1．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．只有2条 D．1条或2条或3条
解析：选D.当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线；当β∥γ时，α与β和γ各有1条交线，共有2条交线；当β∩γ＝b，α∩β＝a，α∩γ＝c时，有3条交线．
2．(2013·常州高一检测)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．
(1)A?a，a?α________；
(2)α∩β＝a，P?α且P?β________；
(3)a?α，a∩α＝A________；
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.
解析：(1)图C符合A?a，a?α.
(2)图D符合α∩β＝a，P?α且P?β.
(3)图A符合a?α，a∩α＝A.
(4)图B符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O.
答案：(1)C (2)D (3)A (4)B
3.
如图，三个平面α、β、γ两两相交得到三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．
证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.
由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a、b、c三条直线相交于同一点．
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明：如图．
(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R三点共线．
1．四面体ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与BC所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B.如图，取BD的中点G，连接EG，FG，则∠EFG(或其补角)为异面直线EF与BC所成的角．
∵EG＝AD，GF＝BC，AD＝BC，
∴EG＝GF.
∵AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，
∴EG⊥GF，
∴△EGF为等腰直角三角形．
∴∠EFG＝45°.故选B.
2．G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH， MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
解析：对于①，连接GM，显然四边形GMNH是平行四边形；对于③，连接GM，易知GM∥HN，故①③中GH与MN共面；②④中GH与MN是异面的．
答案：②④
3．如图所示，两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)证明：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2)求的值．
解：(1)证明：∵AA′与BB′相交于O点，且＝.
∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，因此△ABC∽△A′B′C′，
又＝＝.∴＝()2＝.
4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.
解：连接CD1，AC.
由题意得四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝AC.
∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，
∴AD1＝AC＝3，
∴AA1＝
＝＝.
1．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
解析：选D.由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．
2．若a与b相交，则过a与b平行的平面有________个；
若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个．
解析：当a与b相交时，设a∩b＝N，过a的平面为α，则N∈b，且N∈α，所以直线b与平面α有公共点，故b不可能与α平行，所以过a与b平行的平面有0个；当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个．
答案：0 1
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为B1C1、A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交．
证明：
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，
∴EC与B1B不平行，
则延长CE与BB1的延长线必相交于一点H，
∴H∈EC，H∈B1B，
又知B1B?平面ABB1A1，
CE?平面CDFE，
∴H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，
故平面ABB1A1与平面CDFE相交．
4．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？
解：三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．
1．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选B.①连接AC，AC∥MN，BC∥PN可得出面ACB∥面MPN.∴AB∥面MPN；④AB∥PN，∴AB∥面PMN；②③AB与面PMN不平行．
2．给出下列四个命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若m、n为直线，α为平面，且m∥α，n∥α，则m∥n；
③若m、n为直线，α为平面，且m∥n，m∥α，则n?α；
④若m、n为直线，α为平面，且m∥α，n?α，则m∥n.
其中不正确的命题的序号是__________．
解析：对于①，两平行直线在同一平面上的射影可能是两条重合直线，故①不正确；对于②，m，n可能平行或相交或异面，故②错；对于③，有n在平面外的情况，故③错；对于④，m与n可能异面，故④错．
答案：①②③④
3．已知点S是△ABC所在平面外的一点，G是AB上任一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，如图，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．
解：SG∥平面DEF.
证明如下：连接CG，交DE于点H，连接FH，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，
且DH∥AG，
∴H为CG的中点，
∵F是SC的中点，
∴FH是△SCG的中位线，
∴FH∥SG.
又SG?平面DEF，FH?平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
4．如图所示，四边形ABCD、四边形ADEF都是正方形，M∈BD，N∈AE，且BM＝AN.
求证：MN∥平面CDE.
证明：法一：如图所示，作MK⊥CD于K，NH⊥DE于H.因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形，所以BD＝AE，
又因为BM＝AN，
所以MD＝NE，
又因为∠MDK＝∠NED＝45°，
∠MKD＝∠NHE＝90°，
所以△MDK≌△NEH，所以MK＝NH.
又因为MK∥AD∥NH，
所以四边形MNHK是平行四边形，所以MN∥KH.
又因为MN?平面CDE，KH?平面CDE，所以MN∥平面CDE.
法二：如图所示，连接AM并延长交CD所在直线于G，连接GE.
因为AB∥CD，
所以＝，
因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形．
所以BD＝AE，又BM＝AN，
所以＝，所以MN∥GE，
又因为GE?平面CDE，MN?平面CDE.
所以MN∥平面CDE.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A．面ABB1A1 B．面BCC1B1
C．面BCFE D．面DCC1D1
解析：选C.
取AB、DC的中点E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1.
故面A1E1F1D1∥面BCFE.
2．已知a和b是异面直线，且a?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
解析：点b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l?β，
∵a∥β，∴a与l无公共点，
∴a∥l，∴l∥α.
又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
答案：平行
3．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
解：能．
取AB，C1D1的中点M，N，
连接A1M，MC，CN，NA1.
∵A1N綊PC1綊MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H.
∵A1M＝A1N＝，MN＝2，
∴A1H＝.
∴S△A1MN＝×2×＝.
故S?A1MCN＝2S△A1MN＝2.
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面
ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，
所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
1．如图，四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A． 2＋
B．3＋
C．3＋2
D．2＋2
解析：选C.∵AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∴四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB.
又CD?平面SAB，AB?平面SAB，
∴CD∥平面SAB.
又CD?平面CDEF，
平面CDEF∩平面SAB＝EF，
∴CD∥EF.∴EF∥AB.
又∵E为SA的中点，∴EF＝AB＝1.
又∵△SAD和△SBC都是等边三角形，
∴DE＝CF＝2×sin 60°＝，
∴四边形DEFC的周长为CD＋DE＋EF＋FC＝2＋＋1＋＝3＋2.
2.
如图，四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
解析：∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC.
∴EF＝HG＝·m.同理，EH＝FG＝·n.
∵四边形EFGH是菱形，∴·m＝·n，
∴AE∶EB＝m∶n.
答案：m∶n
3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．
解：如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，MO，则截面MAC，即为所求的截面．
∵MO为△D1DB的中位线，
∴D1B∥MO.
∵D1B?平面MAC，MO?平面MAC，
∴D1B∥平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面．
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B、B1重合)．PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.
求证：MN∥平面ABCD.
证明：如图，连接AC、A1C1，
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
∴四边形ACC1A1是平行四边形．
∴AC∥A1C1.
∵AC?平面A1BC1，
A1C1?平面A1BC1，
∴AC∥平面A1BC1.
∵AC?平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，
∴AC∥MN.
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD.
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1与CC1的中点，则经过P、B、Q三点的截面是( )
A．邻边不相等的平行四边形
B．菱形但不是正方形
C．矩形
D．正方形
解析：选B.设经过P、B、Q三点的截面为平面γ，由平面ABB1A1∥平面DCC1D1知，平面γ与两平面的交线平行．连接D1Q，D1P，取D1D中点M，连接CM，可证得D1Q綊MC，MC綊BP，所以D1Q綊BP，同理BQ綊PD1，
故四边形BQD1P为所求截面．
由条件可得四边形BQD1P中，
BQ＝QD1＝D1P＝PB，但PQ≠BD1，
所以截面四边形为菱形，但不是正方形．
2．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，平面α交PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若＝，则＝________.
?
A′B′∥AB，
同理B′C′∥BC，又射线A′B′与射线AB、射线B′C′与射线BC方向分别相同．
∴∠A′B′C′＝∠ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴＝2＝2＝.
答案：
3．已知：平面α，β，γ满足α∥β，β∥γ.
求证：α∥γ.
证明：在平面α内任取两条相交直线a，b，分别过a，b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′，b′.
∵α∥β，∴a∥a′，b∥b′.
又∵β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，
∴a∥a″，b∥b″，∴α∥γ.
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明：过E，F分别作AB，BC的垂线EM，FN分别交AB，BC于M，N，连接MN.
∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN.
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN.
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
1．(2013·台州高一检测)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.法一：如图，设正方体的棱长为1，上下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，cos∠O1OD1＝＝＝.
法二：画出图形，如图，
BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直且相等得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的重心，即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝＝.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是__________．
解析：BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点，均有AP⊥BD1.
答案：B1C
3．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥平面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB，SC，SD于E，K，H，求证：E是点A在直线SB上的射影．
证明：∵?
SA⊥BC.
又∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB.AE?平面SAB，
∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AHKE，∴SC⊥AE.
又BC∩SC＝C，∴AE⊥平面SBC.
∵SB?平面SBC，
∴AE⊥SB，即E为A在SB上的射影．
4.
如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，
∴NE∥CD且NE＝CD，
而AM∥CD，
且AM＝AB＝CD，
∴NE∥AM且NE＝AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.
(2)由(1)可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，
∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD.
又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.
1．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选B.连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
2．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以，其原理是________________________________________________________________________．
解析：如图：
因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA?α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.
答案：面面垂直的判定定理
3．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.
∵DE∥ BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
4.
如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°.
(1)求证：AF∥平面PEC；
(2)求证：平面PEC⊥平面PCD.
证明：(1)如图所示，取PC的中点G.连接EG、FG.
∵F为PD的中点，
∴GF綊CD.
又∵E为AB的中点，
∴GF綊AE.
∴AEGF为平行四边形，
∴AF∥GE.
∵EG?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
(2)∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又ABCD为矩形，CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，得CD⊥平面PAD，CD⊥PD.
∴∠PDA为二面角P－CD－B的平面角．
∠PDA＝45°，从而AF⊥PD.
又∵CD⊥AF，PD∩CD＝D，
∴AF⊥平面PCD.
由(1)知AF∥EG，∴EG⊥平面PDC.
又EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.
1.
如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：选D.由AC⊥BD，AC⊥SD，且BD∩SD＝D，得AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确．由AB∥CD，
∴AB∥平面SCD，故B正确．记AC与BD交于点O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成的角，
∠CSO为SC与平面SBD所成的角，可证明△SAO≌△SCO，∴SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确．显然D错误．
2．一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm，这条线段与平面α所成的角是________．
解析：如图：作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于点O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
答案：30°
3．过锐角△ABC的垂心H，作PH⊥平面ABC，且使∠APB＝90°.
求证：△BPC和△APC都是直角三角形．
证明：如图．
∵H为△ABC的垂心，
∴BH⊥AC.
又PH⊥AC，PH∩BH＝H，
∴AC⊥平面PBH，∴AC⊥PB.
又BP⊥AP，AP∩AC＝A，
∴BP⊥平面PAC，∴BP⊥PC.
∴△BPC是直角三角形．
同理可证△APC是直角三角形．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．求证：
(1)B1D⊥平面A1C1B；
(2)B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心．
证明：(1)连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.
又有DD1⊥A1C1，B1D1∩DD1＝D1，
∴A1C1⊥平面B1DD1，B1D?平面B1DD1，从而A1C1⊥B1D.
同理可证：A1B⊥B1D.A1C1∩A1B＝A1，
∴B1D⊥平面A1C1B.
(2)连接BO，A1O，C1O.
由BB1⊥A1C1，B1O⊥A1C1，得到A1C1⊥平面BB1O.
∴A1C1⊥BO.
同理，A1B⊥C1O，BC1⊥A1O.
故点O是△A1C1B的垂心．
1．如图(1)所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠DCB＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD(如图(2)所示)，则在四面体ABCD中，下列说法正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D.∵∠BAD＝90°，
∴AD⊥AB.
又∵∠BCD＝45°，AB＝AD，
∠BAD＝90°，
∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，
即BD⊥CD.
而平面ABD⊥平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
∴CD⊥AB，又AD∩CD＝D，
∴AB⊥平面ACD，
∴平面ABC⊥平面ADC.
2．平面四边形ABCD，其中AB＝AD＝1，BC＝CD＝，AB⊥AD，沿BD将△ABD折起，使得AC＝1，则二面角A－BD－C的平面角的正弦值为________．
解析：取BD中点E，
连接AE，CE.∵AB＝AD，
BC＝CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD，
∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．
△DAB中，AB＝AD＝1，AB⊥AD，
∴AE＝.
△BCD中，BC＝CD＝，BD＝，
∴CE＝.又AC＝1，
∴△AEC中，AE2＋AC2＝CE2，∠EAC＝90°.
∴sin∠AEC＝＝＝.
答案：
3．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．
解：连接BC.
∵α⊥β，α∩β＝AB，
BD⊥AB，
∴BD⊥平面α.
∵BC?α，∴ BD⊥BC，
在Rt△BAC中，
BC＝＝＝5，
在Rt△DBC中，
CD＝＝＝13，
∴CD长为13 cm.
4．等边三角形△ABC的边长为a，AD为BC上的高，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ.设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少？
解：∵平面APQ⊥平面PBCQ，
又AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，从而AR⊥RB.
在直角三角形BRD中，BR2＝BD2＋RD2＝(a)2＋(a－x)2，AR2＝x2，故d2＝BR2＋AR2＝2x2－ax＋a2(0
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )
A．0条 B．1条
C．无数条 D．不确定
解析：选C.平面α内与a垂直的有无数条直线．
2.
如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
解析：选C.D∈l，l?β，∴D∈β，
又C∈β，∴CD?β；
同理，CD?平面ABC，
∴平面ABC∩平面β＝CD.故选C.
3．设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( )
A．若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α
B．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α
C．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
解析：选D.对于选项D，当直线m位于平面β内且与平面α、β的交线平行时，直线m∥α，显然m与平面β不垂直．因此选项D不正确．
4．已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A.取BC的中点G，则EG＝1，FG＝2，EF⊥EG，则EF与CD所成的角∠EFG＝30°，故选A.
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
解析：选D.①错，只有一个平面内有两条相交直线与另一个面平行时，才能得出这两个面互相平行．③错，比如a⊥α，b?α，c?α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故②④正确．
6．设平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，且A，B，C均不在直线l上，给出四个命题：
①?α⊥β；
②?α⊥平面ABC；
③?l⊥平面ABC；
④AB∥l?l∥平面ABC.
其中正确的命题是( )
A．①与② B．②与③
C．①与③ D．②与④
解析：选D.∵l⊥AC，l⊥BC，∴l⊥平面ABC，
又l?α，∴α⊥平面ABC，故②正确；
∵AB∥l，A，B，C不在l上，
AB?平面ABC，
∴l∥平面ABC，故④正确．
故选D.
7．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是( )
①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；
②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直；
③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．
A．①② B．②③
C．只有③ D．只有②
解析：
选C.①②都不符合线面垂直的条件．对于③，如图．
PO为旗杆．
PA、PB、PC为细绳，连接AB，取AB的中点M，由于PA＝PB，OA＝OB，
∴AB⊥PM，AB⊥OM，
∴AB⊥平面PMO，
∴AB⊥PO.
同理BC⊥PO.
又∵AB∩BC＝B，∴PO⊥底面．
8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan θ＝，所以二面角为60°，选C.
9．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D.如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，
在Rt△ABB1中，
B1B＝AB·tan 60°＝.
所以AA1＝BB1＝.
10．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.取AC的中点E，取CD的中点F，EF＝，BE＝，BF＝，结合图形知二面角A－CD－B的余弦值cos θ＝＝.
二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．
解析：设AC∩BD＝O，则翻折后AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC即为二面角的平面角，则∠AOC＝120°，且AO＝1，所以d＝1×sin 60°＝.
答案：
12．如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为________．
解析：连接PO，则PO∥SA，
∴∠OPD即为异面直线SA与PD所成的角，
且△OPD为直角三角形，∠POD为直角，
∴tan∠OPD＝＝＝.
答案：
13．若A、B、C表示三个不同的点，l表示一条直线，α表示一个平面，则在下列四个命题中：①若l?α，C∈α，则C∈l；②若A∈l，B∈l，且B?α，则l?α；③若l?α，C∈l，则C∈α；④若l?α，C∈l，则C?α.正确的命题有________(把所有正确命题的序号都填上)．
解析：①错误，直线l在平面α内，不能得到在平面α内的一点C一定在直线l上；②正确，若直线l上一点B不在平面α内，则直线l不可能在平面α内，否则，若直线l在平面α内，可得点B也在平面α内，与题意矛盾；③正确，直线l在平面α内，C是直线l上一点，则点C必在平面α内；④错误，直线l不在平面α内，则直线l与平面α可能有一个公共点C或没有公共点．
答案：②③
14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
解析：命题①，如图，取BD中点E，连接AE、CE，
有BD⊥AE，BD⊥CE.
所以BD⊥平面ACE，
所以BD⊥AC.
命题②，设正方形的边长为a，
所以AE＝EC＝a，
∵△AEC为直角三角形，∴AC＝a，
∴△ACD为等边三角形．
命题③，平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD，
所以∠ABE即为AB与平面BCD所成的角，∠ABE＝45°，
故该命题错误，命题④正确．
答案：①②④
15．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是________．
解析：如图，在△ABD内，作AH⊥BD于H，
∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴AH⊥平面BCD.
又BC?平面BCD，
∴BC⊥AH.
又∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DA⊥BC.又AH∩DA＝A，
∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AB，
故△ABC是以∠B为90°角的直角三角形．
答案：直角三角形
三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
证明：(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
17．在所有棱长都相等的斜三棱柱ABC－DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O，且AB＝AE，连接AO.
(1)求证：AO⊥平面BCFE.
(2)求证：四边形BCFE为正方形．
证明：(1)因为BCFE是菱形，所以BF⊥EC，
又BF⊥AE，所以BF⊥平面AEC，
所以BF⊥AO.
因为AE＝AB＝AC，OE＝OC，所以AO⊥EC，
又BF∩EC＝O，
所以AO⊥平面BCFE.
(2)因为AO⊥平面BCFE，所以AO⊥OE，AO⊥OB，
又因为AE＝AB，所以OE＝OB，
所以EC＝BF，
所以BCFE为正方形．
18．底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.
问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC?
证明你的结论．
解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，过点B作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理GF∥平面AEC，
又BG∩GF＝G，
∴平面BFG∥平面AEC，BF?平面BFG.
∴BF∥平面AEC.
下面求点F在PC上的具体位置：
∵BG∥OE，O是BD的中点，
∴E是GD的中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，
∴G是PE的中点．
而GF∥CE.∴F为PC的中点．
综上可知，存在点F，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
19．如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示．
(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求四面体A－DBC的外接球体积与四棱锥D－ABFE的体积之比．
解：(1)AB∥平面DEF，理由如下：
∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴AB∥EF，
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF.
(2)以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A－DBC的外接球即为长方体的外接球．
设球的半径为R，则a2＋a2＋3a2＝(2R)2，
∴R2＝a2，
于是球的体积V1＝πR3＝πa3.
又VA－BDC＝S△BDC·AD＝a3，
VE－DFC＝S△DFC·AD＝a3，
∴＝＝.
20．已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若点E为PC的中点，AC∩BD＝O，求证EO∥平面PAD；
(3)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．
解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.
∴VP－ABCD＝S?ABCD·PC＝.
(2)证明：∵EO∥PA，EO?平面PAD，PA?平面PAD.
∴EO∥平面PAD.
(3)不论点E在何位置，都有BD⊥AE，
证明如下：∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC，又∵AC∩PC＝C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.
1．(2012·高考浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
答案：B
2．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为( )
A．180° B．120°
C．60° D．45°
解析：选C.折叠后如图所示，连接AB，BC，CA，则它们分别为正方形的对角线．
∴△ABC为正三角形，故∠ABC＝60°.
3．已知m，l是异面直线，那么：①必存在平面α过m且与l平行；②必存在平面β过m且与l垂直；③必存在平面γ与m，l都垂直；④必存在平面π与m，l距离都相等．其中正确的序号为________．
解析：②中要求m与l垂直，③中要求m与l平行，但题中没有这样的已知条件，所以②③都是错误的．
答案：①④
4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为________．
解析：利用三棱锥A1－AB1D1的体积变换：VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，则×2×4＝×6×h，h＝.
答案：
5．(2012·高考辽宁卷)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积．
(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)
解：(1)证明：法一：连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′的中点．
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
法二：取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，
因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，
所以MP∥AA′，PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，
所以MN∥平面A′ACC′.
(2)法一：连接BN，由题意知A′N⊥B′C′，
平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，
所以A′N⊥平面NBC.
又A′N＝B′C′＝1，
故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝.
法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝.
6.
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．
(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
解：(1)因为C1D1∥B1A1，
所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．
因为A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥B1M，即∠A1B1M＝90°.
而A1B1＝1，B1M＝＝，
故tan∠MA1B1＝＝，
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.
(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM?平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①
由(1)知，B1M＝，又BM＝＝，B1B＝2，
所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②
又A1B1∩B1M＝B1，再由①②得BM⊥平面A1B1M，而BM?平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M.
