1．“点M在直线a上，a在平面α内”可表示为( )
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a?α
C．M?a，a∈α D．M?a，a?α
答案：B
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
解析：选C.若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
3．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l?α B．l?α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A.据公理1可知：直线l上两点M、N都在平面α内，所以l在平面α内，故选A.
4．下列推断中，错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α，β重合
解析：选C.A即为直线l上有两点在平面内，则直线在平面内；B即为两平面的公共点在公共直线上；D为不共线的三点确定一个平面，故D也对．
5．下列命题中，正确的个数是( )
①梯形的四个顶点在一个平面内；②四条线段首尾相连构成平面图形；③一条直线和一个点确定一个平面；④两个不重合的平面若有公共点，则这些公共点都在一条直线上．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.由公理2的推论可知，梯形的四个顶点在同一个平面内；由公理3可知，两个不重合的平面若有公共点，则这些公共点都在一条直线上，故①④正确，对于②可能构成空间四边形，对于③该点可能在直线上，故②③错误．
6．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C?l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.
解析：根据题意画出图形，如图所示，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ，又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.
答案：CR
7．(2013·宜春高一检测)平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点最多能确定________个平面．
解析：当四点共面时能确定1个平面，若这四点不共面，则任意三点可确定1个平面，故可确定4个平面．
答案：4
8．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这四条直线确定平面的个数为________．
解析：由题意知这4条直线中的每两条都确定一个平面，因此，共可确定6个平面．
答案：6
9．将下面符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l， AB?α，AC?β.
解：
文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，AB、AC分别在平面α、β内，如图．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内；
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；
(4)由A，C1，B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．
解：(1)错误．如图所示，点A?平面CC1B1B，所以直线AC1?平面CC1B1B.
(2)正确．如图所示．
∵O∈直线AC?平面AA1C1C，O∈直线BD?平面BB1D1D，O1∈直线A1C1?平面AA1C1C，O1∈直线B1D1?平面BB1D1D，∴平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)(4)都正确，∵AD∥B1C1且AD＝B1C1，
∴四边形AB1C1D是平行四边形，
∴A，B1，C1，D共面．
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
解析：选B.∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.
2．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．6对
解析：选B.PB与AC、PA与BC、PC与AB.
3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A．与a，b都相交
B．只能与a、b中的一条相交
C．至少与a、b中的一条相交
D．与a，b都平行
解析：选C.如图，a′与b异面，但a′∥c，故A错；a与b异面，且都与c相交，故B错；若a∥c，b∥c，则a∥b，与a，b异面矛盾，故D错．
4．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断正确的是( )
A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD)
解析：选D.取BC的中点Q，则MN5．(2013·淮南高一检测)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )
A．相交
B．平行
C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
解析：选D.将展开图还原为正方体，如图所示．
AB与CD所成的角为60°，故选D.
6．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
解析：如图所示，MN綊AC，
又∵AC綊A′C′，
∴MN綊A′C′.
答案：平行
7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成角为90°的面对角线共有________条．
解析：面对角线是指正方体各个面上的对角线，与AD1异面的面对角线有A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中与AD1所成角为90°的仅有B1C.
答案：1
8．(2013·泉州高一检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故①②错误，③④正确．
答案：③④
9.
如图所示，不共面的三条直线a，b，c交于点O，在点O的同侧a，b，c上分别取点A和A1、B和B1、C和C1，使得＝＝，求证：△ABC∽△A1B1C1.
证明：∵＝，∴A1B1∥AB.
∵＝，∴B1C1∥BC，
结合图形，由等角定理可得∠ABC＝∠A1B1C1，
同理可证∠BAC＝∠B1A1C1，
∴△ABC∽△A1B1C1.
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BC、CC1、D1A1的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接BC1、AD1，
∵E、F、G、H分别是AA1、BC、CC1、D1A1的中点，
∴EH∥AD1且EH＝AD1.
FG∥BC1且FG＝BC1.
∵AB綊D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形．
∴AD1綊BC1，∴FG綊EH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
答案：D
2．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系为( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面或相交
解析：选D.∵a∥平面α，∴a与α无公共点．
又∵b∥α，∴b与α也无公共点，
∴a∥b或a与b异面或a与b相交．
3．(2013·宜昌高一检测)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线均与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内直线均与a相交
D．直线a与平面α有公共点
解析：选D.由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a?α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．
4．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
解析：选D.分别在两个平行平面内的直线一定没有公共点，位置关系为平行或异面．
5．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．重合 D．平行或相交
解析：
选D.如图，夹在平面A1B1C1D1与平面ABCD之间的线段AA1綊BB1綊CC1，
面AA1D1D与面AA1B1B之间取D1D的中点E，BB1中点F，D1B1綊DB綊EF.
6．一条直线和一个平面平行，过此直线与这个平面平行的平面有________个．
解析：假设过此直线与这个平面平行的平面有2个，则由平行的传递性知这2个平面也平行，这与它们都过已知直线相矛盾．
答案：1
7．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是________．
解析：如图，当m∥AB时，
则m∥DC，
当m与AB相交时，则m与DC异面．
答案：平行或异面
8．(2013·安庆高一检测)经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．
解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行．
答案：0或1
9．简述下列问题的结论，并画图说明：
(1)直线a?平面α，直线b∩a＝A，则b和α的位置关系如何？
(2)直线a?α，直线b∥a，则直线b和α的位置关系如何？
解：(1)由图①可知：b?α或b∩α＝A.
(2)由图②可知：b?α或b∥α.
10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
解：∵B1∈平面A1C1，D1∈平面A1C1，
∴B1D1?平面A1C1.
∵B1∈平面BC1，D1?平面BC1，
∴直线B1D1∩ 平面BC1＝B1.
同理直线B1D1与平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交．在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，
∴B1D1与平面AC无公共点，∴B1D1∥平面AC.
1．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b?α D．b∥α或b?α
解析：选D.由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b?α.
2．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：选B.若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
3．已知P是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )
A．3条 B．6条
C．9条 D．12条
解析：选A.因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1、D1C1、DC.
4．(2013·镇江高一检测)点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
5．下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．
6．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线，α为平面)，则此条件为________．
①?l∥α；②?l∥α.
解析：①由线面平行的判定定理知l?α；②易知l?α.
答案：l?α
7.
如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则EO与图中平行的平面有________．
解析：因为O为BD的中点．又∵在△PBD中，E为PB的中点，∴EO∥PD，又EO在平面PAD、PCD外，PD在平面PAD、PCD内，所以EO与平面PAD、平面PCD平行．
答案：平面PAD、平面PCD
8．设m， n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，请写出你认为正确的一个命题________．
解析：m?α，n?α，m∥n，m∥α?n∥α，即①②?③.
答案：①②?③
9.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.
求证：AD∥平面EFGH.
证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1.
又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.
∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴AD∥平面EFGH.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.
证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.
∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
1．正方体ABCD－A′B′C′D′中，与平面AC平行的是( )
A．平面A′C′ B．平面AD′
C．平面AB′ D．平面BC′
解析：选A.∵A′C′∥AC，AC?平面AC，A′C′?平面AC，∴A′C′∥平面AC，
同理B′D′∥平面AC，A′C′与B′D′是相交直线，故平面A′C′∥平面AC.
2．能够判断两个平面α，β平行的条件是 ( )
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
解析：选D.平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．
3．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
解析：选C.若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
4．已知m、n是两条直线，α、β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.把符号语言转换为文字语言或图形语言，可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.
5．已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )
A．l∥α，l∥β且l∥γ B．l?γ，且l∥α，l∥β
C．α∥γ，且β∥γ D．以上都不正确
解析：选C.?α与β无公共点?
α∥β.
6．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题．
①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；
④?α∥β；⑤?a∥α；⑥?a∥α.
其中正确的命题是________．(填序号)
解析：①是平行公理，正确；②中a，b还可能异面或相交；③中α、β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a?α；⑥也是忽略了a?α的情形．
答案：①④
7．(2013·荆州高一检测)六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．
解析：画出六棱柱的图形，观察可知，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．
答案：4
8. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是________．
解析：把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确．
答案：①②③④
9．如图，已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点．
求证：平面DEF∥平面ABC.
证明：因为D、E分别是PA、PB的中点，所以DE∥AB.
又知AB?平面ABC，DE?平面ABC.
因此DE∥平面ABC.
同理，EF∥平面ABC.
又因为DE∩EF＝E，
所以平面DEF∥平面ABC.
10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，求证：平面AGO∥平面D1EF.
证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
∵＝＝，
∴GO∥D1H，
又GO?平面D1EF，D1H?平面D1EF，
∴GO∥平面D1EF.
在△BAO中，∵BE＝EA，BH＝HO，∴EH∥AO，
又AO?平面D1EF，EH?平面D1EF，
∴AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，∴平面AGO∥平面D1EF.
1．如果直线a∥平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且仅有一条与a垂直的直线
答案：B
2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
解析：选B.过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.
3．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
解析：选A.由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，∴n∥a.
4．(2013·徐州高一检测)如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选A.由长方体性质可知EF∥平面ABCD.
EF?平面EFGH，
平面EFGH∩平面ABCD＝GH.
∴EF∥GH.
又∵EF∥AB.∴GH∥AB，故选A.
5．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是( )
A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
解析：选C.对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m、n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．所以答案为C.
6．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
解析：因为AB∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，MN＝5.
答案：5
7．如果一条直线与一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是________．
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，AB1与A1B相交，AA1∥BB1，A1B与B1C异面．
答案：相交、平行或异面
8．(2013·三明高一检测)若直线l不存在与平面α内无数条直线都相交的可能，则直线l与平面α的关系为________．
解析：若直线l与平面α相交或在平面α内，则在平面α内一定存在无数条直线与直线l相交，故要使l不可能与平面α内无数条直线都相交，只有l∥α.
答案：l∥α
9．如图所示，E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.
求证：EH∥BD.
证明：∵EH∥FG，EH?平面BCD，
FG?平面BCD，∴EH∥平面BCD.
又∵EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.
10．如图所示，已知三棱锥A－BCD被一平面所截，截面为?EFGH，求证：CD∥平面EFGH.
证明：∵EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，
∴EF∥CD.
又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m、n，则m、n的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．平行或异面
解析：选C.圆台上下底面互相平行，由面面平行性质可得平行．
2．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行，相交或异面
解析：选D.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AA1∥BB1，A1D∩A1B＝A1，AD1与A1B是异面直线．故选D.
3．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数多条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：选D.∵α∥β，∴两平面无公共点，a?α，B?a，∴过a与B可以确定一个平面γ，设γ∩β＝l，γ∩α＝a，由面面平行的性质定理可知a∥l.
4．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
解析：选D.由面面平行的性质定理，点C应在过AB中点且平行于α(或β)的平面内．故选D.
5．(2013·六安高一评估检测)已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：
①α∩β＝a，b?α?a∥b或a，b相交；
②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m∥n，m∥α?n∥α；
④α∩β＝a，a∥b?b∥β或b∥α.
其中正确命题的序号是( )
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：选C.对于②，α∥β，m?α，n?β可能得到m∥n，还有可能是直线m，n异面；对于③，m∥n，m∥α，当直线n不在平面α内时，可以得到n∥α，但是当直线n在平面α内时，n不平行于平面α.故选C.
6．平面α∥平面β，△ABC和△A1B1C1分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________．
解析：由题意知，△ABC的三条边和△A1B1C1的三条边对应平行，所以相似比都相等，所以两个三角形相似．
答案：相似
7．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
解析：因为正方体的上下底面平行，l与A1C1分别为平面A1C1B与两底面的交线，所以l∥A1C1.
答案：平行
8．(2013·莱阳高一检测)夹在两平行平面间的两条线段AB、CD相交于O(如图所示)，已知AO＝4，BO＝2，CD＝9.则线段CO、DO的长分别为________．
解析：∵AC∥BD，∴＝，
则＝，∴CO＝6，OD＝3.
答案：6,3
9．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②.
求证：在四棱锥P－ABCD中，AP∥平面EFG.
证明：在四棱锥P－ABCD中，E、F分别为PC、PD的中点，∴EF∥CD.
∵AB∥CD，∴EF∥AB.
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP?平面PAB，
∴AP∥平面EFG.
10．如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.
∵AA′∥BB′，且AA′，A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′，B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，故AD∥BC.同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b?α，c?α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
答案：D
2．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2
C．3 D．1
解析：选B.对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，③④是正确的．
3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是( )
A．垂直 B．斜交
C．平行 D．不能确定
解析：选A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项A正确．
4.
(2013·阜阳高一检测)如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
解析：选C.连接AC(图略)，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
5．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
解析：选A.原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，所以AH⊥△EFH所在平面．
6.
如图，三棱锥P－ABC的四个面中，最多有________个直角三角形．
解析：若PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，则图中四个三角形都是直角三角形．
答案：4
7．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的________．
解析：P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
答案：外心
8．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.
解析：如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC＝12，∴ED＝＝13.
答案：13
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．
解：如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影．
所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．
在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，
AC＝＝ ＝5.
即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.
10.
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.
证明：∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，
∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD?平面AA1B1B，
∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.
∴AD2＋A1D2＝AA，∴ A1D⊥AD.
∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.
1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．
2．在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是 ( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．
3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，
∵m?α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l?γ，由线面垂直的性质得m⊥l.
4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：选C.可画出对应图形(图略)，
则BC∥DF，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，
∴BC∥平面PDF，故A成立；
由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，
∴DF⊥平面PAE，故B成立；
又DF?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．
5．(2013·德州高一检测)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
解析：选D.∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，
AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
∴平面AC⊥平面PAD，平面AC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD.
6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为________．
解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
答案：90°
7.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：连接AC，则AC⊥BD.
∵PA⊥底面ABCD，
BD?面ABCD，∴PA⊥BD.
∵PA∩AC＝A，
∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α 垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1或无数
9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC，求证：平面PAC⊥平面PBD.
证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又∵AO＝OC，PA＝PC，∴PO⊥AC.
∵BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD.
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
10．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，
∴EF是△SAC的中位线，
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∵EF?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD.
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b?α
C．b⊥α D．b与α相交
解析：选C.由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.
2．下列命题中不正确的是( )
A．过平面外一点，只有一条直线和这个平面垂直
B．过平面外一点，只有一条直线和这个平面平行
C．过直线外一点，只有一个平面和这条直线垂直
D．过直线外一点，有无数多个平面和这条直线平行
解析：选B.过一点(平面外)只有一条直线和已知平面垂直，有无数条直线和平面平行；过直线外一点有一个平面和已知直线垂直，有无数个平面和直线平行．
3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．可能有一个，也可能不存在
C．有无数多个 D．一定不存在
解析：选B.当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：选B.如图所示，
连接AC，BD，
∵BD⊥AC，A1C1∥AC，
∴BD⊥A1C1，∵BD⊥A1A，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∵CE?平面ACC1A1，
∴BD⊥CE.
5．(2013·濮阳高一检测)若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )
①l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α?l∥n；
③m⊥α，n?α?m⊥n.
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选C.①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.
又l⊥α，∴n⊥α；
②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；
③正确，由线面垂直的定义可知其正确．
故正确的有3个．
6．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)
解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA， VC⊥VB即可．
答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．
解析：易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，又四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD一定是菱形．
答案：菱形
8．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．
解析：∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，
即l?α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a?平面β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
答案：平行
9．(2013·石家庄高一检测)已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝AD＝4，E为BC的中点．
求证：DE⊥PE.
证明：在△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴AE⊥DE，∵PA⊥平面ABCD，
DE?平面ABCD，∴PA⊥DE.
又PA∩AE＝A，PA?平面PAE，
AE?平面PAE，∴DE⊥平面PAE，
又PE?平面PAE，∴DE⊥PE.
10．如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：
(1)DF∥平面ABC；
(2)AF⊥BD.
证明：(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.
∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE.
又∵CD＝AE.∴FG∥CD，FG＝CD.
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG.
又∵CG?平面ABC，
DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC.
(2)Rt△ABE中，AE＝2a，
AB＝2a，F为BE的中点，∴AF⊥BE.
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.
又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE.
又∵AF?平面ABE，∴DF⊥AF.
∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF.
又∵BD?平面BDF，∴AF⊥BD.
1．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么( )
A．直线a垂直于第二个平面
B．直线b垂直于第一个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面
D．过a的平面必垂直于过b的平面
解析：选C.直线a与直线b均不一定为两面的交线．
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
解析：选D.如图，AB∥l∥m，
AC⊥l，m∥l?AC⊥m，
AB∥l?AB∥β.故选D.
3．(2013·聊城高一评估)如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )
A．一条线段 B．一条直线
C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
解析：选D.∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC?平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AC⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D.
4．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
解析：选B.A中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.
5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面
ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：选A.连接AC1(图略)，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线．因此点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上．
6．(2013·安庆质检)
如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
解析：过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD.
∴∠ADO＝45°.
答案：45°
7．(2013·安庆高一检测)α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
解析：利用面面垂直的判定，可知①③④?②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④?①为真．∴应填“若①③④则②”，或若“②③④则①”．
答案：若①③④则②(或若②③④则①)
8．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
解析：取AB的中点E，连接PE，PA＝PB，
∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，连接CE，所以PE⊥CE.
∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝2，PE＝＝，
CE＝＝，
PC＝＝7.
答案：7
9.
如图，α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，BC?β，DE?β，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.
证明：∵α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，∴AB⊥β.
∵DE?β，∴AB⊥DE.
∵BC⊥DE，AB∩BC＝B，
∴DE⊥平面ABC.
∵AC?平面ABC，∴AC⊥DE.
10．如图：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
