1．如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0，] D．[0,3]
解析：选B.过点 (1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．
2．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
解析：∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kBC，即＝，
∴a＝2或.
答案：2或
3．已知经过点A(m,2)，B(－m,2m－1)(m≠0)的直线的倾斜角α∈(45°，60°)，试求实数m的取值范围．
解：∵α∈(45°，60°)，∴k∈(1，)．又∵k＝＝，∴1<<，解得4．已知3x＋5y＋14＝0，其中x∈[－3,2]．求的最小值．
解：由已知3x＋5y＋14＝0，x∈[－3,2]得线段的两个端点A(－3，－1)，B(2，－4)．而可以看作线段AB上的点与点(－1，－2)连线斜率的绝对值，记P(－1，－2)，则kPA＝－，kPB＝－.当3x＋5y＋14＝0，x∈[－3,2]时，k＝，k∈，∴ |k|min＝，即的最小值是.
1．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点所组成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
解析：选B.观察知连接后各边所在直线斜率都存在．∵kAB＝＝，kCD＝＝，∴AB∥CD.又kAD＝＝－3，kBC＝＝－，∴AD与BC不平行，且AD⊥CD，所以四边形ABCD为直角梯形．
2．过点A(0，)，B(7,0)的直线l1与过(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为________．
解析： 若l1和l2与坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l1⊥l2，kl1＝＝－，kl2＝＝k. 由kl1·kl2＝－1，得k＝3.
答案：3
3．已知△ABC的顶点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，求△ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标．
解：∵B(－1，－1)，C(2,1)，∴kBC＝＝，BC上的高AD的斜率kAD＝－，设D(x，y)，由kAD＝＝－及kBD＝＝kBC＝，得到x＝，y＝，则D(，)．
4．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．
解：l1的斜率存在，且k1＝＝a，当a≠0时，l2的斜率k2＝＝，
∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即a×＝－1得a＝1.
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2，
综上可知，实数a的值为1或0.
1．(2013·珠海高一评估)把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是( )
A．y＝－x B．y＝x
C．x－y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
解析：选B.已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l的斜率为tan α＝tan 60°＝，∴l的方程为y－＝(x－1)，即y＝x.
2．直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
解析：将直线方程y－m＝(m－1)(x＋1)变形为y＝(m－1)x＋(2m－1)，由于l在y轴上的截距为7，则2m－1＝7，解得m＝4.
答案：4
3．已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．
解：由题意可设所求直线方程为y＝kx－3(k≠0)，则直线l与两坐标轴的交点为(，0)，(0，－3)，它与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×3×＝6，所以k＝±，故所求直线l的方程为y＝x－3或y＝－x－3.
4．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．
解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.
1．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于( )
A．2 B.
C．－2 D．1
解析：选B.由题意知，三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则点A在过点B(a,0)，C(0，b)的直线上，∵直线BC的方程为＋＝1.∴＋＝1，
即＋＝，故选B.
2．(2013·镇江高一检测)直线l过点M(－1,2)，且与x轴，y轴交于A、B两点，若M恰为AB的中点，则直线l的方程为__________．
解析：由M(－1,2)恰为AB的中点知，A(－2,0)，B(0,4)，由截距式得直线l的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3．直线4x＋3y＋d＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求此直线在x轴上的截距．
解：因为直线方程为4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0，y＝0得直线在y轴，x轴上的截距分别为－，－.
∴×|－|×|－|＝6解得d＝±12，
∴直线在x轴上的截距为3或－3.
4．直线l过点P(4,1)，
(1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
解：(1)直线l的方程为＝，化简，得x＋y－5＝0.
(2)设直线l的方程为y－1＝k(x－4)，l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，故1－4k＝2(4－)，得k＝或k＝－2，直线l的方程为y＝x或y＝－2x＋9.
1．下列说法中不正确的是( )
A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为－1
B．如果方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0
C．Ax＋By＋C＝0和2Ax＋2By＋C＋1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2＋B2≠0且C≠1
D．与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程可设为Bx＋Ay＋m＝0(m为参数)
解析：选D.A、B正确，C利用直线平行的等价条件可知也正确，D中与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程一般设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数)的形式．
2．直线x－y＋1＝0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是____________．
解析：由题设知P(3,4)，l的倾斜角为45°＋90°＝135°，
∴tan 135°＝－1.
故所求直线方程为y－4＝－(x－3)，即x＋y－7＝0.
答案：x＋y－7＝0
3．直线ax－6y－12a＝0(a≠0)在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求a值及直线的斜率．
解：∵a≠0，∴ax－6y－12a＝0可化为－＝1.
∴它在x轴和y轴上的截距分别为12和－2a，
则12＝－6a，a＝－2.
此时直线的方程为x＋3y－12＝0，
化为斜截式为y＝－x＋4.
∴a＝－2，直线的斜率为－.
4．直线过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6.
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意可知，a＋b＋＝12.①
又∵过点P(，2)，∴＋＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意可知ab＝12，＋＝1，
整理得a2－6a＋8＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在这样的直线，同时满足(1)(2)两个条件的直线方程为3x＋4y－12＝0.
1．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(1，－) D．(－2,0)
解析：选B.将直线化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线过定点(－2,3)．故选B.
2．(2013·南昌高一检测)若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a应满足的条件是________．
解析：解方程组，
得，即两直线的交点坐标为(－3,2)．依题意知，实数a满足的条件为，解得.
即实数a满足的条件为a∈R，且a≠且a≠3且a≠－6.
答案：a≠且a≠3且a≠－6
3．△ABC的一个顶点A(1,2)，它的两条高所在直线为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，求BC边的长．
解：显然点A(1,2)不在两条高上，设过A且与直线2x－3y＋1＝0垂直的直线为3x＋2y＋m＝0，此即为AC所在直线方程，将A(1,2)代入解得m＝－7，即lAC：3x＋2y－7＝0，同理可求得AB所在直线方程lAB：x－y＋1＝0，
解方程组得
解方程组得
∴B(－2，－1)，C(7，－7)．
∴|BC|＝＝3.
故BC边的长为3.
4．过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．
解：法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y＝kx＋1，若与两已知直线分别交于A，B两点，
则解方程组和.
可得xA＝，xB＝.
由题意＋＝0，
∴k＝－.故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
法二：设所求直线与两已知直线分别交于A、B两点，点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．
又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，
所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.
1．若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是( )
A．[－11，－1] B．[－11,0]
C．[－11，－ 6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
解析：选C.将y＝－2x－k－2化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意有0<≤，∴0<|k＋6|≤5.
∴－11≤k≤－1且k≠－6.故选C.
2．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________________．
解析：设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
答案：
3．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)．
(1)求BC边的高所在直线方程；
(2)求△ABC的面积S.
解：(1)设BC边的高所在直线为l，
由题知kBC＝＝1，则kl＝－1，
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1 (x＋1)，
即x＋y－3＝0.
(2)BC所在直线方程为：
y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1,4)到BC的距离
d＝＝2.
又|BC|＝＝4，
则S△ABC＝·|BC|·d
＝×4×2＝8.
4．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：4x－2y－1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得点P同时满足以下三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离的比是∶.若能满足条件，求点P坐标；若不能，说明理由．
解：(1)直线l2：2x－y－＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝，
∴＝.∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．若点P满足条件②，设点P在与l1，l2平行的直线2x－y＋c＝0上，且＝·.解得c＝或c＝.∴直线方程为2x0－
y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·.∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0(舍去)．联立2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得x0＝－3，y0＝(舍去)；联立2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得x0＝，y0＝.综上所述，P(，)为同时满足三个条件的点．
(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．135°
解析：选D.由题意知，k＝－1，故倾斜角为135°.
2．已知直线的斜率k＝－，且直线不过第一象限，则直线的方程可能是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
解析：选B.∵k＝－，排除A、D，又直线不过第一象限，在y轴上截距小于0，故选B.
3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为( )
A．－3 B．－6
C. D.
解析：选B.由题意得a·(－1)－2·3＝0，∴a＝－6.
4．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
解析：选A.由所求直线垂直于直线x－2y＋3＝0，可得所求直线的斜率为k＝－2，则由直线方程的点斜式可得所求直线为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.
5．不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点( )
A. B．(－2,0)
C．(2,3) D．(9，－4)
解析：选D.将所给直线方程分解后按是否含参数进行分类，得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0.所以直线过两直线的交点，即解之，得所以直线恒过定点(9，－4)．
6．若动点P到点F(1,1)和直线3x＋y－4＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为( )
A．3x＋y－6＝0 B．x－3y＋2＝0
C．x＋3y－2＝0 D．3x－y＋2＝0
解析：选B.点F(1,1)在直线3x＋y－4＝0上，则过点F(1,1)且垂直于已知直线的直线为所求．
7．直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程为( )
A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0
解析：选D.当l⊥AB时符合要求，∵kAB＝＝，
∴k1＝－3，∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，
即3x＋y－13＝0.
8．已知直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p等于( )
A．0 B．4
C．20 D．24
解析：选A.由两直线垂直得－·＝－1，
解得m＝10.直线为10x＋4y－2＝0.
又∵垂足为(1，p)，∴10＋4p－2＝0，
∵p＝－2，∴2＋10＋n＝0，∴n＝－12.
∴m＋n－p＝10－12＋2＝0.
9．已知△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析：选B.由两点间距离，得
|AB|＝＝，
|AC|＝＝5，
|BC|＝＝，
∴|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，
∴△ABC为直角三角形．
10．直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(4,0)为端点的线段相交，则l的斜率的取值范围是( )
A.
B.∪(0,5]
C.∪[5，＋∞)
D.∪
解析：选C.设l，PA，PB的倾斜角分别为θ，α1，α2，∵l与线段AB相交，∴α1≤θ≤α2，又tan α1＝5，tan α2＝－，且α1∈，α2∈，∴k≥5或k≤－.
二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．△ABC中，点A(4，－1)，AB的中点为M(3,2)，重心为P(4,2)，则边BC的长为________．
解析：∵B(2,5)，C(6,2)，∴|BC|＝5.
答案：5
12．平行四边形ABCD的三个顶点依次为A(3，－2)，B(5,2)，C(－1,4)，则D点坐标是________．
解析：设D(x，y)，则kAD＝kBC，kAB＝kCD，
即
解之，得即D(－3,0)．
答案：(－3,0)
13．已知点A(－2,4)与直线l：x＋y＋4＝0，P是直线l上一动点，则|PA|的最小值为________．
解析：当PA⊥l时，PA最小，即为点A到直线l的距离，所以|PA|的最小值为＝3.
答案：3
14．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与(－2,0)重合，且点(2 011,2 012)与点(m，n)重合，则n－m＝________.
解析：∵(－2,0)与(0,2)两点重合，
∴这张纸的折痕为y＝－x.
∴(2 011,2 012)与(－2 012，－2 011)重合，
故n－m＝(－2 011)－(－2 012)＝1.
答案：1
15．已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．
解析：点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，且m2＋n2为直线上的点到原点的距离的平方．当两直线垂直时，距离最小．故d＝＝＝＝2，所以m2＋n2≥4.
答案：4
三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y轴上的截距为－10.
解：由于直线y＝－x＋1的斜率为－1，所以其倾斜角为135°，由题意知所求直线的倾斜角为45°，所求直线的斜率k＝1.
(1)由于直线过点(－4,1)，由直线的点斜式方程得y－1＝x＋4，即x－y＋5＝0.
(2)由于直线在y轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y＝x－10，即x－y－10＝0.
17．已知点A(1,1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标．
解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－18t＋10.当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，即P.
18．已知正方形的中心为G(－2,0)，一边所在直线方程为x＋3y－4＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：正方形中心G(－2, 0)到四条边的距离均为＝.
设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x＋3y＋c1＝0(c1≠－4)，则＝，即|c1－2|＝6，解得c1＝－4(舍去)或c1＝8，所以与已知直线平行的边所在直线的方程为x＋3y＋8＝0.设正方形另一组对边中的一边所在直线的方程为3x－y＋c2＝0，则＝，即|c2－6|＝6，解得c2＝0或c2＝12，所以正方形另两边所在直线的方程为3x－y＋12＝0,3x－y＝0.
19．已知直线l1：y＝2x，直线l：y＝3x＋3.求l1关于l的对称直线l2的方程．
解：法一：由，解得.
∴l1与l的交点为P(－3，－6)，且此点在所求直线l2上．
在直线y＝2x上取点O(0,0)，它关于直线y＝3x＋3的对称点为M，
由两点式可得l2的方程为11x－2y＋21＝0.
法二：设P(x，y)是直线l2上任一点，点P关于直线l：y＝3x＋3的对称点为P1(x1，y1)，由P1P⊥l，且PP1的中点在l上得
＝－，＝3·＋3.
解得x1＝－x＋y－，
y1＝x＋y＋.
∵P1(x1，y1)在直线l1上，即y1＝2x1，
∴x＋y＋＝2，
整理得11x－2y＋21＝0.
∴l2的方程为11x－2y＋21＝0.
20．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
解：(1)因为l1与l2相交于点(m，－1)，
所以点(m，－1)在l1、l2上，
将点(m，－1)代入l2，得2m－m－1＝0，解得m＝1.
又因为m＝1，所以n＝7.
故m＝1，n＝7.
(2)要使l1∥l2，则有
解得或
(3)要使l1⊥l2，则有m·2＋8·m＝0，得m＝0.
则l1为y＝－，由于l1在y轴上的截距为－1，
所以－＝－1，即n＝8.
故m＝0，n＝8.
1．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是( )
A．－ B．－3
C. D．3
解析：选A.在直线l上任取一点(a，b)，则平移后的点为(a－3，b＋1)，故其两点所在直线的斜率为k＝＝－.
2．已知直线l1：y＝2x＋3，l2与l1关于直线y＝－x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率是________．
解析：∵l1：y＝2x＋3，∴l2：－x＝－2y＋3，即y＝x＋，∴k2＝，又∵l3⊥l2，∴k3＝－2.
答案：－2
3．(2013·日照高一检测)与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是__________________．
解析：设直线为7x＋24y＋c＝0，d＝＝3，解得c＝70或c＝－80.即直线方程是7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0.
答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0
4．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．
解：由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点M1(5,1)，同样容易求得点M关于y轴的对称点M2(－3,5)．
据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.
令x＝0，得到M1M2与y轴的交点Q.
解方程组得交点P.
故点P，Q即为所求．
5．已知直线l与点A(3,3)，B(5,2)的距离相等，且过两直线l1：3x－y－1＝0与l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．
解：由得即l1与l2的交点为(1,2)．若所求直线l垂直于x轴，即方程为x＝1，则与点A，B的距离不相等，故所求直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－2＝k(x－1)．
因为kAB＝＝－，若直线l与线段AB平行，则l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0；
若直线l过线段AB的中点，则也满足题意，设AB中点为M，则M，将点M坐标代入所设直线l的方程，得－2＝k(4－1)，得k＝，
所以l的方程为y－2＝(x－1)，即x－6y＋11＝0.
综上，所求直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
