北京一零一中教育集团 2022-2023学年度第二学期初三练习
数 学
一、选择题共 8小题，共 16分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人
类非物质文化遗产代表作名录. 以下剪纸中,为中心对称图形的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2. 已知某反比例函数的图象经过点 (2, 4),那么这个反比例函数的解析式是 ( )
(A) y = 2x (B) y =
2
x (C) y =
8
x (D) y =
8
x
3. 已知关于 x的一元二次方程 (m 1)x2 + x + 1 = 0的一个根是 1,则 m的值是 ( )
(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D)无法确定
4. 将抛物线 y = 12 x
2 的图象向下平移 3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为 ( )
(A) y = 1 x2 3 (B) y = 1 x22 2 + 3 (C) y =
1 2
2 x 3 (D) y =
1 2
2 x + 3
5. 第 24届冬奥会于 2022年在北京和张家口举行. 冬奥会的项目有滑雪 (如跳台滑雪、高山
滑雪、单板滑雪等)、滑冰 (如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等)、冰球、冰壶等. 如图,
有 5张形状、大小、质地均相同的卡片,正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单
板滑雪、冰壶五种不同的项目图案,背面完全相同.现将这 5张卡片洗匀后正面向下放在
桌子上,从中随机抽取一张,抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是 ( )
(A) 1 2 1 35 (B) 5 (C) 2 (D) 5
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6. 如图, △ABO∽△CDO,若 BO = 6, DO = 3, CD = 2,则 AB
的长是 ( )
(A) 2 (B) 3 ∣ (C) 4 (D) 5
7. 在 △ABC 中, 若 ∠A, ∠B 均为锐角, 且 ∣∣ √sin A 3 ∣∣∣2 + (1 tan B)2 = 0, 则 ∠C 的度数
是 ( )
(A) 45 (B) 60 (C) 75 (D) 105
8. 如图, AB 是 ⊙O 的一条弦, 点 C 是 ⊙O 上一动点, 且
∠ACB = 30 ,点 E, F 分别是 AC, BC 的中点,直线 EF 与
⊙O交于 G, H两点,若 ⊙O的半径是 8,则 GE + FH 的最
大值是 ( )
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
二、填空题共 8小题，共 16分。
9. 如图, 一个几何体由 5个大小相同、棱长为 1的小正方
体搭成,这个几何体的主视图的面积为＿＿＿＿＿ .
10. 若点 A(1, y1), B(2, y2)在双曲线 y = 3x 上,则 y1, y2 中较小的是＿＿＿＿＿ .
11. 若二次函数 y = ax2+bx 3 (a , 0)的图象经过点 (1, 4),则代数式 a+b的值为＿＿＿＿＿ .
12. 若关于 x 的方程 x2 + 2x + 2k 4 = 0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围
是＿＿＿＿＿ .
13. 如图, AB是 ⊙O的直径, BC = CD = DE, ∠AOE = 78 ,则
∠COB的度数是＿＿＿＿＿ .
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14. 如图 (示意图) 所示, 某校数学兴趣小组利用标杆
BE 测量建筑物的高度, 已知标杆 BE 的高为 1.5 m,
测得 AB = 1.2 m, BC = 12.8 m, 则建筑物 CD 的高
为＿＿＿＿＿ m.
15. 如图, 将 ∠AOB 放置在 5 × 5 的正方形网格中, 则
tan∠AOB的值是＿＿＿＿＿ .
16. 在正方形 ABCD中,点 M, N 为边 BC 和 CD上的动点 (不含端点), ∠MAN = 45 . 给出下
列五个结论:
① ∠AMN + ∠MNC = 90 ;
√
②当 MN = 2MC时,则 ∠BAM = 22.5 ;
③ DN2 + NC2 = MN2;
④若 DN = 2, BM = 3,则 △ABM的面积为 9.
其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿ .
三、解答题共 12小题，第 17-21，23，25题，每题 5分；第 22，24，26题，每题 6分；第
27题 7分，第 28题 8分，共 68分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. 解方程: x2 + 4x + 2 = 0.
( ) 1 √
18. 计算: 1 + (sin 60 1)02 2 cos 30
+ | 3 1|.
19. 如图,在 □ABCD中,点 E在边 BC上,点 F在边 AD的延
长线上,且 DF = BE, EF 与 CD相交于点 G.
(1)求证: △DFG∽△CEG;
(2)若 DG 2CG = 3 , BE = 4,求 CE的长.
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20. 下面是小明设计的 “过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知: 如图 1,直线 l及直线 l外一点 P.
求作:直线 PQ,使 PQ ∥ l.
作法: 如图 2,
①在直线 l上取一点 O,以点 O为圆心, OP长为半径画半圆,交直线 l于 A, B两点;
②连接 PA,以 B为圆心, AP长为半径画弧,交半圆于点 Q;
③作直线 PQ.
所以直线 PQ就是所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,在图 2中补全图形; (保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明: 连接 PB, QB,
因为 PA = QB,
所以 PA = QB ( ① ) (填写推理依据).
所以 ∠PBA = ∠QPB ( ② ) (填写推理依据).
所以 PQ ∥ l ( ③ ) (填写推理依据).
21. 如图,在 △ABC中, AB = 6, ∠B = 30 , tan C = 3, AD ⊥ BC
于点 D,求 AD和 AC的长.
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22. 已知一次函数 y1 = 2x + m 的图象与反比例函数
y k2 = x (k > 0)的图象交于 A, B两点,点 A的坐标
为 (2, 1).
(1)求 m, k的值;
(2)求 B点坐标;
(3)当 x > 2时,结合图象比较 y1 与 y2 的大小.
23. 已知关于 x的方程 mx2 + (3 m)x 3 = 0 (m为实数, m , 0).
(1)求证: 此方程总有两个实数根;
(2)如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数 m的值.
24. 如图, AB是 ⊙O的直径,射线 BC交 ⊙O于点 D, E是劣弧
AD上一点,且 AE = DE,过点 E 作 EF ⊥ BC 于点 F,延
长 FE和 BA的延长线交于点 G.
(1)证明: GF 是 ⊙O的切线;
(2)若 AG = 2, GE = 4,求 BF 的长.
25. 如图,在一次学校组织的社会实践活动中,小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪,喷枪喷
出的水流轨迹是抛物线,他发现这种喷枪射程是可调节的,且喷射的水流越高射程越远,
于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表,水流的最高点与喷枪的水平
距离记为 x,水流的最高点到地面的距离记为 y.
y与 x的几组对应值如下表:
x (单位: m) 0 1 3 52 1 2 2 2 3 4 · · ·
y (单位: m) 1 9 5 11 3 13 78 4 8 2 8 4 2 · · ·
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(1)该喷枪的出水口到地面的距离为＿＿＿＿＿ m;
(2)在平面直角坐标系 xOy中,描出表中各组数值所对应的点,并画出 y与 x的函数图象;
(3)结合 (2)中的图象,估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为 6 m时,水流的最高点
到地面的距离为＿＿＿＿＿ m (精确到 0.1 m). 根据估算结果,计算此时水流的射程约
为＿＿＿＿＿ m (精确到 1 m).
26. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 y = ax2 2ax + a + 1.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)已知点 A( 1, 3), B(4, 3),若抛物线与线段 AB恰有一个公共点,求 a的取值范围;
(3)点 P(x1, y1)在抛物线 y = ax2 2ax + a + 1上,点 Q(x2, y2)在一次函数 y = x + a + 1的
图象上,若对于任意 x 11 > a ,总存在 x2 > 0,使得 y1 > y2,直接写出 a的取值范围.
27. 在 △ABC 中, ∠ACB = 90 , AC = BC = 2, 将线段 CB绕点 C 顺时针旋转 α 角得到线段
CD,连接 BD,过点 C作 CE ⊥ BD于点 E,连接 AD交 CB, CE于点 F, G.
(1)当 α = 60 时,如图 1,依题意补全图形,直接写出 ∠AGC的大小;
(2)当 α , 60 时,如图 2,试判断线段 AG与 CE之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若 F 为 BC的中点,直接写出 BD的长.
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28. 对于平面直角坐标系 xOy中的点 P和图形 G上任意一点 M,给出如下定义:图形 G关于
原点 O的中心对称图形为 G′,点 M 在 G′ 上的对应点为 M′,若 ∠MPM′ = 90 ,则称点 P
为图形 G, G′的 “直角点”,记作 Rt(G, P,G′),如图 1.
(1)已知点 A( 2, 0),线段 OA为图形 G,
①如图 2,在点 P1(0, 2), P2(0, 3), P3(1, 1)这三个点中, Rt(G, P,G′)是＿＿＿＿＿ ;
②在直线 y = x + b上存在点 P,满足 Rt(G, P,G′),则 b的取值范围是＿＿＿＿＿ ;
(2)已知点 C(1, 1), D(2, 1), E(2, 2), F(1, 2),四边形 CDEF 为图形 G,
①在直线 y = kx + 6上存在点 P,满足 Rt(G, P,G′),求 k的取值范围;
√
② ⊙T 的半径为 12 ,圆心坐标为 (t, 3t),若 ⊙T 上所有点都是图形 G, G
′ 的 “直角点”,直
接写出圆心 T 的横坐标的取值范围.
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班级：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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班级：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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数 学 参 考 答 案 2023.03
8 16 ∵DF=BE=4, ∴ = , ------4 分一、选择题：本大题共 小题，共 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 ∴CE=6. ------5 分
答案 C D B A B C C B 20. （1）
二、填空题：本大题共 8小题，共 16分.
9. 4 10. y1 11. 7 12.
13. 34 14. 17.5 15. 16. ②④ ------2 分
（说明：①直线 PQ画成线段扣 1分；
②点 Q处没有弧线扣 1分；
三、解答题：本大题共 12小题，第 17-21，23，25题，每题 5分；第 22，24，26题，每题 6 ③如果①和②都有问题，合起来只扣 1分）
分；第 27题 7分，第 28题 8分，共 68分. （2） ① 在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣狐相等------3 分
② 同弧或等弧所对的圆周角相等 ------4 分
17.解： ------1 分
------2 3 内错角相等，两直线平行 ------5 分分
------3 分
21.解：在 中, AB=6，sinB= ------2分
------5 分
18.原式=2+1-2× + -1 ------4 在 中, ------4 分分
------5分
=3- + -1
=2. ------5 分
k
19. (1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形, 22.解：（1）把点 A的坐标为（2，1）分别代入 y1 2x m和 y2 k 0 中，得x
∴AD∥BC, ------1分
k
∴△DFG∽△CEG, ------2 分 1 2 2 m，1 ，∴ m 3， k 2 ------2分2
第 1页 共 6页 第 2页 共 6页
班级：_______________ 学号：__________ 姓名：_______________
／／／／／○／／／／／○／／／／／○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○／／／／／○／／／／／○／／／／／
密 封 线 内 不 要 答 题
∴ 是 的切线； ------3 分
（2）由 得 , ------3分
解：设 ，
解得 ------4 分 在 中，∵ ， ，
∴由 可得 ， ------4 分
∴B点坐标为（ ） ------5 分
解得： ，
（3）当 ； ------6分
即 ，
23.（1）证明：∵ m≠0，
由（1）知 OE//BF，∴△GEO △GBF， ------5 分
∴ 方程 mx2 (3 m)x 3 0 为一元二次方程.
∴ , 即 ，∴ ------6 分
依题意，得 (3 m)2 12m (m+3)2 ------1 分
2
∵ 无论 m取何实数，总有 (m+3) ≥0， 25.（22年昌平二模，数据有改动）
∴ 此方程总有两个实数根. ------ 2分 解：（1）1 ； ------1 分
(3 m) (m 3)
（2）解：由求根公式，得 x ， （2）
2m
∴ x1 1
3
， x2 （m≠0）. ------4分m
∵ 此方程的两个实数根都为正整数，
∴ 整数 m的值为 1或 3． ------5分
证明：如图，连接 ，
∵ ,∴ ， ------1 分
∵ ，∴ ， ------3分
∴ ， ------2 分 （3）2.5；14. ------5 分
∵ ，∴ ， 26. 解：（1）∵ y a x 1 2 1
又∵OE是 的半径， ∴抛物线的顶点坐标是 1,1 ------1 分
（2）由已知得，a>0
第 3页 共 6页 第 4页 共 6页
班级：_______________ 学号：__________ 姓名：_______________
／／／／／○／／／／／○／／／／／○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○／／／／／○／／／／／○／／／／／
密 封 线 内 不 要 答 题
1 ∵AH⊥CE，CE⊥BD
当抛物线经过点 A时，3 a 2a a 1， a ------2 分
2 ∴ AHC CEB 900 ， ACH HAC 900
当抛物线经过点 B时，3 16a 8a a 1 a 2 又∵ ACB 90 ， ------3 分
9 ∴ ACH BCE 900
2 a 1 ∴ HAC BCE∴ ≤ ------4分
9 2 ∴ △ACH ≌ △CBE．
3 ∴ AH= CE ------4 分（ ）∵对于任意 x1，总存在 x2，使得 y1≥y2
在 Rt△AHG中
∴a>0 ∵ AHC 900 , AGC 450
∵ x≥0 ∴ AG 2AH 2CE ------5 分2
法二：连接 BG,如图 2
∴y2≥a+1 易证△ABG∽△CBE,
1 1
若 0< ≤1，则对于 x1≥ ，有 1≥a+1，解得 a≤0，这与 a>0矛盾，舍去；
AB AG
a a 2BC CE
1 1 1 2
>1
1 1
若 ，则对于 x≥ ，有 a 2a a 1≥a 1，解得 a≤ ， ∴ AG 2CE 图 2
a 1 a a a 2
2 10
1 （3）BD= ------7 分
∴0
2
28. （1）① P1，P3. ------2 分
27. （1）补全图形：
② ------4分
（2）① ------6 分
------1 分
AGC 450 ------2 分
② ------8 分
（2） AG 2CE
法一：证：如图 1过点 A作 AH⊥CE交 EC延长线于点 H
∵BC=CD，CE⊥BD点 E，
ECD = 1∴∠ BCD
2 2
∵AC=BC， BC=CD
∴AC=CD
又∵ ACD ABC BCD 90
1800 (900 )
∴ ADC 450 图 1
2 2
∴ AGC ADC ECD 450 ------3 分
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班级：_______________ 学号：__________ 姓名：_______________
／／／／／○／／／／／○／／／／／○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○／／／／／○／／／／／○／／／／／
密 封 线 内 不 要 答 题