6-3 平面向量基本定理及坐标表示（5平面向量数量积的坐标表示）课时练习（含解析）

6-3 平面向量基本定理及坐标表示
5平面向量数量积的坐标表示 课时练习
一、单选题
1．在平行四边形中，，则（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
2．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
3．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，且，则（ ）
A．15 B． C．16 D．225
7．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，则
9．如果平面向量，，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．，的夹角为180°
D．向量在方向上的投影为
10．如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（ ）
①；
②过点作一条直线与边分别相交于点，若，，则；
③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是
A．个 B．个 C．个 D．个
11．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量，若，则__________．
14．已知平面向量，满足，，且，则________.
15．已知向量，，则在上的投影向量__________．
16．已知向量，．若，则x=________．
17．已知向量．若，则________．
三、解答题
18．已知，，．
（1）求与的夹角的大小;
（2）若，求k的值．
19．已知平面向量，，其中，．
(1)求与的夹角；
(2)若与共线，求实数的值．
20．平面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
21．已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．
22．已知向量为坐标原点．
（1）若，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，试用表示
23．已知向量，.
(1)求，；
(2)求与的夹角的余弦值.
答案解析：
1．A
【分析】根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】，，
，，
，
，
故选：A
2．A
【分析】由，得，将坐标代入化简计算可得答案
【详解】因为，，
所以.
因为，
所以，解得.
故选：A.
3．C
【分析】根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案
【详解】解：，因为，所以，
故选：C
4．A
【分析】根据向量垂直的坐标表示直接列关系计算即可.
【详解】因为，，，所以，解得.
故选：A.
5．A
【分析】由题意，求得，，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，，
可得，，
因为，所以，解得.
故选：A.
6．A
【分析】由，得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求得其模
【详解】因为，所以，解得，
所以，
则.
故选：A
7．B
【分析】先根据已知条件计算，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案.
【详解】解：根据题意得：，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题.
8．D
【分析】A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】A．，
时，，，
时，，成立，
时，，，
综上，A不恒成立；
B．是一个实数，无意义，B不成立；
C．若，，则，
，，
，
，
，C错误；
D．若，，则，，
，
，
所以，成立．
故选：D．
【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．
9．D
【分析】直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论．
【详解】解：因为，，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C正确；
对于D，在方向上的投影为：，，故D错误.
故选：D.
10．C
【分析】由，，，结合向量的运算判断①；由三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.
【详解】对于①：，，，故，故①正确；
对于②：，，因为三点共线，所以，即，解得，故②错误；
对于③：以点作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，，，设，因为，，所以，当时，，当时，，即的取值范围是，故③正确；
故选：C
11．C
【分析】根据垂直求出，即可得出所求.
【详解】因为，所以，解得，则．
故选：C.
12．D
【分析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
13．
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
14．
【解析】由可得，再结合已知条件计算可得，进而求出向量，进而求出模长即可.
【详解】，
即，
又，，
，，
，，
所以，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查已知平面向量垂直求参数，考查平面向量数量积的坐标计算，解题关键是由得到，进而通过坐标运算求出，从而得到向量，最后求出模长，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
15．
【分析】直接由投影向量的公式求解即可.
【详解】由题意知：在上的投影向量.
故答案为：.
16．．
【分析】根据数量积的坐标运算计算可得；
【详解】解：因为，
又因为得，解得，
故答案为：
17．.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）设与的夹角为，利用向量的夹角公式求解；
（2）求出，再利用平行向量的坐标表示求解.
【详解】（1）设与的夹角为，因为，
因为，
所以.
（2），
因为，即，解得.
19．(1);
(2).
【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量的夹角公式计算求解即可；
（2）由共线向量的坐标表示求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，，
，，
，
，.
（2），，
与共线，，
解得.
即实数的值为.
20．（1）；（2）16.
【解析】（1）由题知，再根据即可得；
（2）由题知，，进而根据得，结合（1）联立方程得或，再结合分类讨论即可得答案.
【详解】解：（1）由题意得，
因为，，
所以，即，
所以与之间的关系式为： ①
（2）由题意得，，
因为，
所以，即，②
由①②得或
当时，，，
则
当时，，，
则
所以，四边形的面积为16.
【点睛】本题解题的关键在于由得，故只需解决即可求解，考查向量的坐标运算，是中档题.
21．.
【分析】设，根据与垂直，与平行，列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】解：设，则，
因为与垂直，与平行，
所以，解得，
所以点的坐标为.
22．（1）；（2）．
【分析】（1）根据两向量的垂直关系列数量积等式，再运用数量积坐标运算规则求解即可；
（2）运用向量的线性运算的坐标表示即可求解出结果.
【详解】解：（1）因为向量，
所以向量，
又，即
解得；
（2）设
由知，
解得，
23．(1)，
(2)
【分析】（1）由数量积坐标表示计算数量积，由模的坐标表示计算模；
（2）由数量积的定义计算向量夹角的余弦值．
(1)
因为，，
所以.
(2)
设与的夹角为，则.