形的性质又可以作为它的一个判定.
如图18.1-10：用几何语言表示为：
∵AB CD，AD BC，
∴四边形ＡBCD是平行四边形.
2、尝试写出平行四边形性质的逆命题,请你猜想逆命题是否是真命题.
①
②
③
猜想： .
3、请你运用以前所学习的知识点证明出你的猜想.(可以选择其中的两个命题进行规范证明，再口头证明另外一个命题）
（1）求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（要求：结合图形写出已知，求证，证明）
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
定理的几何语言表示：
∵
∴
（2）求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中， .
求证：四边形ABCD是平行四边形.
定理的几何语言表示：
∵
∴ .
（3）求证：两天对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中， .
求证：四边形ABCD是平行四边形.
定理的几何语言表示：
∵
∴ .
4、总结归纳平行四边形的判定定理.
（1）
（2）
（3）
三、互动质疑（议、展）
1、由上面我们知道，平行四边形的判定定理与 互为逆定理.
1、实例：
例3 如图18.1-11， ABCD的对角线AC，BD相较于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.
2、例题中运用到了哪些知识点：
3、你还有其他证明方法吗？
方法一：
方法二：
方法三：
4、根据已知条件，你认为运用平行四边形的哪一个判定定理证明较简便？
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、∠A：∠B：∠C：∠D的比值中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：3：3：1
C．2：2：3：3 D．2：3：2：3
2、如图，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB=AD，CB=CD B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠B+∠C=180° D．AB=CD，AD=BC
3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是（ ）
A．AC=BD B．OA=OB C．OA=AD D．OB=OD
4、若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB=OD，AC=24cm,则当OA= cm时，四边形ABCD是平行四边形．
5、如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD=BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
6、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OA=OC，∠BAC=∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形．
六、用
（一）必做题
1、一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、如图，已知 ABCD，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形DEBF为平行四边形．以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF为平行四边形；
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC；
③连接BD，交AC于点O；
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②①
C．③②④① D．④③②①
3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=CD，AD=BC，则图中的全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4、如图，在 ABCD中，点K为AD中点，连接BK交CD的延长线于点E，连接AE、BD．求证：四边形ABDE为平行四边形．
（二）选做题
5、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．
求证：△BDE≌△CDF；
请连接BF，CE，试判断BF，CE有什么关系，并说明理由；
6、如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=3，AD=4，求AC的长．
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第十八章 平行四边形
18.1.2平行四边形的判定 第1课时
一、温故知新（导）
通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握平行四边形的判定定理1,2,3；
2、会熟练运用平行四边形的三种判定定理进行有关证明和计算.
学习重难点
重点：平行四边形判定定理的证明；
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.
二、自我挑战（思）
1、平行四边形的定义知：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义既可以作为平行四边形的性质又可以作为它的一个判定.
如图18.1-10：用几何语言表示为：
∵AB ∥ CD，AD ∥ BC，
∴四边形ＡBCD是平行四边形.
2、尝试写出平行四边形性质的逆命题,请你猜想逆命题是否是真命题.
① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
② 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③ 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
猜想： 它们的逆命题是真命题 .
3、请你运用以前所学习的知识点证明出你的猜想.(可以选择其中的两个命题进行规范证明，再口头证明另外一个命题）
（1）求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（要求：结合图形写出已知，求证，证明）
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接BD.
∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB
∴ △ABD≌△CDB (SSS)
∴ ∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD
∴ AB∥CD，AD∥CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理的几何语言表示：
∵ AB=CD，AD=CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形
（2）求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°
又 ∠A=∠C，∠B=∠D
∴ ∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°
∴ AB∥CD，AD∥CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
定理的几何语言表示：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
（3）求证：两天对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵ OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB
∴ △AOD≌△COB (SAS)
∴ ∠OAD=∠OCB
∴ AD∥BC
同理 AB∥DC
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
定理的几何语言表示：
∵ OA=OC，OB=OD；
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
4、总结归纳平行四边形的判定定理.
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
三、互动质疑（议、展）
1、由上面我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.
1、实例：
例3 如图18.1-11， ABCD的对角线AC，BD相较于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.
例3 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵AE=CF，
∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
2、例题中运用到了哪些知识点：
平行四边形的性质和平行四边形的判定.
3、你还有其他证明方法吗？
方法一：分别证明△ADE≌△CBF，△ABE≌△CDF，得DE=BF，BE=DF，也能证明四边形DEBF是平行四边形；
方法二：也可以证明∠BEF=∠DFE，∠DEF=∠BFE，得BE∥DF，DE∥BF，利用平行四边形定义证明四边形BEDF是平行四边形.
方法三：同样也可以通过三角形全等，推出两组对角相等，进而得出四边形BEDF是平行四边形.
4、根据已知条件，你认为运用平行四边形的哪一个判定定理证明较简便？
用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这个判定定理证明简便 .
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、∠A：∠B：∠C：∠D的比值中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：3：3：1
C．2：2：3：3 D．2：3：2：3
1、解：∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴只有D符合条件．
故选：D．
2、如图，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB=AD，CB=CD B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠B+∠C=180° D．AB=CD，AD=BC
2、解：能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是AB=CD，AD=BC，理由如下：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
故选：D．
3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是（ ）
A．AC=BD B．OA=OB C．OA=AD D．OB=OD
3、解：添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，添加的条件是OB=OD，理由如下：
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：D
4、若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB=OD，AC=24cm,则当OA= cm时，四边形ABCD是平行四边形．
4、解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm），
∴OC=OA，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：12．
5、如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD=BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
5、证明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；
（2）∵△ACD≌△CAB，
∴AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
6、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OA=OC，∠BAC=∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形．
6、证明：在△AOB与△COD中，，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
六、用
（一）必做题
1、一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1、解：∵一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，
∴度数为88°的两个内角是一组相等的对角，度数为92°的两个内角是另一组相等的对角，
∴这个四边形是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．
故选：B．
2、如图，已知 ABCD，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形DEBF为平行四边形．以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF为平行四边形；
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC；
③连接BD，交AC于点O；
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②①
C．③②④① D．④③②①
2、解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∵BO=DO，
∴四边形DEBF为平行四边形．
故选：C．
3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=CD，AD=BC，则图中的全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3、解：共4对，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，
理由是：在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB，
同理△ACD≌△CAB，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD，
同理△AOD≌△COB，
故选：D．
4、如图，在 ABCD中，点K为AD中点，连接BK交CD的延长线于点E，连接AE、BD．求证：四边形ABDE为平行四边形．
4、证明：∵点K为AD中点，
∴AK=KD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABK=∠DEK，∠BAK=∠EDK，
在△ABK与△DEK中，，
∴△ABK≌△DEK（AAS），
∴BK=EK，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（二）选做题
5、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．
求证：△BDE≌△CDF；
请连接BF，CE，试判断BF，CE有什么关系，并说明理由；
5、解：（1）证明：∵CF∥BE，
∴∠EBD=∠FCD，
∵ D是BC边的中点，
∴BD=CD，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA）．
（2）BF∥CE，BF=CE，理由如下：
如图所示，
由（1）△BDE≌△CDF，
∴ED=FD,
又∵BD=CD,
∴四边形BECF是平行四边形，
∴BF∥CE，BF=CE.
6、如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=3，AD=4，求AC的长．
6、（1）证明：∵∠ADE=∠BAD，
∴AB∥ED，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∵BD垂直平分AC，
∴∠BFA=90°，
∴∠EAC=∠BFA，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADB，
∵∠ADE=∠BAD，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BA=BD，
∵AB=3，
∴BD=3
过B作BH⊥AD，
∴AH＝HD＝AD＝2，
∴BH＝＝，
∵BD垂直平分AC，则AF=FC，
∵S△ABD＝DA BH＝DB AF，
∴AF＝＝，
∴AC＝．
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