1．下列几何体中棱柱有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选D.由棱柱定义知，①③为棱柱．
2．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．以上都错
解析：选B.棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．
3．关于棱台，下列说法正确的是( )
A．两底面可以不相似
B．侧面都是全等的梯形
C．侧棱长一定相等
D．侧面一定是梯形
答案：D
4．(2013·宿州高一检测)下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )
解析：选C.动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．
5．棱台不一定具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
解析：选C.由棱台的定义可知：棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，所以A、B、D选项都成立，只有C不一定成立．
6．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
解析：是五棱柱，侧棱长相等60÷5＝12.
答案：12
7．如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．
解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也是四面体．
答案：三棱锥(也可答四面体)
8．(2013·佛山高一检测)正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高是________．
解析：如图，在Rt△EMF中，EM＝2，
MF＝OF－O′E＝，
∴EF＝＝.
答案：
9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．
解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．
(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．
(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．
(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．
10．如图所示，在棱锥A－BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△DBC的周长是18，求△EFG的周长．
解：由已知得EF∥BD，
FG∥CD，EG∥BC，
∴△EFG∽△BDC.
∴＝.
又＝＝，∴＝.
∴△EFG的周长＝18×＝6.
1．下列几何体的轴截面一定是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：选C.圆柱的轴截面为矩形，圆锥的轴截面为等腰三角形，球的轴截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形．
2．右图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析：选A.图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．
3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
解析：
选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．
4．(2013·兰州高一检测)用一平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球体 D．以上都可能
解析：选B.球体被任何平面所截得的截面均为圆面；对圆锥，截面不可能为四边形．而圆柱，当截面过两条母线时，得到四边形．
5．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为( )
A．1∶4 B．1∶2
C．3∶4 D．2∶3
解析：选C.如图，设球的半径为R，则O1A2＝OA2－OO
＝R2－R2＝R2.
∴S⊙O1∶S⊙O
＝πR2∶πR2＝3∶4.
6．下列命题中错误命题的个数是________．
①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；
②通过圆台侧面上一点有无数条母线；
③圆锥的轴截面是等腰三角形．
解析：对于①，必须是绕直角三角形的直角边所在直线旋转才能得到圆锥，对于②，过圆台侧面上一点有且只有一条母线，故①②均错误，③正确．
答案：2
7．(2013·威海高一检测)下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，其中正确的序号是________．
解析：作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．
答案：②④
8．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，此圆柱的底面半径为________．
解析：设圆柱的底面半径为R，由题意得，圆柱的底面直径与母线长度相等，即(2R)2＝Q，所以R＝.
答案：
9．在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25π cm2，求球心到这个截面的距离．
解：设截面圆半径为r cm，
∵πr2＝25π，∴r＝5.
设球心到截面的距离为d cm，
则d＝＝＝12(cm)．
∴球心到截面的距离为12 cm.
10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．
解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20 cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
1．如图所示的是一个立体图形的三视图，此立体图形的名称为( )
A．圆锥 B．圆柱
C．长方体 D．圆台
解析：选B.由俯视图可知几何体的上、下底面是全等的圆，结合主视图和左视图，可知其为圆柱．
2．如图所示物体的三视图是( )
解析：选C.俯视图应为两个实线同心圆．
3．(2013·长沙质检)下列命题：
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①假命题，也可以是球；②假命题，也可以是横放的圆柱；③是真命题；④是假命题，也可以是棱台．
4．下列说法正确的是( )
A．任何几何体的三视图都与其放置的方式有关
B．任何几何体的三视图都与其放置的方式无关
C．有些几何体的三视图与其放置的方式有关
D．正方体的三视图与其放置的方式无关
解析：选C.球的三视图与放置的位置无关，正方体的三视图与其放置的位置有关．
5．(2013·济南高一检测)正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长是1，高是2，放置在水平桌面上，以面BCC′B′为正前方(如图所示)，那么它的正视图的面积是( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选B.其正视图是如图所示的四边形BDD′B′，该四边形是一个矩形，其长是正三棱柱的高2，宽是△ABC的高，故其面积是.
6．如图所示的几何体中，正视图与侧视图都是长方形的是________．
解析：(2)的侧视图是三角形，(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．
答案：(1)(3)(4)
7．下图中三视图所表示几何体的名称为________．
解析：由三视图可知，该几何体为圆柱，且圆柱的底面在正前面．
答案：圆柱
8．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.
解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸2为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.
答案：2 4
9．(2013·合肥质检)如图是某圆锥的三视图，求其底面积和母线长．
解：正视图中底边长即为圆的直径，所以S圆＝π()2＝100π；l母线＝ ＝10.
10．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．
(1)判断该几何是否为棱柱；
(2)画出它的三视图．
解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图：
1．关于斜二测画法，下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
解析：选C.用斜二测画法作图时，∠x′O′y′也可为135°，故C错．
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
解析：选A.由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．
3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析：选D.原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别在∠x′O′y′成45°和135°的坐标系中的直观图．
4.
(2013·阜阳高一检测)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )
解析：选A.根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为原来的2倍，可知A正确．
5．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
解析：选C.用斜二测画法，原图的直角变成45°，直观图中的正△A′B′C′的角度是60°，60°>45°.所以原图是钝角三角形．
6.
如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．
解析：由图易知△AOB中，底边OB＝4，又∵底边OB的高线长为8，
∴面积S＝×4×8＝16.
答案：16
7．(2013·石家庄高一检测)如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案：10
8．平面直角坐标系中的点M(4, 4)在用斜二测画法画出的直观图中对应点M′，则作出M′的具体画法是________________________________________．
解析：在x′轴正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴正方向上取点M2，使M2O′＝2.过点M1、M2分别作y′轴、x′轴的平行线，则这两条直线的交点就是M′.
答案：过点(4,0)作与y′轴平行的直线，过点(0,2)作与x′轴平行的直线，则两条直线的交点就是M′
9.
如图所示，△ABC中，AC＝10 cm，AC边上的高BD＝10 cm，求其水平放置的直观图的面积．
解：画x′轴，y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45 °，作△
ABC的直观图如图所示，则其底边A′C′＝AC＝10 cm，B′D′＝BD＝5 cm，
故△A′B′C′的高为B′D′＝ cm，
所以S△A′B′C′＝×10×＝(cm2)．
故直观图的面积为 cm2.
10．用斜二测画法画出正六棱锥P－ABCDEF的直观图．
解：画法：(a)画出正六棱锥P－ABCDEF的底面．
①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于O(如图(1)所示)，画相应的x′轴，y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45 °，∠x′O′z′＝90°，使∠y′O′z′＝90°(如图(2)所示)．
②在图(2)中以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN；以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，并且使B′C′＝BC；再以M′点为中点画E′F′平行于x′轴，并且使E′F′＝EF.
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(b)在O′z′轴上截取点P′，使P′O′＝PO.
(c)连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便得到正六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(如图(3)所示)．
1．若正方体的表面积为72，则它的体积为( )
A．2 B．12
C．24 D．6
解析：选C.设正方体棱长为a，则6a2＝72，a＝2，V＝a3＝24.
2．(2013·安康高一检测)已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1∶V2＝( )
A．1∶3 B．1∶1
C．2∶1 D．3∶1
解析：选D.V1∶V2＝(sh)∶(sh)＝3∶1.
3．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
解析：选B.棱长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×[6×()2]＝18a2，因此表面积增加了12a2.
4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，则该几何体的体积为( )
A．12π cm3 B．24πcm3
C．36π cm3 D．以上都不正确
解析：选A.由三视图可知此几何体是个圆锥．
r＝3，l＝5，h＝4，∴V＝π×32×4＝12π(cm3)．
5．(2013·徐州高一检测)将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设正方体的棱长为1，已知截去的每一个角都是一个三棱锥，且每个三棱锥的体积都等于，因此，截去的四个三棱锥的体积为，则剩余的四面体的体积为.
6．(2012·高考江苏卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.
解析：由题意得VA－BB1D1D＝VABD－A1B1D1＝××3×3×2＝6(cm3)．
答案：6
7．若一个直立圆柱的侧视图是面积为S的正方形，则该圆柱的表面积为________．
解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，
∵l＝2r，∴S＝2r·l＝4r2.∴r2＝.
∴S表＝2πr2＋2πrl＝6πr2＝S
答案：S
8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.
解析：根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体(3×3×1)组合而成的几何体，故其体积为18 cm3.
答案：18
9．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．
解：
如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，∴PE＝＝4 cm.
因此S侧＝Ch′＝×4×4×4＝32(cm2)，
S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1，求棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
解：已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.
而棱锥C－A1DD1的底面积为S，高为h，故三棱锥C－A1DD1的体积：
VC－A1DD1＝×Sh＝Sh，
余下部分体积为：Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
1．将两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则这个大球的半径为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C.πR3＝2×π×1，R＝.
2．长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A.π B．25π
C．50π D．200π
解析：选C.长方体的体对角线长＝＝5，球的半径为r，则2r＝5，∴r＝，∴S表＝4πr2＝50π.
3．(2013·荆州高一检测)用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( )
A. B.
C．8π D.π
解析：选D.设球的半径为R，截面圆的半径为r，所得截面圆的半径为r＝1，因此球的半径R＝ ＝，球的体积为πR3＝π.
4．有一个球与边长为a的正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为( )
A. B.a3
C.πa3 D.πa3
解析：选C.由题意可知正方体的面对角线是球的直径，设球的半径r，故r＝a.V＝π(a)3＝πa3.
5．(2012·高考课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π
C．4π D．6π
解析：选B.设球的半径为R，由球的截面性质得R＝＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.
6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
解析：设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.
答案：3
7．(2013·洛阳高一检测)圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________cm2.
解析：设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，
∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)
答案：100π
8．如图，球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为________．
解析：作经过球心的截面(如图)，
O1A＝3，O2B＝4，OA＝OB＝5，
则OO1＝4，OO2＝3，O1O2＝7，
V＝(32＋＋42)×7＝π.
答案：π
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请用你的计算数据说明理由．
解：因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)
V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π(cm3)
因为V半球
