浙江省宁波市北仑区名校2022-2023学年高一下学期数学期初返校考试试卷

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浙江省宁波市北仑区名校2022-2023学年高一下学期数学期初返校考试试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．（2023高一下·北仑开学考）已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023高一下·北仑开学考）若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·绍兴模拟）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高一下·北仑开学考）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高一下·北仑开学考）设函数，已知在上有且仅有4个零点，且对称中心为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·北仑开学考）函数的图像最有可能的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022高三上·江苏开学考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（　　）
A．－4 B．4 C．5 D．8
8．（2023高一下·北仑开学考）设，，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（2023高一下·北仑开学考）下列选项中的函数是同一个函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2022高三上·苏州期中）已知非零实数满足且，则下列不等关系一定正确的有（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023高一下·北仑开学考）已知函数为奇函数，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则以下结论正确的为（　　）
A．
B．
C．直线为图象的一条对称轴
D．若在上单调递减，则的值为1或5
12．（2023高一下·北仑开学考）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，，则称为的二划分，例如，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（　　）
A．设，，则为的二划分
B．设，，则为的二划分
C．存在一个的二划分，使得对于，，；对于，，
D．存在一个的二划分，使得对于，，，则；，，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022高一上·绍兴期末）已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是　 　.
14．（2023高一下·北仑开学考）已知函数，则　 　.
15．（2023高一下·北仑开学考）已知，，，则的最小值为　 　.
16．（2023高一下·北仑开学考）已知函数，关于的方程恰有两个实根，求的取值范围　 　.
四、解答题：本题共6个小题，共70分，
17．（2023高一下·北仑开学考）
（1）若，求的值；
（2）设，求的值.
18．（2023高一下·北仑开学考）集合，集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数a的取值范围.
19．（2023高一下·北仑开学考）已知函数.
（1）若且，求的值；
（2）记函数在上的最大值为，且函数在上单调递增，求实数的最小值.
20．（2023高一下·北仑开学考）设函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明函数在上是增函数；
（3）若是否存在常数，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（2023高一下·北仑开学考）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设，若关于的不等式
恒成立，求的取值范围.
22．（2023高一下·北仑开学考）已知函数在时有最大值1和最小值0，设.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：依题意， ，
由韦恩图知，阴影部分表示的集合是 ，而 ，
所以= .
故选：D
【分析】化简集合A，B，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：因为对任意1≤x≤2 ，有x2≤a恒成立，
所以(x2)max≤a ，
因为1≤x≤2，所以0≤x2≤4 ，
所以a≥4 ，
故选：B
【分析】由题意可得(x2)max≤a ，然后求出x2的最大值即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】根据题意；
先判断充分性，因为，所以，
所以函数为奇函数，故充分性成立；
再判断必要性，因为为奇函数，所以，
因为，所以当时，解得，符合题意；
当时，解得，符合题意，故必要性不成立.
故答案为：A.
【分析】化简得，依题意，利用充分条件与必要条件的概念判断即可得答案.
4．【答案】D
【知识点】函数零点的判定定理；函数的零点
【解析】【解答】解：因为函数 ，，，
所以函数f(x)，g(x) ，h(x) 均为增函数，
当x>0时， 恒成立，故g(x)的零点小于0，即x2<0，
当x>1时， 恒成立，当x=时，f(x)=0 ，所以x1=，
当x=0时，h(x)=0 ，故x3=0 ，
故 ．
故选：D．
【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．
5．【答案】B
【知识点】正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：当0≤x≤2π时， ，因为f(x)在[0，2π]上有且仅有4个零点，
则有 ，解得 ，当 时， ，
而 为f(x)图象的对称中心，于是得 ，解得 ， ，
所以 .
故选：B
【分析】根据给定的零点个数求出的取值范围，再由对称性求出的值即可计算作答.
6．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数 的定义域为R， ，即函数f(x)是奇函数，D不正确；
当0于是得f(x)在（0，π）上有且只有一个零点，B，C不正确，A正确.
故选：A
【分析】根据给定的函数，判断其奇偶性，再利用奇偶性及在（0，π）上的零点个数判断作答.
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以，
所以的最小值为5。
故答案为：C
【分析】由的解集为，则，且，是方程的两根，再利用韦达定理得出a的值，再结合均值不等式求最值的方法得出b的最小值，故， 设，，再利用函数的单调性求出函数的最小值，进而得出的最小值。
8．【答案】B
【知识点】对数值大小的比较；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小
【解析】【解答】解：因为 ，则a=sin4<0 ，
c-b=lg6-log53=(lg2+lg3)- ，则c>b=log53>0 ，
显然d>0 ， ，即c所以 .
故选：B
【分析】利用正弦函数性质可得a<0 ，再利用对数函数结合“媒介“数及均值不等式即可比较作答.
9．【答案】B,C
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】解：对于A： f(x)=x2定义域为R ， 定义域为[0，+∞) ， 定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B： ， 两函数的定义域相同均为R ，且解析式一致，故是同一函数，故B正确；
对于C： f(x)=x0定义域为{x|x≠0} ， 定义域为{x|x≠0} ，两函数的定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故C正确；
对于D： 定义域为{x|x≠2} ，但是
定义域为{x|x≠2} ，两函数虽然定义域相同，但是解析式不一致，故不是同一函数，故D错误；
故选：BC
【分析】根据相等函数的定义，定义域相同且解析式一致即可判断.
10．【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为非零实数满足且，
所以，的正负不能确定，
对于A，若，则，则，A不符合题意；
对于B，因为，所以，所以，
因为，当且仅当时，
即时取到等号，所以，B符合题意；
对于C，当时，，，
显然不满足，C不符合题意；
对于D，因为，，所以，又，
所以，解得；
因为，，所以，又，
所以，解得，所以；
综上，.D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据已知，利用不等式的性质以及特值法进行判断.
11．【答案】A,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数 为奇函数，则 ，有f(x)=-sinωx ，
，因为函数g(x)为偶函数，则有 ，解得ω=2k+1 ，k∈N
对于A，因为 ，则A正确；
对于B，因为ω=2k+1 ，k∈N ，则B错误；
对于C，当时， ，则直线不是g(x)图象的对称轴，C错误；
对于D，因为g(x)在上单调递减，则函数在上单调递增，
当时， ，又正弦函数y=sinx的递增区间是 ，
因此 ，
解得 ，由 得 ，而n∈Z ，则n=0或n=1 ，
从而或 ，又ω=2k+1 ，k∈N于是得ω=1或ω=5 ，D正确.
故选：AD
【分析】根据给定条件，求出 的表达式判断A，B；再由函数的对称性、单调性分析判断C，D作答.
12．【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：对于A选项，因为 ，， 所以 ， 则不为 的二划分，故A错误；
对于B选项，因为 ，
由于(2m+3)·2n≠2k ，k，m，n∈N，所以A∩B= ，A∪B=N* ，则为的二划分，故B正确；
对于C选项，存在A={x|x=2k-1，k∈N*} ，B={x|x=2k，k∈N*} ，使得对于，对于，故C正确；
对于D选项，存在A={x|x=3k+1，k∈N*} ，B={x|x=3k或x=3k-1，k∈N*} 或 ，使得对于 ，则x+y∈B， ，则p+q∈A ，故D正确.
故选：BCD.
【分析】根据若集合A、B满足： ，， 则称 为 的二划分，按照该定义逐项判断即可.
13．【答案】4
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合扇形的弧长公式，进而求出该扇形的弧长。
14．【答案】4
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：函数 ，则f(30)=f[f(20)] ，
而f(20)=f[f(10)]=f(11)=f[f(1)]=f(2)=3，
所以f(30)=f(3)=4 .
故答案为：4
【分析】把x=30代入，利用给定的分段函数依次求出f(20) ，f(11) ，即可求解作答.
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由 得： ，而x>0 ，y>0 ，则有 ，
于是 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， x+4y取得最小值 .
故答案为：
【分析】根据给定条件，用含y的式子表示x，再利用均值不等式求解作答.
16．【答案】{2，}
【知识点】函数的零点与方程根的关系；一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时， ，则当 时，函数f(x) 递增，函数值从1增大到2，
当 时，函数f(x)递减，函数值从2减小到 ，在坐标平面内作出函数f(x)在上的图象，如图，
令f(x)=t ，观察图象知，当t<-1 或t>2 时，方程f(x)=t无解，当-1≤t<1 或t=2时，方程f(x)=t有1解，
当1≤t<2时，方程f(x)=t有2个不同的解，
关于x的方程 化为t2-mt+1=0 ，依题意，方程t2-mt+1=0有解， =m2-4 ，
当 =0 ，即m=-2或m=2时，若m=-2，则t=-1，方程f(x)=t有一解，不符合题意，
若m=2，则t=1，方程f(x)=t有2个不同的解，即有方程恰有两个实根，因此m=2 ；
当 >0，即m<-2或m>2 时，方程g(t)=t2-mt+1=0有两个不等实根t1，t2(t1当t1<-1，1≤t2<2时，方程f(x)=t1无解，f(x)=t2有两解，方程 恰有两个实根，
于是 ，无解，
当-1≤t1<1，-1于是得 ，解得-20矛盾，无解，
当-1≤t1<1，t2=2时，方程f(x)=t1有一解， f(x)=t2有一解，方程恰有两个实根，
于是得 ，解得 ，满足 >0 ，则 ，
当1≤t1<2，t2>2时，方程f(x)=t1有两解， f(x)=t2无解，方程恰有两个实根，
于是得 ，无解，
综上得：m=2 或 ，
所以m的取值范围是{2，} .
故答案为： {2，} .
【分析】探讨函数f(x)在 上的性质，并作出函数图象，结合图象确定方程f(x)=t解的情况，再借助一元二次方程实根分布求解作答.
17．【答案】（1）解： ， 则cosα≠0，，
.
（2）解： 因为 ，
所以.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由同角关系得tanα，然后化求值为关于sinα，cosα的齐次式，再弦化切代入计算；
（2）由诱导公式、同角关系化简后代入计算．
18．【答案】（1）解：由题意得： ， 即A=[4，8] ，则
，
则 =（-3，4） ，
（2）解： ． ；
当M= 时，满足 ，此时a+1≥3a+1 ，解得：a≤0 （舍）；
当M≠ 时，由得： ，解得： ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式可求得集合A ，B，由补集和交集定义可求得结果；
（2）解绝对值不等式可求得集合M，分别在M= 和M≠ 的情况下，根据包含关系构造不等式组求得结果.
19．【答案】（1） 解：依题意， ，
因为 ，即 ，则 ，而 ，有 ，
因此 ，
所以 .
（2）解： 当 时，，当 ，即时，f(x)max=2 ，则b=2 ，
由 得，
因此函数f(x)的单调递增区间是，因为函数f(x)在（a<2）上单调递增，
当k=1时，f(x)的递增区间是 ， ，不符合要求，
当k=2时，f(x)的递增区间是 ， ，因此 ，则 ，
所以实数a的最小值是 .
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f(x)，由已知求得 ，再利用和角的余弦公式求解作答.
（2）由正弦函数的性质求得b，再根据正弦函数的单调性可求得实数a的最小值.
20．【答案】（1）解：由题意x∈R ，∵． ，∴函数是偶函数；
（2）解：令 ，设 ， 且 ，
，
∵x1x+x2>0 ，∴ ，∴ ， ，
∴，∴ u(x)在 上单调递增，
又∵ y=logax在 上单增，
∴在上是增函数；
（3）解：由第（2）问可得 在 上是增函数，
∴，∴ ，
即m，n是方程 的两根，
∴ ，
当x>0时，令t=2x(t>1) ，则v(t)=(a-1)t2-t-1 ，
若方程有两个大于零的不等实数根，
即方程(a-1)t2-t-1=0存在两个大于1的不等实根，
∵ v(1)=-1<0，a>1 ，
方程(a-1)t2-t-1=0是有一个大于0和一个小于0的实根，
∴方程(a-1)t2-t-1=0不存在两个大于1的不等实根，
∴不存在常数m，n满足条件．
【知识点】函数的值域；函数奇偶性的判断；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义判断即可；
(2)证明内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性判断求解；
(3)将问题转化为m，n是方程的两个根，根据二次函数图象的性质证明求解.
21．【答案】（1）解：由图可知A=2 ， ，
解得T=π ，所以 ，所以 ；
因为f(x)的图象过点 ， 所以 ，解得 ， ；
因为0<φ<π ，所以φ= ，
所以 ；
（2）解： 由（1）可得，
设t=g(x) ，因为-1≤cos2x≤1 ，所以-3≤g(x)≤5 ；
又因为不等式 恒成立，
即h(t)=t2-(3m+2)t-m-23≤0在[-3 ，5] 上恒成立，
则 ，
解得 ，
所以m的取值范围是 ．
【知识点】一元二次不等式的应用；余弦函数的定义域和值域；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）由图求出A 、T 、ω 和φ的值，即可写出f(x)的解析式；
（2）由（1）可得g(x)的解析式，设t=g(x) ，问题等价于h(t)≤0在[-3 ，5] 上恒成立，列出不等式组求出m的取值范围．
22．【答案】（1）解：函数 时不合题意，
所以为 ，所以 在区间 上是增函数，
故 ，解得 .
（2）解：由已知可得 ，则 ，
所以不等式 ，
转化为 在 上恒成立，
设 ，则 ，即 ，在 上恒成立，
即 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，则 ，即 .
所以 的取值范围是 .
（3）解：方程 可化为： ， ，
令 ，则方程化为 ， ，
∵方程 有三个不同的实数解，
∴画出 的图象如下图所示，
所以 ， ，有两个根 ，且 或 ， .
记 ，
则 ，即 ，此时 ，
或 得 ，此时 无解，
综上 .
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得a，b的值.
（2）结合换元法、分离常数法化简不等式 ，结合二次函数的性质求得k的取值范围.
（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得 的取值范围.
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浙江省宁波市北仑区名校2022-2023学年高一下学期数学期初返校考试试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．（2023高一下·北仑开学考）已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：依题意， ，
由韦恩图知，阴影部分表示的集合是 ，而 ，
所以= .
故选：D
【分析】化简集合A，B，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.
2．（2023高一下·北仑开学考）若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：因为对任意1≤x≤2 ，有x2≤a恒成立，
所以(x2)max≤a ，
因为1≤x≤2，所以0≤x2≤4 ，
所以a≥4 ，
故选：B
【分析】由题意可得(x2)max≤a ，然后求出x2的最大值即可.
3．（2022·绍兴模拟）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】根据题意；
先判断充分性，因为，所以，
所以函数为奇函数，故充分性成立；
再判断必要性，因为为奇函数，所以，
因为，所以当时，解得，符合题意；
当时，解得，符合题意，故必要性不成立.
故答案为：A.
【分析】化简得，依题意，利用充分条件与必要条件的概念判断即可得答案.
4．（2023高一下·北仑开学考）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数零点的判定定理；函数的零点
【解析】【解答】解：因为函数 ，，，
所以函数f(x)，g(x) ，h(x) 均为增函数，
当x>0时， 恒成立，故g(x)的零点小于0，即x2<0，
当x>1时， 恒成立，当x=时，f(x)=0 ，所以x1=，
当x=0时，h(x)=0 ，故x3=0 ，
故 ．
故选：D．
【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．
5．（2023高一下·北仑开学考）设函数，已知在上有且仅有4个零点，且对称中心为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：当0≤x≤2π时， ，因为f(x)在[0，2π]上有且仅有4个零点，
则有 ，解得 ，当 时， ，
而 为f(x)图象的对称中心，于是得 ，解得 ， ，
所以 .
故选：B
【分析】根据给定的零点个数求出的取值范围，再由对称性求出的值即可计算作答.
6．（2023高一下·北仑开学考）函数的图像最有可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数 的定义域为R， ，即函数f(x)是奇函数，D不正确；
当0于是得f(x)在（0，π）上有且只有一个零点，B，C不正确，A正确.
故选：A
【分析】根据给定的函数，判断其奇偶性，再利用奇偶性及在（0，π）上的零点个数判断作答.
7．（2022高三上·江苏开学考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（　　）
A．－4 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以，
所以的最小值为5。
故答案为：C
【分析】由的解集为，则，且，是方程的两根，再利用韦达定理得出a的值，再结合均值不等式求最值的方法得出b的最小值，故， 设，，再利用函数的单调性求出函数的最小值，进而得出的最小值。
8．（2023高一下·北仑开学考）设，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数值大小的比较；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小
【解析】【解答】解：因为 ，则a=sin4<0 ，
c-b=lg6-log53=(lg2+lg3)- ，则c>b=log53>0 ，
显然d>0 ， ，即c所以 .
故选：B
【分析】利用正弦函数性质可得a<0 ，再利用对数函数结合“媒介“数及均值不等式即可比较作答.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（2023高一下·北仑开学考）下列选项中的函数是同一个函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C
【知识点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】解：对于A： f(x)=x2定义域为R ， 定义域为[0，+∞) ， 定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B： ， 两函数的定义域相同均为R ，且解析式一致，故是同一函数，故B正确；
对于C： f(x)=x0定义域为{x|x≠0} ， 定义域为{x|x≠0} ，两函数的定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故C正确；
对于D： 定义域为{x|x≠2} ，但是
定义域为{x|x≠2} ，两函数虽然定义域相同，但是解析式不一致，故不是同一函数，故D错误；
故选：BC
【分析】根据相等函数的定义，定义域相同且解析式一致即可判断.
10．（2022高三上·苏州期中）已知非零实数满足且，则下列不等关系一定正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】因为非零实数满足且，
所以，的正负不能确定，
对于A，若，则，则，A不符合题意；
对于B，因为，所以，所以，
因为，当且仅当时，
即时取到等号，所以，B符合题意；
对于C，当时，，，
显然不满足，C不符合题意；
对于D，因为，，所以，又，
所以，解得；
因为，，所以，又，
所以，解得，所以；
综上，.D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据已知，利用不等式的性质以及特值法进行判断.
11．（2023高一下·北仑开学考）已知函数为奇函数，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则以下结论正确的为（　　）
A．
B．
C．直线为图象的一条对称轴
D．若在上单调递减，则的值为1或5
【答案】A,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数 为奇函数，则 ，有f(x)=-sinωx ，
，因为函数g(x)为偶函数，则有 ，解得ω=2k+1 ，k∈N
对于A，因为 ，则A正确；
对于B，因为ω=2k+1 ，k∈N ，则B错误；
对于C，当时， ，则直线不是g(x)图象的对称轴，C错误；
对于D，因为g(x)在上单调递减，则函数在上单调递增，
当时， ，又正弦函数y=sinx的递增区间是 ，
因此 ，
解得 ，由 得 ，而n∈Z ，则n=0或n=1 ，
从而或 ，又ω=2k+1 ，k∈N于是得ω=1或ω=5 ，D正确.
故选：AD
【分析】根据给定条件，求出 的表达式判断A，B；再由函数的对称性、单调性分析判断C，D作答.
12．（2023高一下·北仑开学考）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，，则称为的二划分，例如，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（　　）
A．设，，则为的二划分
B．设，，则为的二划分
C．存在一个的二划分，使得对于，，；对于，，
D．存在一个的二划分，使得对于，，，则；，，，则
【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：对于A选项，因为 ，， 所以 ， 则不为 的二划分，故A错误；
对于B选项，因为 ，
由于(2m+3)·2n≠2k ，k，m，n∈N，所以A∩B= ，A∪B=N* ，则为的二划分，故B正确；
对于C选项，存在A={x|x=2k-1，k∈N*} ，B={x|x=2k，k∈N*} ，使得对于，对于，故C正确；
对于D选项，存在A={x|x=3k+1，k∈N*} ，B={x|x=3k或x=3k-1，k∈N*} 或 ，使得对于 ，则x+y∈B， ，则p+q∈A ，故D正确.
故选：BCD.
【分析】根据若集合A、B满足： ，， 则称 为 的二划分，按照该定义逐项判断即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022高一上·绍兴期末）已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是　 　.
【答案】4
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合扇形的弧长公式，进而求出该扇形的弧长。
14．（2023高一下·北仑开学考）已知函数，则　 　.
【答案】4
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：函数 ，则f(30)=f[f(20)] ，
而f(20)=f[f(10)]=f(11)=f[f(1)]=f(2)=3，
所以f(30)=f(3)=4 .
故答案为：4
【分析】把x=30代入，利用给定的分段函数依次求出f(20) ，f(11) ，即可求解作答.
15．（2023高一下·北仑开学考）已知，，，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由 得： ，而x>0 ，y>0 ，则有 ，
于是 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， x+4y取得最小值 .
故答案为：
【分析】根据给定条件，用含y的式子表示x，再利用均值不等式求解作答.
16．（2023高一下·北仑开学考）已知函数，关于的方程恰有两个实根，求的取值范围　 　.
【答案】{2，}
【知识点】函数的零点与方程根的关系；一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时， ，则当 时，函数f(x) 递增，函数值从1增大到2，
当 时，函数f(x)递减，函数值从2减小到 ，在坐标平面内作出函数f(x)在上的图象，如图，
令f(x)=t ，观察图象知，当t<-1 或t>2 时，方程f(x)=t无解，当-1≤t<1 或t=2时，方程f(x)=t有1解，
当1≤t<2时，方程f(x)=t有2个不同的解，
关于x的方程 化为t2-mt+1=0 ，依题意，方程t2-mt+1=0有解， =m2-4 ，
当 =0 ，即m=-2或m=2时，若m=-2，则t=-1，方程f(x)=t有一解，不符合题意，
若m=2，则t=1，方程f(x)=t有2个不同的解，即有方程恰有两个实根，因此m=2 ；
当 >0，即m<-2或m>2 时，方程g(t)=t2-mt+1=0有两个不等实根t1，t2(t1当t1<-1，1≤t2<2时，方程f(x)=t1无解，f(x)=t2有两解，方程 恰有两个实根，
于是 ，无解，
当-1≤t1<1，-1于是得 ，解得-20矛盾，无解，
当-1≤t1<1，t2=2时，方程f(x)=t1有一解， f(x)=t2有一解，方程恰有两个实根，
于是得 ，解得 ，满足 >0 ，则 ，
当1≤t1<2，t2>2时，方程f(x)=t1有两解， f(x)=t2无解，方程恰有两个实根，
于是得 ，无解，
综上得：m=2 或 ，
所以m的取值范围是{2，} .
故答案为： {2，} .
【分析】探讨函数f(x)在 上的性质，并作出函数图象，结合图象确定方程f(x)=t解的情况，再借助一元二次方程实根分布求解作答.
四、解答题：本题共6个小题，共70分，
17．（2023高一下·北仑开学考）
（1）若，求的值；
（2）设，求的值.
【答案】（1）解： ， 则cosα≠0，，
.
（2）解： 因为 ，
所以.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由同角关系得tanα，然后化求值为关于sinα，cosα的齐次式，再弦化切代入计算；
（2）由诱导公式、同角关系化简后代入计算．
18．（2023高一下·北仑开学考）集合，集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得： ， 即A=[4，8] ，则
，
则 =（-3，4） ，
（2）解： ． ；
当M= 时，满足 ，此时a+1≥3a+1 ，解得：a≤0 （舍）；
当M≠ 时，由得： ，解得： ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式可求得集合A ，B，由补集和交集定义可求得结果；
（2）解绝对值不等式可求得集合M，分别在M= 和M≠ 的情况下，根据包含关系构造不等式组求得结果.
19．（2023高一下·北仑开学考）已知函数.
（1）若且，求的值；
（2）记函数在上的最大值为，且函数在上单调递增，求实数的最小值.
【答案】（1） 解：依题意， ，
因为 ，即 ，则 ，而 ，有 ，
因此 ，
所以 .
（2）解： 当 时，，当 ，即时，f(x)max=2 ，则b=2 ，
由 得，
因此函数f(x)的单调递增区间是，因为函数f(x)在（a<2）上单调递增，
当k=1时，f(x)的递增区间是 ， ，不符合要求，
当k=2时，f(x)的递增区间是 ， ，因此 ，则 ，
所以实数a的最小值是 .
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f(x)，由已知求得 ，再利用和角的余弦公式求解作答.
（2）由正弦函数的性质求得b，再根据正弦函数的单调性可求得实数a的最小值.
20．（2023高一下·北仑开学考）设函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明函数在上是增函数；
（3）若是否存在常数，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意x∈R ，∵． ，∴函数是偶函数；
（2）解：令 ，设 ， 且 ，
，
∵x1x+x2>0 ，∴ ，∴ ， ，
∴，∴ u(x)在 上单调递增，
又∵ y=logax在 上单增，
∴在上是增函数；
（3）解：由第（2）问可得 在 上是增函数，
∴，∴ ，
即m，n是方程 的两根，
∴ ，
当x>0时，令t=2x(t>1) ，则v(t)=(a-1)t2-t-1 ，
若方程有两个大于零的不等实数根，
即方程(a-1)t2-t-1=0存在两个大于1的不等实根，
∵ v(1)=-1<0，a>1 ，
方程(a-1)t2-t-1=0是有一个大于0和一个小于0的实根，
∴方程(a-1)t2-t-1=0不存在两个大于1的不等实根，
∴不存在常数m，n满足条件．
【知识点】函数的值域；函数奇偶性的判断；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义判断即可；
(2)证明内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性判断求解；
(3)将问题转化为m，n是方程的两个根，根据二次函数图象的性质证明求解.
21．（2023高一下·北仑开学考）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设，若关于的不等式
恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：由图可知A=2 ， ，
解得T=π ，所以 ，所以 ；
因为f(x)的图象过点 ， 所以 ，解得 ， ；
因为0<φ<π ，所以φ= ，
所以 ；
（2）解： 由（1）可得，
设t=g(x) ，因为-1≤cos2x≤1 ，所以-3≤g(x)≤5 ；
又因为不等式 恒成立，
即h(t)=t2-(3m+2)t-m-23≤0在[-3 ，5] 上恒成立，
则 ，
解得 ，
所以m的取值范围是 ．
【知识点】一元二次不等式的应用；余弦函数的定义域和值域；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）由图求出A 、T 、ω 和φ的值，即可写出f(x)的解析式；
（2）由（1）可得g(x)的解析式，设t=g(x) ，问题等价于h(t)≤0在[-3 ，5] 上恒成立，列出不等式组求出m的取值范围．
22．（2023高一下·北仑开学考）已知函数在时有最大值1和最小值0，设.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数 时不合题意，
所以为 ，所以 在区间 上是增函数，
故 ，解得 .
（2）解：由已知可得 ，则 ，
所以不等式 ，
转化为 在 上恒成立，
设 ，则 ，即 ，在 上恒成立，
即 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，则 ，即 .
所以 的取值范围是 .
（3）解：方程 可化为： ， ，
令 ，则方程化为 ， ，
∵方程 有三个不同的实数解，
∴画出 的图象如下图所示，
所以 ， ，有两个根 ，且 或 ， .
记 ，
则 ，即 ，此时 ，
或 得 ，此时 无解，
综上 .
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得a，b的值.
（2）结合换元法、分离常数法化简不等式 ，结合二次函数的性质求得k的取值范围.
（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得 的取值范围.
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