浙江省宁波市北仑区名校2022-2023学年高二下学期数学期初返校考试试卷

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浙江省宁波市北仑区名校2022-2023学年高二下学期数学期初返校考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（2023高二下·北仑开学考）若直线与直线垂直，则a的值为（　　）
A．-3 B．1 C．3 D．5
2．（2023高三上·汕头期末）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（　　）
A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
3．（2023高二下·北仑开学考）已知空间向量，，，若，则（　　）
A．2 B．-2 C．14 D．-14
4．（2022高二上·商洛期末）在平行六面体中，点在上，且，若，则（　　）
A． B．1 C． D．
5．（2023高二下·北仑开学考）若双曲线的左焦点关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右支上，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·北仑开学考）若函数存在极值，则实数的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．（0，1） C．（-∞，1] D．（-∞，1）
7．（2023高二下·北仑开学考）设，分别为双曲线：的左 右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
8．（2023高二下·北仑开学考）已知，，是函数（，）的零点，且，若，则当，变化时，的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022高三上·丹东月考）某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（　　）
A．周岁以上的参保人数最少
B．周岁人群参保的总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐
D．周岁及以上的参保人数占总参保人数的
10．（2022高二上·浙江期中）在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（　　）
A．若点在平面内，则必存在实数，使得
B．直线与所成角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．存在实数、使得
11．（2023高二下·北仑开学考）已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·浙江期中）已知a为常数，函数有两个极值点，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023高二下·北仑开学考）已知事件，相互独立，且，，则　 　.
14．（2023高二下·北仑开学考）已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点为上一点，若的面积为7，且内切圆的半径为，则的标准方程为　 　.
15．（2023高二下·北仑开学考）如图，在四棱台 中， ， ，则 的最小值为　 　.
16．（2023高二下·北仑开学考）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为　 　.
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（2023高二下·北仑开学考）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，经测量得到的数据位于[75，125]，频率分布直方图如图所示.
（1）补全频率分布直方图；
（2）若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2；
（3）当一件产品的质量指标值位于(80，122.5)时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率.
18．（2022高二上·杭州期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；②过点；③与直线平行．
问题：已知直线l过点，且____．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）已知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大．
19．（2023高二下·北仑开学考）已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
20．（2023高二下·北仑开学考）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点F在棱上，且P与E位于平面的两侧．
（1）证明：平面．
（2）若，且在上的投影向量为，求平面与平面夹角的余弦值．
21．（2023高二下·北仑开学考）已知等轴双曲线的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）设的面积分别为，求的取值范围.
22．（2023高二下·北仑开学考）已知函数
（1）若存在零点，求实数a的取值范围；
（2）若是的零点，求证：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两条直线垂直的判定；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为两条直线垂直，所以1×3+(-a)×1=0，解得a=3，
故选：C
【分析】根据两直线垂直列方程，化简求值即可.
2．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确，不符合题意；
将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，
将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，
从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误，符合题意；
甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，C正确，不符合题意.
故答案为：B
【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.
3．【答案】C
【知识点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
所以m-n=6-(-8)=14，
故选：C
【分析】利用空间向量平行的性质，列出方程组，解得m，n即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】如图，
，
所以，
所以，
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点为F1(-c，0) ，关于渐近线方程为的对称点为P(m，n) ，
所以 ，
所以对称点P，
因为对称点恰好落在双曲线的右支上，
所以 ，
所以 ，
化简解得：c2=5a2，b2=c2-a2=4a2 ，
所以b=2a ，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x .
故选：B
【分析】先设出双曲线的左焦点F1(-c，0)，关于渐近线方程为的对称点为P(m，n) ，根据关于渐近线对称，利用垂直平分，解得对称点的坐标，再根据对称点恰好落在双曲线的右支上，将坐标代入双曲线的方程求解.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数 的定义域为（0，+∞） ，且 .
由题意可知，函数y=f(x)在定义域（0，+∞）上存在极值点，
由f'(x)=0可得 ，令 ，则a=2t-t2 ，
则实数a的取值范围为函数y=2t-t2 在（0，+∞）上的值域且满足 ﹥0 ，
对于二次函数y=2t-t2=-(t-1)2+1 ，当t>0时，y=-(t-1)2+1≤1 ，
对于二次方程a=2t-t2 ，即t2-2t+a=0 ， =4-4a>0 ，解得a<1 .
因此，实数a的取值范围是（-∞，1） .
故选：D.
【分析】由题意可知，函数y=f(x)在定义域（0，+∞）上存在极值点，令f'(x)=0可得 ，换元 ，可得t2-2t+a=0 ，则实数a的取值范围为函数y=2t-t2在（0，+∞）上的值域且满足 ﹥0 ，由此可求得实数a的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意得，以线段为直径的圆的方程为x2+y2=c2 ，
双曲线C的一条渐近线的方程为，
由 以及a2+b2=c2 ，
解得或 ，
不妨取M(a，b) ， 则N(-a，-b)
因为A(-a，0)， ∠MAN=135°
所以∠MAO=45°，
又tan∠MAO=，
所以=1，
所以b=2a，
所以该双曲线的离心率 .
故选：D.
【分析】联立x2+y2=c2与求出M(a，b)，进而∠MAO的正切可求，得出b=2a，从而进一步解出答案.
8．【答案】A
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：由题知：f'(x)=3x2+2ax ，
易知f'(x)=3x2+2ax的两根为0和 ，
因为f(x)=0的三个零点 ，， 满足： ，
即函数 在极值点x=0右侧有两个零点，
所以，即a<0 ，且f(0)=b>0 ，
又
所以
所以解得 ，
所以3a+b=-6x2+
设g(x)=x3-6x，x>0，则g'(x)=3x2-6
时， g'(x)<0，
时， g'(x)>0，
则g(x)在上单调递减，在单调递增，
所以x>0 时， ，
所以(3a+b)min=-4 .
故选：A.
【分析】由 和函数f(x)的单调性可知a<0 ，b>0 ，再根据 可求得3a+b=-6x2+ ，构造函数g(x)=x3-6x，x>0，利用导数即可求得最小值.
9．【答案】A,C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由参保人数比例图可知，周岁以上参保人数最少，周岁以上的人群约占参保人群的，A符合题意，D不符合题意
由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故 C符合题意
由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，所以总费用不一定最少，B不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】根据统计图中的数据逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；点到直线的距离公式；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，A不符合题意；
对B：取的中点为，连接，如下所示：
在三角形中，分别为的中点，故可得//，
在三角形中，分别为的中点，故可得//，
则//，故直线所成的角即为或其补角；
在三角形中，，
，
由余弦定理可得：，
即直线与所成角的余弦值为，B符合题意；
对C：连接如下图所示：
在三角形中，，
，，
故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，
则.C符合题意；
对D：记的中点为，连接，如下所示：
由B选项所证，//，又面面，故//面；
易知//，又面面，故//面，
又面，故平面//面，
又面，故可得//面，
故存在实数、使得，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征和中点的性质，再利用平面向量基本定理、异面直线所成角的求解方法和余弦函数的定义、点到直线的距离公式，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】两点间距离公式的应用；双曲线的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
由 ，， 得O、P、A、B四点在以OP为直径的圆上，则|OP|≥|AB| ，故B正确；
由双曲线方程设 ， 则∠AOB=60° ，
由PM//l1，PN//l2， 则∠PNB=∠PMA=∠AOB=60°
则 ，
则 ，
则4S1=3S2 ，故C错误；
设P(x0，y0) ，满足 ，
则由点到直线距离知 ，同理有 ，
则 ，故A正确；
故 ，在三角形PMN中，由余弦定理知，
MN2=PM2+PN2-2PM·PNcos60°=PM2+PN2-2≥2PM·PN-2=2 ，
故|MN|≥ ，当且仅当PM=PN=时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【分析】根据，，则O、P、A、B四点在以OP为直径的圆上，从而有|OP|≥|AB| ；根据双曲线方程写出渐近线方程，求得倾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，从而求得面积关系；设P(x0，y0) ，由点到直线距离求得PA，PB，从而验证PA·PB的值；从而求得PM·PN的值，在三角形PMN中，由余弦定理表示出MN，从而求得范围.
12．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的基本性质
【解析】【解答】由题意得，且定义域为，令，则，因为两个极值点，即在有两根，
由此可知，且在单调递增，在单调递减，，因为在有两根，
所以，即，解得，
因为在有两根为，所以，
又，所以，
从的正负可知在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，所以，因为，
所以，所以A不符合题意，B符合题意；
因为，所以，
即，
根据对数平均不等式得，，，
根据同向同正可乘性得，因为，所以，
因为恒成立，所以，即，
所以C不符合题意，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再结合根与系数的关系，再利用对数平均数不等式和不等式的基本性质，进而找出正确的不等式。
13．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题设 P(AB)=P(A)P(B)=P(B)=，则P(B)= .
故答案为：
【分析】利用独立事件乘法公式有P(AB)=P(A)P(B) ，根据已知即可求P(B) .
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：根据椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a ，
△PF1F2的周长为2a+2c ，由于△PF1F2的面积为7，且△PF1F2内切圆的半径为 ，
所以 ，a+c=7，而椭圆的离心率 ，
所以a=5 ，c=2，所以 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
故答案为：
【分析】结合椭圆的定义、离心率以及△PF1F2的面积求得a，c ，进而求得b ，从而求得椭圆C的标准方程.
15．【答案】
【知识点】棱台的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：如图，
设 ，则E∈平面ABCD ，
故 ，
的最小值即为四棱台的高.
如下图，
过A'作A'G⊥AD ，垂足为G ，过A'作A'H⊥AB ，垂足为H ，过A'作A'O⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接OG OH，
则A'G=A'H=A'Asin60°= ， AG=AH=A'Asin60°=2，
因为∠GOA'=∠HOA'=90° ，OA'=O'A，故 ，
故OG=OH ，而AO=AO ，故 ，所以∠GAO=∠HAO=30° ，
因为AH平面ABCD ，故OA' ⊥AH，而OA'∩A' H=A' ，
故AB⊥平面A' HO ，因OH平面A' HO ，故AB⊥OH ，
故 ，故 ，即的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】先判断出 的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.
16．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得 ，
令 ，所以 ，则g(x)=lnx-x2+c ，且c为常数，
所以f(x)=xg(x)=xlnx-x3+cx ，
所以f(e)=e-e3+ce=3e-e3 ，解得c=2 ，
所以f(x)=xlnx-x3+2x ，则f'(x)=lnx-3x2+3 ．
令h(x)=f'(x)=lnx-3x2+3 ，则 ．
当 时， h'(x)>0，h(x)单调递增；
当 时， h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)在 处取得最大值 ．
又h(e-3)=-3e-6<0 ，所以 ，使h(x0)=0 ．
又h(1)=0 ，
所以当 时，h(x)<0 ，f'(x)<0，f(x) 单调递减；
当 时，h(x)>0 ，f'(x)>0，f(x) 单调递增，
当 时，h(x)<0 ，f'(x)<0，f(x) 单调递减；
所以当x=1时， f(x)取得极大值f(1)=1 ．
故答案为：1
【分析】由题意可得 ，构造函数 ，可得 ，可得g(x)解析式，结合f(e)的值，可得f(x)解析式，求导，令h(x)=f'(x)，利用导数可得h(x)的单调性和最值，根据特殊值h(e-3)<0和h(1)=0，分析可得f(x)的单调性和极值，即可得答案.
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图得[95，105]对应的频率为0.38，由此补全频率分布直方图
（2）解：由频率分布直方图可得平均数
，
方差 ．
（3）解：质量指标值位于 的频率为
．
故样本中的产品为合格品的频率为0.95．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求出[95，105]对应的频率，即可补全频率分布直方图；
（2）根据平均数、方差公式计算可得；
（3）根据频率分布直方图求出产品的质量指标值位于（80，122.5）的频率，即可得解.
18．【答案】（1）解：选择①与直线垂直，
则直线的斜率，解得，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
选择②过点，又直线过点
则直线的斜率，
则直线的方程为：，整理得：；
选择③与直线平行，
则直线的斜率，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：.
（2）解：根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，
设点关于直线的对称点为，
则，且，解得，即；
根据题意，作图如下：
显然，但且仅当三点共线时取得等号；
又直线的斜率，故其方程为：，即，
联立，可得，
即点的坐标为时，使得最大.
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）选择不同的条件，根据直线垂直、平行时斜率之间的关系，可求出直线的斜率，即可求出直线的方程；
（2）求得点关于直线的对称点为 的坐标，数形结合，求两直线的交点坐标，即可求出点的坐标，使得最大.
19．【答案】（1）解：当 时， ， 定义域为 ，
所以 ，所以 在 上是单调递增的.
（2）解：当 时， ， 等价于 ，则 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上是单调递增的，则
①当 时， ， 在 上是单调递增的，
所以 ，满足题意．
②当 时， ， ，
所以 ，使 ，
因为 在 上是单调递增的
所以当 时， ，所以 在 上是单调递减的，
又 ，
即得当 时， ，不满足题意．
综上①②可知：实数 的取值范围 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对f(x)求导，从而确定f'(x)为正及f(x)的单调性；
（2）令，然后分和 两种情况讨论g(x)的单调性及最值，即可得答案.
20．【答案】（1）证明：因为 平面 平面 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为底面 为矩形，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）解：因为 平面 平面
所以 且 ，
所以以 为 轴建系如图，
则 ，
设 ，
因为 在 上的投影向量为 ，
与 的同向单位向量为 ，
所以为 在 上的投影为 ，
即 解得 ，
所以 ，且 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 令 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 令 ，
所以 ，
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)先根据面面平行的判定定理证明平面 平面 ，进而可证明线面平行；
(2)先建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式的坐标运算 即可求解面面夹角的余弦值.
21．【答案】（1）解：已知双曲线等轴，可设双曲线方程为 ，因为右焦点为 ，故 ，由 得 ，所以双曲线方程的方程为 ，设直线l的方程为 ，联立双曲线方程得， ，解得
即直线l斜率 的取值范围为
（2）解：设 ，渐近线方程为 ，则P到两条渐近线的距离 满足， ，而 ， ，同理 ，所以 ，由 ， ，所以 ， ，
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l斜率的取值范围.
（2）由直线与渐近线方程联立可求出M，N两点的坐标，再求出P到两条渐近线的距离d1，d2 ，整体代入求出 ， 分割 △OPQ利用韦达定理结合三角形面积公式可求得 ，进而得到 ，即可得到答案.
22．【答案】（1）解：令 ，变形得 ，
令 ，问题转化成 与 有交点，
令 ，解得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
又当 时， ，
，
故实数a的取值范围为 .
（2）证明：由题意可得， ，得 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
先证 ，只需证 ，
令 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，故 ， ，左边证毕，
再证 ，
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，故 ；
令 ， ，
对于函数 ， ，
则 ，原函数单调递减，
故
令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，故
， ，即 ，故 ，右边证毕，
则 得证.
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点
【解析】【分析】（1）令，变形得，令，求出函数g(x)的值域，即可求得实数a的范围；
（2）由题意可得 ，得 ，要证 ，即证 ，先证 ，只需证 ，令 ，求出函数的最小值即可得证；再证 ，令 ，证明h(x)二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
浙江省宁波市北仑区名校2022-2023学年高二下学期数学期初返校考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（2023高二下·北仑开学考）若直线与直线垂直，则a的值为（　　）
A．-3 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【知识点】两条直线垂直的判定；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为两条直线垂直，所以1×3+(-a)×1=0，解得a=3，
故选：C
【分析】根据两直线垂直列方程，化简求值即可.
2．（2023高三上·汕头期末）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（　　）
A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确，不符合题意；
将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，
将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，
从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误，符合题意；
甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，C正确，不符合题意.
故答案为：B
【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.
3．（2023高二下·北仑开学考）已知空间向量，，，若，则（　　）
A．2 B．-2 C．14 D．-14
【答案】C
【知识点】空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
所以m-n=6-(-8)=14，
故选：C
【分析】利用空间向量平行的性质，列出方程组，解得m，n即可得答案.
4．（2022高二上·商洛期末）在平行六面体中，点在上，且，若，则（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】如图，
，
所以，
所以，
故答案为：C.
【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求出答案.
5．（2023高二下·北仑开学考）若双曲线的左焦点关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右支上，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点为F1(-c，0) ，关于渐近线方程为的对称点为P(m，n) ，
所以 ，
所以对称点P，
因为对称点恰好落在双曲线的右支上，
所以 ，
所以 ，
化简解得：c2=5a2，b2=c2-a2=4a2 ，
所以b=2a ，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x .
故选：B
【分析】先设出双曲线的左焦点F1(-c，0)，关于渐近线方程为的对称点为P(m，n) ，根据关于渐近线对称，利用垂直平分，解得对称点的坐标，再根据对称点恰好落在双曲线的右支上，将坐标代入双曲线的方程求解.
6．（2023高二下·北仑开学考）若函数存在极值，则实数的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．（0，1） C．（-∞，1] D．（-∞，1）
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数 的定义域为（0，+∞） ，且 .
由题意可知，函数y=f(x)在定义域（0，+∞）上存在极值点，
由f'(x)=0可得 ，令 ，则a=2t-t2 ，
则实数a的取值范围为函数y=2t-t2 在（0，+∞）上的值域且满足 ﹥0 ，
对于二次函数y=2t-t2=-(t-1)2+1 ，当t>0时，y=-(t-1)2+1≤1 ，
对于二次方程a=2t-t2 ，即t2-2t+a=0 ， =4-4a>0 ，解得a<1 .
因此，实数a的取值范围是（-∞，1） .
故选：D.
【分析】由题意可知，函数y=f(x)在定义域（0，+∞）上存在极值点，令f'(x)=0可得 ，换元 ，可得t2-2t+a=0 ，则实数a的取值范围为函数y=2t-t2在（0，+∞）上的值域且满足 ﹥0 ，由此可求得实数a的取值范围.
7．（2023高二下·北仑开学考）设，分别为双曲线：的左 右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意得，以线段为直径的圆的方程为x2+y2=c2 ，
双曲线C的一条渐近线的方程为，
由 以及a2+b2=c2 ，
解得或 ，
不妨取M(a，b) ， 则N(-a，-b)
因为A(-a，0)， ∠MAN=135°
所以∠MAO=45°，
又tan∠MAO=，
所以=1，
所以b=2a，
所以该双曲线的离心率 .
故选：D.
【分析】联立x2+y2=c2与求出M(a，b)，进而∠MAO的正切可求，得出b=2a，从而进一步解出答案.
8．（2023高二下·北仑开学考）已知，，是函数（，）的零点，且，若，则当，变化时，的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：由题知：f'(x)=3x2+2ax ，
易知f'(x)=3x2+2ax的两根为0和 ，
因为f(x)=0的三个零点 ，， 满足： ，
即函数 在极值点x=0右侧有两个零点，
所以，即a<0 ，且f(0)=b>0 ，
又
所以
所以解得 ，
所以3a+b=-6x2+
设g(x)=x3-6x，x>0，则g'(x)=3x2-6
时， g'(x)<0，
时， g'(x)>0，
则g(x)在上单调递减，在单调递增，
所以x>0 时， ，
所以(3a+b)min=-4 .
故选：A.
【分析】由 和函数f(x)的单调性可知a<0 ，b>0 ，再根据 可求得3a+b=-6x2+ ，构造函数g(x)=x3-6x，x>0，利用导数即可求得最小值.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022高三上·丹东月考）某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（　　）
A．周岁以上的参保人数最少
B．周岁人群参保的总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐
D．周岁及以上的参保人数占总参保人数的
【答案】A,C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由参保人数比例图可知，周岁以上参保人数最少，周岁以上的人群约占参保人群的，A符合题意，D不符合题意
由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故 C符合题意
由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，所以总费用不一定最少，B不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】根据统计图中的数据逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二上·浙江期中）在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（　　）
A．若点在平面内，则必存在实数，使得
B．直线与所成角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．存在实数、使得
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；点到直线的距离公式；异面直线及其所成的角
【解析】【解答】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，A不符合题意；
对B：取的中点为，连接，如下所示：
在三角形中，分别为的中点，故可得//，
在三角形中，分别为的中点，故可得//，
则//，故直线所成的角即为或其补角；
在三角形中，，
，
由余弦定理可得：，
即直线与所成角的余弦值为，B符合题意；
对C：连接如下图所示：
在三角形中，，
，，
故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，
则.C符合题意；
对D：记的中点为，连接，如下所示：
由B选项所证，//，又面面，故//面；
易知//，又面面，故//面，
又面，故平面//面，
又面，故可得//面，
故存在实数、使得，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征和中点的性质，再利用平面向量基本定理、异面直线所成角的求解方法和余弦函数的定义、点到直线的距离公式，进而找出正确的选项。
11．（2023高二下·北仑开学考）已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】两点间距离公式的应用；双曲线的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
由 ，， 得O、P、A、B四点在以OP为直径的圆上，则|OP|≥|AB| ，故B正确；
由双曲线方程设 ， 则∠AOB=60° ，
由PM//l1，PN//l2， 则∠PNB=∠PMA=∠AOB=60°
则 ，
则 ，
则4S1=3S2 ，故C错误；
设P(x0，y0) ，满足 ，
则由点到直线距离知 ，同理有 ，
则 ，故A正确；
故 ，在三角形PMN中，由余弦定理知，
MN2=PM2+PN2-2PM·PNcos60°=PM2+PN2-2≥2PM·PN-2=2 ，
故|MN|≥ ，当且仅当PM=PN=时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【分析】根据，，则O、P、A、B四点在以OP为直径的圆上，从而有|OP|≥|AB| ；根据双曲线方程写出渐近线方程，求得倾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，从而求得面积关系；设P(x0，y0) ，由点到直线距离求得PA，PB，从而验证PA·PB的值；从而求得PM·PN的值，在三角形PMN中，由余弦定理表示出MN，从而求得范围.
12．（2022高二下·浙江期中）已知a为常数，函数有两个极值点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的基本性质
【解析】【解答】由题意得，且定义域为，令，则，因为两个极值点，即在有两根，
由此可知，且在单调递增，在单调递减，，因为在有两根，
所以，即，解得，
因为在有两根为，所以，
又，所以，
从的正负可知在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，所以，因为，
所以，所以A不符合题意，B符合题意；
因为，所以，
即，
根据对数平均不等式得，，，
根据同向同正可乘性得，因为，所以，
因为恒成立，所以，即，
所以C不符合题意，D符合题意；
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再结合根与系数的关系，再利用对数平均数不等式和不等式的基本性质，进而找出正确的不等式。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023高二下·北仑开学考）已知事件，相互独立，且，，则　 　.
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题设 P(AB)=P(A)P(B)=P(B)=，则P(B)= .
故答案为：
【分析】利用独立事件乘法公式有P(AB)=P(A)P(B) ，根据已知即可求P(B) .
14．（2023高二下·北仑开学考）已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点为上一点，若的面积为7，且内切圆的半径为，则的标准方程为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：根据椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a ，
△PF1F2的周长为2a+2c ，由于△PF1F2的面积为7，且△PF1F2内切圆的半径为 ，
所以 ，a+c=7，而椭圆的离心率 ，
所以a=5 ，c=2，所以 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
故答案为：
【分析】结合椭圆的定义、离心率以及△PF1F2的面积求得a，c ，进而求得b ，从而求得椭圆C的标准方程.
15．（2023高二下·北仑开学考）如图，在四棱台 中， ， ，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】棱台的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：如图，
设 ，则E∈平面ABCD ，
故 ，
的最小值即为四棱台的高.
如下图，
过A'作A'G⊥AD ，垂足为G ，过A'作A'H⊥AB ，垂足为H ，过A'作A'O⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接OG OH，
则A'G=A'H=A'Asin60°= ， AG=AH=A'Asin60°=2，
因为∠GOA'=∠HOA'=90° ，OA'=O'A，故 ，
故OG=OH ，而AO=AO ，故 ，所以∠GAO=∠HAO=30° ，
因为AH平面ABCD ，故OA' ⊥AH，而OA'∩A' H=A' ，
故AB⊥平面A' HO ，因OH平面A' HO ，故AB⊥OH ，
故 ，故 ，即的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】先判断出 的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.
16．（2023高二下·北仑开学考）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为　 　.
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得 ，
令 ，所以 ，则g(x)=lnx-x2+c ，且c为常数，
所以f(x)=xg(x)=xlnx-x3+cx ，
所以f(e)=e-e3+ce=3e-e3 ，解得c=2 ，
所以f(x)=xlnx-x3+2x ，则f'(x)=lnx-3x2+3 ．
令h(x)=f'(x)=lnx-3x2+3 ，则 ．
当 时， h'(x)>0，h(x)单调递增；
当 时， h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)在 处取得最大值 ．
又h(e-3)=-3e-6<0 ，所以 ，使h(x0)=0 ．
又h(1)=0 ，
所以当 时，h(x)<0 ，f'(x)<0，f(x) 单调递减；
当 时，h(x)>0 ，f'(x)>0，f(x) 单调递增，
当 时，h(x)<0 ，f'(x)<0，f(x) 单调递减；
所以当x=1时， f(x)取得极大值f(1)=1 ．
故答案为：1
【分析】由题意可得 ，构造函数 ，可得 ，可得g(x)解析式，结合f(e)的值，可得f(x)解析式，求导，令h(x)=f'(x)，利用导数可得h(x)的单调性和最值，根据特殊值h(e-3)<0和h(1)=0，分析可得f(x)的单调性和极值，即可得答案.
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（2023高二下·北仑开学考）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，经测量得到的数据位于[75，125]，频率分布直方图如图所示.
（1）补全频率分布直方图；
（2）若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2；
（3）当一件产品的质量指标值位于(80，122.5)时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图得[95，105]对应的频率为0.38，由此补全频率分布直方图
（2）解：由频率分布直方图可得平均数
，
方差 ．
（3）解：质量指标值位于 的频率为
．
故样本中的产品为合格品的频率为0.95．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求出[95，105]对应的频率，即可补全频率分布直方图；
（2）根据平均数、方差公式计算可得；
（3）根据频率分布直方图求出产品的质量指标值位于（80，122.5）的频率，即可得解.
18．（2022高二上·杭州期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；②过点；③与直线平行．
问题：已知直线l过点，且____．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）已知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大．
【答案】（1）解：选择①与直线垂直，
则直线的斜率，解得，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
选择②过点，又直线过点
则直线的斜率，
则直线的方程为：，整理得：；
选择③与直线平行，
则直线的斜率，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：.
（2）解：根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，
设点关于直线的对称点为，
则，且，解得，即；
根据题意，作图如下：
显然，但且仅当三点共线时取得等号；
又直线的斜率，故其方程为：，即，
联立，可得，
即点的坐标为时，使得最大.
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）选择不同的条件，根据直线垂直、平行时斜率之间的关系，可求出直线的斜率，即可求出直线的方程；
（2）求得点关于直线的对称点为 的坐标，数形结合，求两直线的交点坐标，即可求出点的坐标，使得最大.
19．（2023高二下·北仑开学考）已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当 时， ， 定义域为 ，
所以 ，所以 在 上是单调递增的.
（2）解：当 时， ， 等价于 ，则 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上是单调递增的，则
①当 时， ， 在 上是单调递增的，
所以 ，满足题意．
②当 时， ， ，
所以 ，使 ，
因为 在 上是单调递增的
所以当 时， ，所以 在 上是单调递减的，
又 ，
即得当 时， ，不满足题意．
综上①②可知：实数 的取值范围 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对f(x)求导，从而确定f'(x)为正及f(x)的单调性；
（2）令，然后分和 两种情况讨论g(x)的单调性及最值，即可得答案.
20．（2023高二下·北仑开学考）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点F在棱上，且P与E位于平面的两侧．
（1）证明：平面．
（2）若，且在上的投影向量为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为 平面 平面 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为底面 为矩形，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）解：因为 平面 平面
所以 且 ，
所以以 为 轴建系如图，
则 ，
设 ，
因为 在 上的投影向量为 ，
与 的同向单位向量为 ，
所以为 在 上的投影为 ，
即 解得 ，
所以 ，且 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 令 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 令 ，
所以 ，
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)先根据面面平行的判定定理证明平面 平面 ，进而可证明线面平行；
(2)先建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式的坐标运算 即可求解面面夹角的余弦值.
21．（2023高二下·北仑开学考）已知等轴双曲线的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）设的面积分别为，求的取值范围.
【答案】（1）解：已知双曲线等轴，可设双曲线方程为 ，因为右焦点为 ，故 ，由 得 ，所以双曲线方程的方程为 ，设直线l的方程为 ，联立双曲线方程得， ，解得
即直线l斜率 的取值范围为
（2）解：设 ，渐近线方程为 ，则P到两条渐近线的距离 满足， ，而 ， ，同理 ，所以 ，由 ， ，所以 ， ，
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l斜率的取值范围.
（2）由直线与渐近线方程联立可求出M，N两点的坐标，再求出P到两条渐近线的距离d1，d2 ，整体代入求出 ， 分割 △OPQ利用韦达定理结合三角形面积公式可求得 ，进而得到 ，即可得到答案.
22．（2023高二下·北仑开学考）已知函数
（1）若存在零点，求实数a的取值范围；
（2）若是的零点，求证：
【答案】（1）解：令 ，变形得 ，
令 ，问题转化成 与 有交点，
令 ，解得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
又当 时， ，
，
故实数a的取值范围为 .
（2）证明：由题意可得， ，得 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
先证 ，只需证 ，
令 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，故 ， ，左边证毕，
再证 ，
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，故 ；
令 ， ，
对于函数 ， ，
则 ，原函数单调递减，
故
令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，故
， ，即 ，故 ，右边证毕，
则 得证.
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点
【解析】【分析】（1）令，变形得，令，求出函数g(x)的值域，即可求得实数a的范围；
（2）由题意可得 ，得 ，要证 ，即证 ，先证 ，只需证 ，令 ，求出函数的最小值即可得证；再证 ，令 ，证明h(x)二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1