1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
解析：选B.由圆的标准方程可知，圆心为(1，－5)，半径为.故选B.
2．已知定点A(0，－4)，O为坐标原点，以OA为直径的圆C的方程是( )
A．(x＋2)2＋y2＝4 B．(x＋2)2＋y2＝16
C．x2＋(y＋2)2＝4 D．x2＋(y＋2)2＝16
解析：选C.OA的中点(0，－2)即为圆心，其半径为2，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝4.
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A.设圆心坐标(0，b)，则由＝1解得b＝2，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
4．(2013·保定高一检测)圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：选A.∵圆心(－2,0)关于原点的对称点为(2,0)，半径为，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝()2，即 (x－2)2＋y2＝5.
5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：选D.如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，
解得a＝－5，a＝5(舍去)，
∴圆心是(－5,0)．
即圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
6．已知点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则m的取值范围是________．
解析：由题知
∴故m＜－13.
答案：m＜－13
7．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程是________．
解析：将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
答案：(x＋1)2＋(y－2)2＝5
8．一束光线从点A(－1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上，则最短路程是________．
解析：相当于求A′(－1，－1)与圆上点的最近距离，
dmin＝|A′C|－1＝5－1＝4.
答案：4
9．已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
解： (1)∵点M(6,9)在圆上，
∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.
又a＞0，∴a＝.
(2)∵|PC|＝＝，
|QC|＝＝3，
|PC|＞|QC|，故点P在圆外，点Q在圆内，∴3＜a＜.
10．求圆(x＋2)2＋(y－6)2＝1关于直线3x－4y＋5＝0的对称图形的方程．
解：设圆心坐标为(a，b)，则有
解得a＝4，b＝－2.
故圆的方程为(x－4)2＋(y＋2)2＝1.
1．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．0＜m＜1 B．m＞1
C．m＜0 D．m＜1
解析：选D.由题意可得42＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1.
2．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析：选B.把x2＋y2－2x＋6y＋8＝0配方得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，直线2x＋y＋1＝0过圆心．
3．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( )
A.π B．2π
C．2π D．4π
解析：选C.圆的方程配方后可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的半径r＝，∴周长＝2πr＝2π.
4．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点，则( )
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．F＝0，D≠0，E≠0
C．D＝0，F＝0，E≠0 D．E＝0，F＝0，D≠0
解析：选C.由于(0,0)在圆上，代入圆的方程可得F＝0；因为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点，所以圆心的横坐标为0，即－＝0，∴D＝0；由D2＋E2－4F＞0，可得E2＞0，∴E≠0，故选择C.
5．(2013·连云港高一检测)已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
解析：选A.直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，
所以，C到直线AB的最小距离为－1，
S△ABC的最小值为×|AB|×(－1)＝×2×(－1)＝3－.
6．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．
解析：因(x＋1) 2＋(y－2)2＝5－m，
∴r＝＝，∴m＝.
答案：
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，
所以圆心C(1，－1)．
设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得
，解得，
所以点B的坐标为(2，－3)．
答案：(2，－3)
8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．
解析：设Q(x，y)，P(a，b)，
由中点坐标公式，得，
点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，
所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，
化简得(x－)2＋(y－)2＝，
此即为点Q的轨迹方程．
答案：(x－)2＋(y－)2＝
9．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A、B、C三点的坐标代入方程，整理可得
，
解得，
故所求的圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
10．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
解：设动点P的坐标为(x，y)，根据题意可知AP⊥OP，当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)，当x＝0时，y＝0，或y＝2，当x≠1且x≠0时，kAP·kOP＝－1.
∵kAP＝，kOP＝，∴×＝－1，
即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．
点(1,0)，(0,0)，(0,2)适合上式．
综上所述，P点的轨迹是以(，1)为圆心，以为半径的圆．
1．直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：选C.圆心坐标为，半径长r＝，圆心到直线的距离d＝＜r，所以直线与圆是相交的但不过圆心，故选C.
2．设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选C.设l：y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，又l与圆相切，
∴＝1，∴ k＝±.
3．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则该切线方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
解析：选C.设过点M的圆的切线上任一点的坐标为(x，y)，
∵点M(2,1)在圆x2＋y2＝5上，
∴·＝－1，即2x＋y－5＝0.
4．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长等于( )
A．4 B．2
C．2 D.
解析：选C.∵直线y＝kx过圆心(0,0)，
∴所求弦长总是直径2r＝2.
5．(2013·莱芜高一检测)圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，那么这个圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
解析：选A.圆心到直线的距离d＝＝.
R2＝d2＋()2＝4，∴R＝2.
6．直线ax＋by＋b－a＝0与圆x2＋y2－x－3＝0的位置关系是________．
解析：直线方程化为a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．
答案：相交
7．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为________．
解析：设直线l被圆截得的弦为AB，AB中点为M，O为圆心．
则△OAM为直角三角形，|OA|＝r＝.
|OM|＝＝1，
∴|AM|＝
＝＝2.
∴|AB|＝2|AM|＝4.
答案：4
8．(2013·湛江高一检测)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．
解析：令y＝0，得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，即为圆心，因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA，PB的方程；
(2)过P点的圆C的切线长．
解：(1)切线的斜率存在，设切线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圆心到直线的距离等于，即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切线方程为y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
(2)在Rt△PAC中，PA2＝PC2－AC2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，
∴过P点的圆C的切线长为2.
10．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解：设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半径长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
1．两圆x2＋y2－4x－6y＋9＝0与x2＋y2＋12x＋6y－19＝0的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．相离
解析：选B.⊙O1为(x－2)2＋(y－3)2＝4，
⊙O2为(x＋6)2＋(y＋3)2＝64，
∴两圆圆心O1(2,3)，O2(－6，－3)，
∴|O1O2|＝＝10，
r＋R＝2＋8＝10，
∴|O1O2|＝R＋r，
∴两圆相外切．
2．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选C.⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＝13，
∴r－R<|O1O2|∴两圆相交．
∴公切线有2条．
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：选A.AB方程为4x－4y＋1＝0，
∴垂直平分线k＝－1，又过圆心(1,0)．
∴直线方程为x＋y－1＝0.
4．(2013·唐山高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(x＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7) 2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析：选D.若内切，则有＝4－1＝3，即(x－5)2＋(y＋7)2＝9；若外切，则有＝4＋1＝5，即(x－5)2＋(y＋7)2＝25.
5．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是( )
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
解析：选C.由于M∩N≠?，说明直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)相交，画图(图略)可知－36．与圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a＝________.
解析：利用两圆圆心连线与轴垂直，连线中点在轴上，可得a＝2.
答案：2
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到公共弦所在的直线方程为y＝，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，解得a＝1.
答案：1
8．(2012·高考江西卷)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
解析：设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，则|PO|＝2，由可得
答案：(，)
9．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程．
解：公共弦所在直线的斜率为，已知圆的圆心坐标为(0，)，故两圆圆心所在直线的方程为y－＝－x，即3x＋2y－7＝0.
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由
解得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0.
10．求过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的圆的切线方程．
解：设x0≠a，且y0≠b，所求的切线斜率为k，则由圆的切线垂直于过切点的半径，得k＝－＝－.
故切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
整理，得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)2＋(y0－b)2.
因为M(x0，y0)在圆上，所以(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
即(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
当x0＝a或y0＝b时，经验证上式仍成立．
故经过圆上一点M的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
1．点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上 B．xOy面上
C．xOz面上 D．yOz面上
解析：选C.本题主要考查空间坐标的特点，由点P的坐标y＝0知，该点在xOz面上．
2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
解析：选A.点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x坐标相同，而y、z坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
3．已知点B是A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则AB等于( )
A．10 B.
C. D．38
解析：选A.点B坐标为(2，－3，－5)，∴|AB|＝＝10.
4．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )
A．(6,0,0) B．(6,0,1)
C．(0,0,6) D．(0,6,0)
解析：选A.设P(x,0,0)，|PA|＝，|PB|＝，由|PA|＝|PB|，得x＝6.
5．(2013·东莞高一检测)已知△ABC顶点坐标分别为A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(，，3)，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.∵|AB|＝5，|BC|＝，|AC|＝，
∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，
∴△ABC为直角三角形．
6．点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是________．
解析：∵点P在x轴上，设点P(x,0,0)，
则|PP1|＝＝，
|PP2|＝＝.
∵|PP1|＝2|PP2|，
∴＝2，解得x＝±1.
∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
答案：(1,0,0)或(－1,0,0)
7.
如图所示，为一个正方体裁下的一角P－ABC.|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.则△ABC的重心G的坐标为________
解析：△ABC的重心G在xOy平面上的射影G′是△PAB的重心，其坐标为(，，0)，而|G′G|＝|PC|，∴G(，，)．
答案：(，，)
8．点A(1－t,1－t，t)和B(2，t，t)的距离的最小值为________．
解析：|AB|2＝(1－t－2)2＋(1－t－t)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2.当t＝时，|AB|＝，即|AB|min＝.
答案：
9.
如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
解：由题意得：A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
设D(x，y,0)，在Rt△AOC中，OA＝2，OC＝3，|AC|＝，
∴|OD|＝＝.
在Rt△ODA中，|OD|2＝x·|OA|，∴x＝.
在Rt△ODC中，|OD|2＝y·|OC|，∴y＝.
∴D(，，0)，∴O1D＝＝＝.
10．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．
(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
(2)若xOz平面内的点M到点A的距离与到点B的距离相等，求点M的坐标满足的条件．
解：(1)由于点P在x轴上，故可设P(a,0,0)，
由|PA|＝|PB|，得＝，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，
解得a＝1，所以点P的坐标为P(1,0,0)．
(2)由于点M在平面xOz内，故可设M(x,0，z)，
由|MA|＝|MB|，
得＝，
即x＋3z－1＝0.
所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0.
