课件32张PPT。第一章 空间几何体1．1 空间几何体的结构
1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征第一章 空间几何体学习导航
学习目标
重点难点
重点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系．
难点：在描述几何体的结构特征的过程中提高观察力和空间想象能力． 1．空间几何体
(1)空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象
出来的___________就叫做空间几何体．
(2)多面体
定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的______．空间图形顶点想一想
1.多面体最少有几个面、几个顶点、几条棱？
提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．2．几种常见的多面体
平行四边形平行平行其余各面公共边公共顶点多边形三角形多边形三角形公共边公共顶点 平行于棱锥底面 ABCD－A′B′C′D′截面底面想一想 观察下图，想一想棱柱是否可以看作由什么平面图形平移运动得到？
提示：棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体．3．棱柱、棱锥、棱台的分类
n边形(2)棱锥的分类(棱台分类)
①按底面多边形的边数分类
三棱锥、四棱锥、五棱锥等．
②按底面多边形是否为正多边形分类正棱锥和一般棱锥
题型一 多面体的概念 (1)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．【题型探究】(2)下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
【解析】(1)①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.
(2)①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
【答案】 (1)③④ (2)②③④
【名师点评】 解决这类与多面体的概念有关的命题真假判定的问题，关键在于理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的概念、准确把握它们的结构特征．
跟踪训练
1．给出下列几个命题：
①棱柱的侧面都是平行四边形；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
③多面体至少有四个面；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.显然命题①、②均是真命题．对于命题③，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点连成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，形成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题．
对于命题④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，故棱台的侧棱延长交于一点正确．
根据下列关于几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；
(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形；
(3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
题型二 多面体的识别【解】 (1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可使相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是正六棱柱；
(2)该几何体的一个面是正方形，其他各面都是全等的三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是正四棱锥；
(3)该几何体上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，因此该几何体是三棱台．【名师点评】 题干中给出了一些几何体的结构特征，根据所描述的这些几何体的结构特征，结合多面体的定义，进行空间想象，得出结论．
跟踪训练 2.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面BCEF所截得的两部分分别是怎样的几何体？若几何体ABCD－A1FED1是棱柱，指出它的底面和侧面．
解：所截两部分分别是四棱柱和三棱柱．几何体ABCD－A1FED1是四棱柱，它的底面是平面ABFA1和平面DCED1，侧面为平面ABCD，平面BCEF，平面ADD1A1和平面A1D1EF，侧面均为平行四边形．
如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
题型三 多面体的表面展开图【解】 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
【名师点评】 若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面；若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
跟踪训练
3．某城市中心广场主题建筑是一三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中E、F分别为AD、BC的中点．
(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；
(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC、AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？
解：(1)该几何体的表面展开图如图所示．
(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形，若使由F向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF，这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.
1．对几何体的识别与判断，要紧扣其定义和特征，如例1，例2.
2．对于几何体的表面展开图，需要注意的是不同的剪开方法，得到的展开图不一定相同，如例3.
3．棱柱概念的推广
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱．
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱．
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体．
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫正方体．【方法感悟】 如图所示，以下关于几何体的正确说法的序号为________．
①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
易错警示 柱、锥、台结构特征判断中的误区
【常见错误】直观感觉是棱台易误判②正确；忽视图形
的多样性易误判④或⑤错误．
【解析】 ①正确，因为有六个面，属于六面体的范围；
②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；
③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；
④⑤都正确，如图所示
【答案】 ①③④⑤【失误防范】 在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断，同时立体几何问题中也要注意分类讨论思想的应用，否则就会导致审题片面而出错．
跟踪训练
4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
解析：选A.长方体水槽固定底面一边后倾斜，水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面，而其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件39张PPT。1．1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征第一章 空间几何体学习导航
学习目标
重点难点
重点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及定义．
难点：对圆柱、圆锥、圆台、球及组合体的识别和区分．
1.旋转体
定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．
2．圆柱
矩形圆柱棱柱做一做 1.下列图形中是圆柱的是________．
答案：②
3．圆锥
做一做 2.将图1所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到图2所示的几何体的是________．
答案：②
4．圆台
想一想 类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转形成吗？
提示：可以．(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的旋转体；
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线所在的直线为轴各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
?
5．球
做一做 3.下图由哪些简单几何体构成？
解：(1)是由两个四棱锥拼接而成的，(2)是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的．题型一 旋转体的概念及结构特征 根据下列对几何体结构特征的描述，说明几何体的名称．
(1)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体；
(2)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体；
(3)一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面围成的几何体．
【题型探究】【解】 (1)如图(1)，等腰梯形两底边中点的连线将梯形等分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．
(2)如图(2)，可以将梯形ABCD分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB，绕CD旋转一周形成一个组合体，是由一个圆锥和一个圆柱组成的．
(3)如图(3)，是一个球．
【名师点评】 抓住定义是判断的关键，对于不规则的图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分析，再根据柱、锥、台、球的结构特征进行判断．
跟踪训练
1．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：①正确，圆柱的底面是圆面；
②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
③不正确；圆台的母线延长相交于一点；
④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
答案：①②
如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB,且EF
题型二 简单组合体的识别【解】 方案一：如图(1)所示，此几何体可由一个三棱柱和一个四棱锥拼接而成．
方案二：如图(2)所示，此几何体可由一个三棱锥和一个四棱锥拼接而成．
方案三：如图(3)所示，此几何体可由一个三棱柱和两个四棱锥拼接而成．【名师点评】 组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成和结构，结合柱、锥、台、球的几何结构特征对原组合体进行分割．
跟踪训练
2．如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱所构成的；
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成的；
③由一个长方体挖去一个四棱台所构成的；
④由一个长方体与两个四棱台组合而成的．
其中正确说法的序号是________．
解析：如图所示，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组成而成．故说法①②正确．
答案：①②
如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
题型三 旋转体的侧面展开图【名师点评】 求侧面上两点间最短距离，转化为侧面展开图上两点间的距离．
互动探究
3.若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？1．判断旋转体，抓住定义是关键．对定义要深刻理解，分清哪条线是轴，什么图形旋转，旋转以后形成什么样的曲面，围成什么样的几何体．如例1.
2．旋转体的母线旋转时形成旋转体的侧面，圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于顶点，圆台的母线延长后相交于
一点．
3．关于球的问题的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为“平面”．【方法感悟】 (本题满分12分)如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体．规范答题 旋转体的生成过程
【解】 以边AD所在直线为旋转轴 旋转，形成的几何体是圆台，如图(1)所示．3分
以边AB所在直线为旋转轴 旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图(2)所示．6分
以边CD所在直线为旋转轴 旋转，形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图(3)所示．9分
以边BC所在直线为旋转轴 旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成 ，
如图(4)所示．12分
抓关键 促规范
AD是直角梯形的高，故以其所在的直线旋转形成圆台．
以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的是一个组合体，圆柱加圆锥．
易失分点，作图时需注意实、虚线．
此步可结合 、 中的图形，通过拼接，挖掉某些几何体画出图形．【名师点评】 在解决此类问题时，要注意旋转体受旋转轴位置的影响而出现的多样性；要记准常见简单几何体的结构特征，并能与组合体的特征进行恰当联系，实现“化未知为已知”．
跟踪训练
4．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？
解：如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥．
如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，
旋转360°围成的几何体是一个圆锥．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件29张PPT。1．2 空间几何体的三视图和直观图
1．2.1 中心投影与平行投影
1．2.2 空间几何体的三视图第一章 空间几何体学习导航
学习目标
重点难点
重点：画出简单空间图形的三视图．
难点：识别三视图所表示的立体模型．
1．中心投影与平行投影
(1)投影的有关概念
投影：光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做________．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做_________．
(2)投影的分类
投影投影面中心平行正斜一束平行做一做 1.已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC( )
A．全等 B．相似
C．不相似 D．以上都不对
答案：B
2．直线的平行投影可能是________．
答案：直线或点
2．三视图的概念与特点
想一想试举例说明边界轮廓线在三视图中与在实物图中相比，长度是否相同．
提示：不一定相同．例如，在如图几何体底面中，和正视视线不垂直的两条边长度就发生了变化．做一做 3.如图所示的几何体的俯视图是________．
答案：(2)
题型一 平行投影、中心投影 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是下图中________．【题型探究】【解析】 (1)四边形AGFE在下底面ABCD的投影中，AE重合为点A，F为CD中点，G为BC中点，故在下底面
的投影为： ，即为a图，在上底面的投影与a图相同．
(2)四边形AGFE在正面ABB1A1的投影中，F点为A1B1中
点，G为B1B中点，图形为 ，即为c图，其在面DCC1D1内的投影与c图相同．
(3)四边形AGFE在侧面ADD1A1的投影中，F点与D1重合，G点在正形ADD1A1的中心处即在AD1中点处，图形
为 ，即是b图，其在另一侧面BCC1B1内的投影与b图相同．
【答案】 abc【名师点评】 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．
跟踪训练
1．下列说法正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的平行投影可能平行
D．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点
解析：选D.对于A，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D正确．
(2012·高考湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )题型二 空间几何体的三视图【解析】由“正视图俯视图等长，侧视图俯视图等宽”，知该几何体正视图与侧视图相同，而D项中正视图与侧视图不同，可知选D.
【答案】 D
【名师点评】 三视图的顺序位置是固定的，如正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的下方．
跟踪训练
2．画出如右图的所示的四棱锥的三视图．
解：几何体的三视图如下：
某简单几何体的三视图如图所示，那么这个几
何体是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．四棱台
D．三棱台
题型三 由三视图还原几何体【解析】 由三个视图想象三个方向的外形轮廓，然后综合确定出是什么几何体，正视图与侧视图均为三角形，俯视图为四边形，故可确定为四棱锥(如图)．
【答案】 B
【名师点评】 一般要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．
跟踪训练
3．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．
解：该三视图表示的是组合体，如图所示，是7个小正方体拼接而成的组合体．
1．绘制组合体三视图时：首先，分析是由哪些简单几何体按照什么方式组合而成的，从而分解转化为简单几何体的三视图的绘制．其次，要注意的是：若相邻两物体的表面相交，则交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．
【方法感悟】2．由三视图还原空间的几何体的步骤
某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )
易错警示 画几何体的三视图常见的误区
【常见错误】 ①忽视组合体的结构特征及正视、侧视方向易错选B；②对关键轮廓线的位置判断错误，导致错选C或D.
【解析】 该几何体是由圆柱切割而得(如图1所示)，由俯视图可知正视方向和侧视方向(如图1所示)，进一步可画出正视图和侧视图(如图2所示)，故选A.
【答案】 A
【失误防范】 画三视图要重视对题目条件的分析，弄清楚几何体的结构特征、摆放位置和正视方向；重视空间想象能力的培养，学会从多角度观察几何体．
跟踪训练
4．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )
解析：选D.从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线，故选D.
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件27张PPT。1．2.3 空间几何体的直观图第一章 空间几何体学习导航
学习目标
重点难点
重点：斜二测画法的步骤．
难点：画平面图形、立体图形的直观图及与三视图的转化．
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的___________画法．
2．平面图形直观图的画法
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交
于点O′，且使∠x′O′y′＝______________，它们确定的平面表示__________．平行投影45°(或135°)水平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_______于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持_____________，平行于y轴的线段，长度为原来的_______．
平行原长度不变一半做一做 1.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm，若AB∥x轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________，若AB∥y轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________.
答案：4 cm 2cm
3．立体图形直观图的画法
由于立体图形与平面图形相比多了一个z轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成________于x′轴、
y′轴或z′轴的线段． ________于x轴和z轴的线段，在直
观图中长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．平行平行不变一半做一做 2.如图所示的直观图△AOB，其平面图形的面积为________．
答案：6
题型一 水平放置的平面图形的直观图 画出水平放置的正六边形的直观图
【解】 (1)如图①，在正六边形
ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，
对称轴MN所在直线为y轴，两轴相
交于点O.在图②中，画相应的x′轴
与y′轴，两轴相交于点O′，使
∠x′O′y′＝45°.
【题型探究】【名师点评】 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
跟踪训练
1．按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
解：画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°.
由下列几何体的三视图画出直观图．
【解】 (1)画轴．如图，画出
x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形
(俯视图)的直观图△ABC.
题型二 空间几何体的直观图(3)画侧棱．过A、B、C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′＝BB′＝CC′，且这三条线段都等于三视图中的相应高度．
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．
【名师点评】(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用坐标系的对称性，以便方便、准确地确定顶点；
(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准地画出．
题型三 直观图的还原和计算问题【名师点评】 直观图还原平面图形时，要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量，计算时要结合两个坐标轴确定数据．
跟踪训练
解：按照斜二测画法的规则，把如图(1)等边△ABC的平面直观图△A′B′C′还原为如图(2)等边△ABC，
1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来．如例1.
2．由直观图还原为原图是画直观图的逆过程，有两个量发生了变化，一是∠x′O′y′由45°恢复为∠xOy＝90°，二是与O′y′平行的线段，在平面xOy中的长度是直观图中的2倍．如例3.
【方法感悟】 名师解题 平面图形直观图的有关计算问题
故其面积是梯形OA′B′C′面积的2 倍，梯形
OA′B′C′的面积为 ，所以原梯形的面积是4 ．
【答案】 D信息提炼 层层剖析
根据斜二测画法原理，首先搞清两图形中哪些边长度相等，哪些边长度不同．
先求OC′的长度，再确定OC的长度．
结合两图形中高的关系，求得原梯形的面积．跟踪训练
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件32张PPT。1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积第一章 空间几何体学习导航
学习目标
重点难点
重点：柱、锥、台的表面积、体积的求法．
难点：求组合体的表面积与体积． 1．柱、锥、台体的表面积
(1)定义：表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小．把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积．侧面积是指侧面的面积，与表
面积不同．一般地，表面积＝_________＋________．
侧面积底面积(2)柱体的表面积
①柱体的侧面展开图
②柱体的表面积公式
S表＝S侧＋2S底
特别地，若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝______，表面积S表＝2πr(r＋l)．2πrl做一做 1.圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________．
答案：24π 32π
(3)锥体的表面积
①锥体的侧面展开图
②锥体的表面积公式．
锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝______，表面积S表＝__________．
πrlπr(l＋r)做一做 答案：2π(4)台体的表面积
①台体的侧面展开图
②台体的表面积公式
台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝____________，表面积S表＝____________________．
π(r＋r′)lπ(r2＋r′2＋rl＋r′l)做一做 3.圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( )
A．72 B．42π
C．67π D．72π
答案：C
2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝_____.
Sh做一做 4.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为________．
答案：28题型一 柱体的表面积与体积 如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体， 若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少？(π取3.14)
【题型探究】【解】 正方体的表面积为42×6＝96 (cm2)，
一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28 (cm2)，
则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68 (cm2)．
【名师点评】 在解答本题的过程中，易出现两种错误：一是忽略正方体没有被打透；二是认为所求表面积是正方体的表面积减去六个圆柱的侧面积．
互动探究
1．求本例中打孔后的几何体的体积．
解：正方体的体积V1＝43＝64 (cm3)，
1个小圆柱的体积V2＝π×12×1＝3.14 (cm3)．
∴所剩体积V＝V1－6V2＝64－6×3.14
＝45.16 (cm3)．
某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )题型二 锥体的体积与表面积【答案】 C【名师点评】 由三视图想象原三棱锥的特征，通过计算可知，四个面都是直角三角形．
互动探究
2．求本例中四面体的体积．
已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．题型三 台体的表面积与体积跟踪训练
1．求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清楚各侧面三角形的形状，并找出求其面积的条件．求底面积，要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件．
2．求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间关系的桥梁．如例3.
3．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，【方法感悟】要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，圆台的轴截面是梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面．
4．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题．
(本题满分12分)如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2 cm，下底BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB旋转一周，求所得的旋转体的体积．
规范解答 巧求旋转体的表面积、体积
【解】 过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F ，1分
Rt△BCF绕AB旋转一周形成以CF为底面半径，BC为母线长的圆锥；直角梯形CFED绕AB旋转一周形成圆台；直角三角形ADE绕AB旋转一周形成圆锥，那么梯形ABCD绕AB旋转一周所得的几何体是
以CF为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A为顶点、以DE为底面半径的圆锥的组合体 ．2分
抓关键 促规范
作出该两垂线段，有助于判断旋转体的形状
所得旋转体是一组合体，但要注意挖去的部分到底是怎么样的几何体
对于旋转体的体积公式要牢记，特别是圆台的体积公式
若漏掉此处的作答，解析过程则不完整跟踪训练
4．如图所示的△OAB绕x轴和y轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件21张PPT。1．3.2 球的体积和表面积第一章 空间几何体学习导航
学习目标
重点难点
重点：球的体积和表面积公式．
难点：有关球的组合体的求解． 1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝_______.
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝__________.
4πR2做一做 答案：4π
题型一 球的表面积、体积的简单计算 【题型探究】跟踪训练
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为________．
解析：根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的平方．
∵两个球的体积之比为8∶27，
∴两个球的半径之比为2∶3，
∴两个球的表面积之比为4∶9.
答案：4∶9
球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．题型二 有关几何体的外接球跟踪训练
2．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．
有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面恰好与球相切，然后取出球，求这时容器中水的深度．题型三 有关几何体的内切球【名师点评】 利用轴截面图求圆锥的高与底面半径的关系，再利用水的体积不变列出关于高的方程，用方程思想解题是高中数学的一个重点．跟踪训练
1．球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．如例2，例3.
2．球的组合体要注意区分是内切还是外接，是与面相切，还是与棱相切．
【方法感悟】 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．名师解题 正确解答有关球的表面积、体积问题
信息提炼 层层剖析
设出与已知条件相等关系中有关的量．
正确列出方程组，特别是圆锥与球的体积公式勿用错．
将R、r、l均用h表示．
S圆锥侧与S球涉及字母较多，要认真计算．
跟踪训练
4．若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，求两球的体积之差．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件19张PPT。章末专题整合第一章 空间几何体专题一 利用几何体的三视图和直观图求其 体积和表面积
解决空间几何体的有关问题，经常需要画出空间几何体的三视图与直观图．画空间几何体的三视图与直观图主要依据它们的概念及画法规则．
理清各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用． (1)(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
【答案】 B
(2)(2012·高考湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
【答案】 B
专题二 几何体中截面的应用
常见的截面有：对角面、轴截面、直截面、平行于底面的截面以及其他具有某种特性的截面(如平行或垂直于棱、规定角度的截面以及经过某几个已知点的截面等等)． (1)已知圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥展开面所得扇形的圆心角是________．【答案】 180°专题三 几何体表面中最短距离
在几何体的表面上求最短距离，由于两点之间在几何体的表面上是曲线连接，无法直接计算，这时可将几何体的表面展开到一个平面上，再连接原先求距离的两点，计算此线段的长度． 有一根长为3π cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？专题四 几何体的割补法
份 如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )
【答案】 B
专题五 球及其组合体
球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的半径为________．
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