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山西省忻州市2023届高三下学期数学百日冲刺试卷
一、单选题
1．（2023·忻州模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·忻州模拟）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
3．（2023·忻州模拟）已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2023·忻州模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是矩形，，分别是棱 的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·忻州模拟）已知直线：与圆C：，则“”是“直线l与圆C一定相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·忻州模拟）溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（ ）（取，）
A．摩尔/升 B．摩尔/升
C．摩尔/升 D．摩尔/升
7．（2023·忻州模拟）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．120种 B．240种 C．420种 D．720种
8．（2023·忻州模拟）若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·忻州模拟）下列关于非零复数，的结论正确的是（ ）
A．若，互为共轭复数，则
B．若，则，互为共轭复数
C．若，互为共轭复数，则
D．若，则，互为共轭复数
10．（2023·忻州模拟）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·忻州模拟）若的三个内角均小于，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内任意一个向量，向量，满足，且，则的取值可以是（ ）
A．9 B． C． D．6
12．（2023·忻州模拟）已知，分别是定义在R上的函数，的导函数，，，且是奇函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C． D．
三、填空题
13．（2023·忻州模拟）某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是 ．
14．（2023·忻州模拟）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ．
15．（2023·忻州模拟）一个正方体的体积为m立方米，表面积为n平方米，则的最小值是 ，此时，该正方体内切球的体积是 立方米．
16．（2023·忻州模拟）已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是 ．
四、解答题
17．（2023·忻州模拟）设等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前100项和．
18．（2023·忻州模拟）某校为了解高三年级学生的学习情况，进行了一次高考模拟测试，从参加测试的高三学生中随机抽取200名学生的成绩进行分析，得到如下列联表：
本科分数线以下 本科分数线以上（包含本科分数线） 合计
男 40 80 120
女 32 48 80
合计 72 128 200
将频率视为概率．
（1）从该校高三男、女学生中各随机抽取1名，求这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率；
（2）从该校所有高三学生中随机抽取3名，记被抽取到的3名高三学生本次高考模拟成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（2023·忻州模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积是，求AD的最小值．
20．（2023·忻州模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，平面ADE⊥平面ABCD，，．
（1）证明：BD⊥平面ACE．
（2）若平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值为，求BF的长．
21．（2023·忻州模拟）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
22．（2023·忻州模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意可得，
由函数值域可得，
所以．
故答案为：C
【分析】求出集合A、B，然后进行交集的运算即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】两点间的距离公式
【解析】【解答】将 代入抛物线方程得，解得，则，故 ；
故答案为：A.
【分析】根据点在抛物线C上，求出p，得，再根据两点间的距离公式可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为12.
故答案为：D
【分析】利用配凑法结合基本不等式，可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，取棱的中点H，连接，则，
则是异面直线与所成的角（或补角）．
又因为，故，
平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故，
由四边形是矩形，，则，
平面，故平面，
平面，故，
设，则EH＝2，．
在 中，则，故，
即异面直线与所成角范围为，故所求角的余弦值是，
故答案为：B
【分析】 取棱的中点H，连接，判断是异面直线与所成的角（或补角），证明平面，得出EH⊥HF，再计算cos∠HEF的值，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；恒过定点的直线
【解析】【解答】对于直线l： ，变形和可得： ，
令 解得 ，即直线l过定点 ，
圆C的标准方程为： ，若A在圆内或圆周上，则 ，
所以如果 ，则l与C必定相交，如果l与C相交，不一定能得到 也可能是 ，
所以“ ”是“直线l与圆C一定相交”的充分不必要条件；
故答案为：A.
【分析】 先求出过直线 的定点，再通过判断该定点是否在圆内，即可求解出m，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案.
6．【答案】A
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，
从而，
即该溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．
故答案为：A
【分析】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，可得，代入即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】如图，
先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，
若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，
不同的布置方案有种；
故答案为：C.
【分析】根据题意，给各个区域标记序号，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，分D与B种植同一种花卉， D与B种植不同花卉，最后相加即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】因为，所以．令，得．当时，，解得；当时，，解得．
综上，的取值范围是．
故答案为：D
【分析】根据已知条件，推得，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解出的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】复数求模
【解析】【解答】设，由，互为共轭复数，得，则，A符合题意．
当，时，，此时，，不是共轭复数，则B不符合题意．
由，互为共轭复数，得，从而，即，则C符合题意．
当，时，，即，此时，，不是共轭复数，则D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】 根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，复数模公式，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，所以，所以．
设，则在上单调递增．
因为，所以，则A符合题意．
因为，，且，所以，所以，则B符合题意，
因为，取，则，所以C不正确.
因为，所以，所以，即，则D符合题意．
故答案为：ABD.
【分析】由，得，设，分析f (x)的单调性，即可判断A；由不等式的性质，即可判断B；取，，即可判断C；由x>y，得，由指数函数的性质，即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】向量的几何表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】设，，，，此即点到，，三个点的距离之和．△ABC是等腰锐角三角形，由费马点的性质可知当点M满足时，点M到△ABC三个顶点的距离之和最小，因为，，，所以，的最小值是．
故答案为：AB
【分析】设，，，，即点到，，三个点的距离之和，即点到，，三个点的距离之和，由费马点的性质可知当点时，取最小值，即可求出答案.
12．【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】因为，所以（a为常数），
所以．因为，
所以．
令，得，解得，
所以，则的图象关于直线对称，正确．
因为，且，所以．所以，即是偶函数．因为是奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为是偶函数，所以的图象关于点对称，则选项正确．
因为是奇函数，所以，所以，
所以，则是周期为4的函数．
因为，所以，所以，，则．因为是奇函数，
所以，所以，
则选项正确．
因为，所以，所以，，，
，所以，所以，
则选项错误．
故答案为：ABC.
【分析】根据题意可得以，由此可判断选项A；分析可知f (x)为偶函数，且关于点(1， 0)对称，由此可判断选项B；分析可知f (x)的周期为4，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，由此可判断选项C；由，可判断D.
13．【答案】22
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题意可得这组数据的平均数是
故答案为：22.
【分析】由题意利用平均数的定义即可求解出答案.
14．【答案】6
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】在等比数列中，，，
所以公比，
所以，解得，故，
易得单调递减，且，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以当取得最大值时，．
故答案为：6
【分析】 求出数列的等比与首项，可得等比数列的通项公式结合数列的函数性，化简，然后求解出最值，可得n的值.
15．【答案】-32；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；球的体积和表面积
【解析】【解答】设该正方体的棱长为x，则，，故．
设，则．
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
即的最小值是．此时该正方体的棱长是4，则其内切球的半径，
从而该正方体内切球的体积为．
故答案为：-32；
【分析】设该正方体的棱长为x，则，，故，设， ，对f(x)求导，求出f (x)的单调性，即可求出的最小值；由题意可知内切球的半径r=2，由球的体积公式即可得出该正方体内切球的体积.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，则，．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知，则，即，整理得，从而，解得
．因为，所以．
故答案为：.
【分析】 由已知可得，，由双曲线的对称性可知，进而可得，计算可求出双曲线C的离心率 .
17．【答案】（1）解：由题意可得，
解得，．
故
（2）解：由（1）及等差数列前n项和公式可得，
则．
故数列的前100项和
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(1)先设等差数列 的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列 的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出等差数列前n项和Sn的表达式，进一步计算出数列 的通项公式，再运用分组求和法及等差数列的求和公式即可计算出数列 的前100项和.
18．【答案】（1）解：由题意可知本次高考模拟测试中，该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是，
高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是，
则所求概率
（2）解：由题意可知从该校所有高三学生中随机抽取1名学生，抽到男生成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的概率是．
所以所有可能取值为，，，．
所以，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
故
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是 ，高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是 ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率；
(2)X所有可能取值为0，1，2，3 ，分别求出相应的概率，能求出X的分布列和数学期望.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
解得．
因为，所以
（2）解：因为△ABC的面积是，
所以，解得．
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即当时，AD取得最小值．
【知识点】基本不等式；向量的线性运算性质及几何意义；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合二倍角公式，以及三角函数的诱导公式，求出 或cosA=1，再结合角A的取值范围，即可求解出角A的大小；
(2)根据已知条件，先求出bc，再结合向量的线性运算，以及基本不等式的公式，即可求解出AD的最小值．
20．【答案】（1）证明：因为，所以，所以．
因为平面ADE⊥平面ABCD，且平面平面，面ADE，
所以AE⊥平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为四边形ABCD是菱形，所以．
因为AE，平面ACE，且，所以BD⊥平面ACE．
（2）解：记，以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，，，，，
故，，，．
设平面ABFE的法向量为，
则，令，得．
设平面CEF的法向量为，
则，令，得．
设平面CEF与平面ABFE的夹角为θ，
则，
解得，即当平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值是时，BF的长为3．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意，由面面垂直的性质定理可得AE⊥平面ABCD，然后再由线面平行的判定定理即可证明出 BD⊥平面ACE；
(2)由题意， 记，以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后由空间向量的坐标运算，代入计算即可求出 BF的长．
21．【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
故椭圆C的标准方程为
（2）解：设直线l的方程为，，，
联立，
整理得，
则，即，
解得，，．
故△OPQ的面积．
设，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，即△OPQ面积的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意可得 ，求解出a2，b2，可得 椭圆C的标准方程；
（2） 设直线l的方程为，，， 与椭圆方程联立可得 ， 进而可得 ，可求出 △OPQ面积的最大值 .
22．【答案】（1）解：由题意可得．
当时，由，得，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，，则．
由，得或，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，在R上恒成立，则在R上单调递增．
当时，，则．
由，得或，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：由（1）可知当时，在上单调递减，在上单调递增．
要使有两个零点，需至少满足，即．
当时，，
，
则在与上各有一个零点，即符合题意．
当时，只有一个零点，则不符合题意．
当时，由，当时，，，
则在上恒成立．
由（1）可知在上单调递增或先递减后递增，则不可能有两个零点，即不符合题意．
综上，a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】(1)求导可得 ，分四种情况：当a≥0时，当-2
(2)由(1)可知f (x)的单调性，则至少满足f(0)=a-1<0，即a<1，分三种情况：当0二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
山西省忻州市2023届高三下学期数学百日冲刺试卷
一、单选题
1．（2023·忻州模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意可得，
由函数值域可得，
所以．
故答案为：C
【分析】求出集合A、B，然后进行交集的运算即可得答案.
2．（2023·忻州模拟）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】两点间的距离公式
【解析】【解答】将 代入抛物线方程得，解得，则，故 ；
故答案为：A.
【分析】根据点在抛物线C上，求出p，得，再根据两点间的距离公式可求出答案.
3．（2023·忻州模拟）已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为12.
故答案为：D
【分析】利用配凑法结合基本不等式，可求出答案.
4．（2023·忻州模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是矩形，，分别是棱 的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，取棱的中点H，连接，则，
则是异面直线与所成的角（或补角）．
又因为，故，
平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故，
由四边形是矩形，，则，
平面，故平面，
平面，故，
设，则EH＝2，．
在 中，则，故，
即异面直线与所成角范围为，故所求角的余弦值是，
故答案为：B
【分析】 取棱的中点H，连接，判断是异面直线与所成的角（或补角），证明平面，得出EH⊥HF，再计算cos∠HEF的值，可得答案.
5．（2023·忻州模拟）已知直线：与圆C：，则“”是“直线l与圆C一定相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；恒过定点的直线
【解析】【解答】对于直线l： ，变形和可得： ，
令 解得 ，即直线l过定点 ，
圆C的标准方程为： ，若A在圆内或圆周上，则 ，
所以如果 ，则l与C必定相交，如果l与C相交，不一定能得到 也可能是 ，
所以“ ”是“直线l与圆C一定相交”的充分不必要条件；
故答案为：A.
【分析】 先求出过直线 的定点，再通过判断该定点是否在圆内，即可求解出m，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案.
6．（2023·忻州模拟）溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（ ）（取，）
A．摩尔/升 B．摩尔/升
C．摩尔/升 D．摩尔/升
【答案】A
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，
从而，
即该溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．
故答案为：A
【分析】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，可得，代入即可求出答案.
7．（2023·忻州模拟）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．120种 B．240种 C．420种 D．720种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】如图，
先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，
若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，
不同的布置方案有种；
故答案为：C.
【分析】根据题意，给各个区域标记序号，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，分D与B种植同一种花卉， D与B种植不同花卉，最后相加即可得答案.
8．（2023·忻州模拟）若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】因为，所以．令，得．当时，，解得；当时，，解得．
综上，的取值范围是．
故答案为：D
【分析】根据已知条件，推得，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解出的取值范围.
二、多选题
9．（2023·忻州模拟）下列关于非零复数，的结论正确的是（ ）
A．若，互为共轭复数，则
B．若，则，互为共轭复数
C．若，互为共轭复数，则
D．若，则，互为共轭复数
【答案】A,C
【知识点】复数求模
【解析】【解答】设，由，互为共轭复数，得，则，A符合题意．
当，时，，此时，，不是共轭复数，则B不符合题意．
由，互为共轭复数，得，从而，即，则C符合题意．
当，时，，即，此时，，不是共轭复数，则D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】 根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，复数模公式，逐项进行判断，可得答案.
10．（2023·忻州模拟）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，所以，所以．
设，则在上单调递增．
因为，所以，则A符合题意．
因为，，且，所以，所以，则B符合题意，
因为，取，则，所以C不正确.
因为，所以，所以，即，则D符合题意．
故答案为：ABD.
【分析】由，得，设，分析f (x)的单调性，即可判断A；由不等式的性质，即可判断B；取，，即可判断C；由x>y，得，由指数函数的性质，即可判断D.
11．（2023·忻州模拟）若的三个内角均小于，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内任意一个向量，向量，满足，且，则的取值可以是（ ）
A．9 B． C． D．6
【答案】A,B
【知识点】向量的几何表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】设，，，，此即点到，，三个点的距离之和．△ABC是等腰锐角三角形，由费马点的性质可知当点M满足时，点M到△ABC三个顶点的距离之和最小，因为，，，所以，的最小值是．
故答案为：AB
【分析】设，，，，即点到，，三个点的距离之和，即点到，，三个点的距离之和，由费马点的性质可知当点时，取最小值，即可求出答案.
12．（2023·忻州模拟）已知，分别是定义在R上的函数，的导函数，，，且是奇函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】因为，所以（a为常数），
所以．因为，
所以．
令，得，解得，
所以，则的图象关于直线对称，正确．
因为，且，所以．所以，即是偶函数．因为是奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为是偶函数，所以的图象关于点对称，则选项正确．
因为是奇函数，所以，所以，
所以，则是周期为4的函数．
因为，所以，所以，，则．因为是奇函数，
所以，所以，
则选项正确．
因为，所以，所以，，，
，所以，所以，
则选项错误．
故答案为：ABC.
【分析】根据题意可得以，由此可判断选项A；分析可知f (x)为偶函数，且关于点(1， 0)对称，由此可判断选项B；分析可知f (x)的周期为4，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，由此可判断选项C；由，可判断D.
三、填空题
13．（2023·忻州模拟）某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是 ．
【答案】22
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题意可得这组数据的平均数是
故答案为：22.
【分析】由题意利用平均数的定义即可求解出答案.
14．（2023·忻州模拟）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ．
【答案】6
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】在等比数列中，，，
所以公比，
所以，解得，故，
易得单调递减，且，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以当取得最大值时，．
故答案为：6
【分析】 求出数列的等比与首项，可得等比数列的通项公式结合数列的函数性，化简，然后求解出最值，可得n的值.
15．（2023·忻州模拟）一个正方体的体积为m立方米，表面积为n平方米，则的最小值是 ，此时，该正方体内切球的体积是 立方米．
【答案】-32；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；球的体积和表面积
【解析】【解答】设该正方体的棱长为x，则，，故．
设，则．
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
即的最小值是．此时该正方体的棱长是4，则其内切球的半径，
从而该正方体内切球的体积为．
故答案为：-32；
【分析】设该正方体的棱长为x，则，，故，设， ，对f(x)求导，求出f (x)的单调性，即可求出的最小值；由题意可知内切球的半径r=2，由球的体积公式即可得出该正方体内切球的体积.
16．（2023·忻州模拟）已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，则，．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知，则，即，整理得，从而，解得
．因为，所以．
故答案为：.
【分析】 由已知可得，，由双曲线的对称性可知，进而可得，计算可求出双曲线C的离心率 .
四、解答题
17．（2023·忻州模拟）设等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前100项和．
【答案】（1）解：由题意可得，
解得，．
故
（2）解：由（1）及等差数列前n项和公式可得，
则．
故数列的前100项和
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】(1)先设等差数列 的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列 的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出等差数列前n项和Sn的表达式，进一步计算出数列 的通项公式，再运用分组求和法及等差数列的求和公式即可计算出数列 的前100项和.
18．（2023·忻州模拟）某校为了解高三年级学生的学习情况，进行了一次高考模拟测试，从参加测试的高三学生中随机抽取200名学生的成绩进行分析，得到如下列联表：
本科分数线以下 本科分数线以上（包含本科分数线） 合计
男 40 80 120
女 32 48 80
合计 72 128 200
将频率视为概率．
（1）从该校高三男、女学生中各随机抽取1名，求这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率；
（2）从该校所有高三学生中随机抽取3名，记被抽取到的3名高三学生本次高考模拟成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意可知本次高考模拟测试中，该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是，
高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是，
则所求概率
（2）解：由题意可知从该校所有高三学生中随机抽取1名学生，抽到男生成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的概率是．
所以所有可能取值为，，，．
所以，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
故
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是 ，高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是 ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率；
(2)X所有可能取值为0，1，2，3 ，分别求出相应的概率，能求出X的分布列和数学期望.
19．（2023·忻州模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积是，求AD的最小值．
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
解得．
因为，所以
（2）解：因为△ABC的面积是，
所以，解得．
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即当时，AD取得最小值．
【知识点】基本不等式；向量的线性运算性质及几何意义；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合二倍角公式，以及三角函数的诱导公式，求出 或cosA=1，再结合角A的取值范围，即可求解出角A的大小；
(2)根据已知条件，先求出bc，再结合向量的线性运算，以及基本不等式的公式，即可求解出AD的最小值．
20．（2023·忻州模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，平面ADE⊥平面ABCD，，．
（1）证明：BD⊥平面ACE．
（2）若平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值为，求BF的长．
【答案】（1）证明：因为，所以，所以．
因为平面ADE⊥平面ABCD，且平面平面，面ADE，
所以AE⊥平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为四边形ABCD是菱形，所以．
因为AE，平面ACE，且，所以BD⊥平面ACE．
（2）解：记，以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，，，，，
故，，，．
设平面ABFE的法向量为，
则，令，得．
设平面CEF的法向量为，
则，令，得．
设平面CEF与平面ABFE的夹角为θ，
则，
解得，即当平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值是时，BF的长为3．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意，由面面垂直的性质定理可得AE⊥平面ABCD，然后再由线面平行的判定定理即可证明出 BD⊥平面ACE；
(2)由题意， 记，以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后由空间向量的坐标运算，代入计算即可求出 BF的长．
21．（2023·忻州模拟）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
故椭圆C的标准方程为
（2）解：设直线l的方程为，，，
联立，
整理得，
则，即，
解得，，．
故△OPQ的面积．
设，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，即△OPQ面积的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意可得 ，求解出a2，b2，可得 椭圆C的标准方程；
（2） 设直线l的方程为，，， 与椭圆方程联立可得 ， 进而可得 ，可求出 △OPQ面积的最大值 .
22．（2023·忻州模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得．
当时，由，得，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，，则．
由，得或，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，在R上恒成立，则在R上单调递增．
当时，，则．
由，得或，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：由（1）可知当时，在上单调递减，在上单调递增．
要使有两个零点，需至少满足，即．
当时，，
，
则在与上各有一个零点，即符合题意．
当时，只有一个零点，则不符合题意．
当时，由，当时，，，
则在上恒成立．
由（1）可知在上单调递增或先递减后递增，则不可能有两个零点，即不符合题意．
综上，a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】(1)求导可得 ，分四种情况：当a≥0时，当-2(2)由(1)可知f (x)的单调性，则至少满足f(0)=a-1<0，即a<1，分三种情况：当0二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1