课件25张PPT。第三章 直线与方程
3．1 直线的倾斜角与斜率
3．1.1 倾斜角与斜率第三章 直线与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：直线的倾斜角与斜率的概念及斜率公式．
难点：倾斜角的大小与斜率的对应关系．
1．直线的倾斜角
(1)定义：一条与x轴相交的直线l，我们取x轴作为基准，x轴_______与直线l____________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．一条直线与x轴______________时，规定它的倾斜角为0°.
(2)取值范围：0°≤α<180°.
正向向上方向平行或重合做一做 1.如图所示，直线l的倾斜角为( )
A．45°
B．135°
C．0°
D．不存在
答案：B
2．直线的斜率
正切值tan αk＝0k>0k<0不存在想一想 任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，是否也有唯一的斜率和它对应？
提示：不一定．任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，但当倾斜角等于90°时，其斜率不存在．
做一做题型一 对直线的倾斜角、斜率的理解 已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．【题型探究】【解】 设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°.
【名师点评】 结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．
互动探究
1．在本例中，若已知α1＝15°，l2的斜率为－1，求l1和l2所夹的锐角的大小．
解：如图所示，设l1，l2分别与x轴交于B，C两点．直线l1的倾斜角为α1＝15°，即∠ABC＝15°，因为l2的斜率为－1，所以其倾斜角为135°，所以∠ACB＝45°，所以∠BAC＝120°.直线l1和l2所夹的锐角为∠BAC的补角，故为60°.
已知a，b，c是两两不相等的实数，那么经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率，并求其倾斜角．
题型二 关于直线斜率的计算【名师点评】 直线的倾斜角与其斜率之间并不是一一对应的，要特别注意x1＝x2时的情况．
跟踪训练
2．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．
已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
题型三 直线的倾斜角与斜率的变化关系【名师点评】 探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或斜率的范围时，一般按以下规律求解．
直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞.这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．
跟踪训练
3．(1)若过点A(2m,3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为45°，求实数m的值；
(2)若过点A(2m,3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为135°，求实数m的值；
(3)若过点A(2m,3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为90°，求实数m的值；
(4)m为何值时，经过点A(2m,3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为钝角？
1．求直线倾斜角的方法：
定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．
分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：
α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
2．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解．如例2.
3．已知点的坐标，求直线的倾斜角时，要根据斜率公式先求出斜率，再由倾斜角与斜率的关系求倾斜角．【方法感悟】 设直线l过点A(7,12)，B(m,13)，求l的斜率k及倾斜角α的范围．
【常见错误】 当m＝7时，斜率不存在，不能用斜率公式计算，易漏掉此种情况．易错警示 忽略斜率不存在的情况致误
跟踪训练
4．已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件24张PPT。3．1.2 两条直线平行与垂直的判定第三章 直线与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：用斜率判断两条直线的平行或垂直．
难点：根据直线的平行或垂直求字母参数的值．
1．两条直线平行的判定
设两条不重合的直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，若
l1∥l2，则k1————k2；反之，若k1＝k2，则l1————l2.特别地，若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行．
＝∥想一想 1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？
提示：不一定，只有在两条直线的斜率都存在的情况下，才能说斜率一定相等．
做一做 1.已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则x＝________.
解析：由题意知l1⊥x轴，又l1∥l2，所以l2⊥x轴，故x＝2.
答案：2
2．两条直线垂直的判定
如果两条直线____________，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于_______；反之，如果它们的斜率之积等于_______，那么它们互相垂直．即______________?l1⊥l2，l1⊥l2?______________.都有斜率－1－1k1k2＝－1k1k2＝－1想一想 2.如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？
提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线它们的斜率一个是0，另一个不存在时，两条直线也互相垂直，但斜率的积不为－1.
做一做 2.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.
题型一 两条直线平行 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行．
(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；
(2)l1的倾斜角为45°，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(0，2)；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
【题型探究】互动探究
1．本例中(3)(4)两题的四点A、B、M、N可形成什么图形．
已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
题型二 两条直线垂直【答案】 (1,0)或(2,0)【名师点评】 两条直线垂直需判定k1k2＝－1，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在，若其中一条斜率不存在，另一条斜率为零，此时两直线也垂直．
跟踪训练
2. 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a＝________.
答案：5或－6 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
题型三 直线平行、垂直的综合应用【名师点评】 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．
跟踪训练
3．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
1．用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值．
2．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．如例1.
【方法感悟】 (本题满分12分)已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．规范解答 利用平行或垂直确定参数值
抓关键 促规范
解出m的值以后，要检验是否符合题意．
k2的值有两种情况，注意分类讨论．
只有k1，k2存在且都不为0时，才有k1·k2＝－1，解答过程中要注意说明．跟踪训练
4．已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.
当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件26张PPT。3．2 直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程第三章 直线与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：掌握直线的点斜式及斜截式方程并会应用．
难点：直线的点斜式方程与推导过程． 1．直线的点斜式方程和斜截式方程
想一想 1.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
提示：不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
做一做 1.直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是( )
?A．2 B．－1
C．3 D．－3
答案：C
2．直线l的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的_________.
(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的__________
纵坐标b横坐标a想一想 2.直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？
提示：直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零．当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．
做一做 2.直线l的斜截式方程是y＝－3x＋2，则直线l在y轴上的截距为________．
答案：2
题型一 直线的点斜式方程 求出经过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形．
(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．【题型探究】【解】 (1)由于直线经过点P(3,4)，斜率k＝2，所以直线方程为y－4＝2(x－3)，可化为2x－y－2＝0, 如图1.
图1 图2 图3
(2)由于直线经过点P(3,4)，且与x轴平行，即斜率k＝0，所以直线方程为y＝4.如图2.
(3)由于直线经过点P(3,4)，且与x轴垂直，所以直线方程为x＝3.如图3.
【名师点评】 按照点斜式方程y－y0＝k(x－x0)的形式解题，使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在．方法步骤是：先确定所过定点，再确定直线的斜率，然后代入公式．
跟踪训练
1．写出下列直线的方程
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1,1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．
解：(1)y－5＝4(x－2)；
(2)k＝tan 45°＝1，所以y－3＝x－2；
(3)y＝1；
(4)x＝1.
根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
题型二 直线的斜截式方程跟踪训练
2．直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程．
解：由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x＋6.
题型三 待定系数法求直线方程【名师点评】 解此题时要注意b为截距，“截距”不是距离，故解题时距离为截距的绝对值．
跟踪训练
题型四 直线在平面直角坐标系中位置的确定
【答案】 B
【名师点评】 直线l的斜截式是y＝kx＋b，则有
(1)k>0，b>0?l仅过第一、二、三象限；
(2)k>0，b＝0?l仅过第一、三象限；
(3)k>0，b<0?l仅过第一、三、四象限；
(4)k<0，b>0?l仅过第一、二、四象限；
(5)k<0，b＝0?l仅过第二、四象限；
(6)k<0，b<0?l仅过第二、三、四象限；
(7)k＝0，b>0?l仅过第一、二象限；
(8)k＝0，b＝0?l不过任何象限，即为x轴；
(9)k＝0，b<0?l仅过第三、四象限．
跟踪训练
4．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
解析：选C.直线y＝ax过原点，当a>0时，直线y＝ax过第一、三象限，直线y＝x＋a过第一、二、三象限，排除A、B；当a<0时，直线y＝ax过第二、四象限，直线y＝x＋a过第一、三、四象限，排除D.
1．已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
2．斜截式方程y＝kx＋b的特点：左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．
【方法感悟】易错警示 斜截式判断两直线平行的误区
跟踪训练
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件28张PPT。?3．2.2 直线的两点式方程第三章 直线与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：利用两点式求直线方程．
难点：两点式方程的推导过程及特征，截距式方程的应用．
1．直线的两点式方程
两点式方程做一做
1.过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是( )
答案：B想一想 截距式方程想一想 2.过原点的直线能写为截距式吗？
提示：不能．因为此时a＝0，b＝0.
做一做
2.在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
答案：A做一做
4.若已知A(1,2)及AB中点(2,3)，则B点的坐标是______．
答案：(3,4)
题型一 直线的两点式方程 三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【题型探究】互动探究
求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
题型二 利用截距式求直线方程跟踪训练
2．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．
某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)
题型三 直线方程的应用跟踪训练
3．如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示．试求：
(1)直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少行李？
1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线方程时，通常用两点式，如例1.
但若x1＝x2，则直线方程为x＝x1，
若y1＝y2，则直线方程为y＝y1.
2．由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距，反之，若已知直线在x轴、y轴上的截距(都不为0)也可直接由截距式写出方程．如例2，例3.但过原点或垂直于坐标轴的直线不能用截距式表示．
【方法感悟】 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
抓信息 破难点
(1)选择直线方程的形式，解决本题宜用截距式方程比较简单直接．
(2)该题信息涵盖两种情况：①直线l过原点；②直线l不过原点，解决本题必须分类讨论．
(3)求得的直线方程要进一步整理化简，最后将两类情况下的直线l的方程都写出来．
名题解题 分类讨论思想的应用
4．已知直线l经过点(2，－3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件25张PPT。3．2.3 直线的一般式方程第三章 直线与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：直线方程的一般式的特点．
难点：求直线方程的一般式并能与其它形式进行转化．
1．直线的一般式方程
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的______________；任何关于x，y的二元一次方程都表示___________．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做____________________．简称一般式．
二元一次方程一条直线直线的一般式方程想一想 1.任何直线方程都能表示为一般式吗？
提示：能．
想一想 2.当A、B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？
提示：当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；
当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象．
故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A、B不同时为零时，即A2＋B2≠0才代表直线．
做一做
过点A(－1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为_______．
答案：2x－y＋4＝0
?
题型一 求直线方程的一般式 【题型探究】跟踪训练
已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．题型二 与已知直线平行或垂直的直线方程的求法【名师点评】
法一采用了直接求斜率，建立点斜式方程．
法二用了待定系数法，先设出平行或垂直的直线形式，由点确定系数．
跟踪训练
2．a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0，
(1)平行；(2)垂直？
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
题型三 一般式的综合应用跟踪训练
3．关于x、y的方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0是某条直线的方程，求实数a的值．
解：若a2－a－2与2－a同时为0，则方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0不表示任何直线，此时a＝2，
所以当a≠2时，方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0是某条直线的方程．【方法感悟】2．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2，且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周造成失误的可能性．
3．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在则垂直．若两个都存在斜率，化成斜截式后则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误．
4．含有字母参数的直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0化为特殊式时不可盲目除以系数A(或B)，注意是否为0.
(本题满分12分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6.
根据下列条件确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为－3；
(2)直线l的斜率是－1.规范解答 直线方程中有关参数的求解
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件29张PPT。3．3 直线的交点坐标与距离公式
?3．3.1 两条直线的交点坐标
?3．3.2 两点间的距离第三章 直线与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：求直线的交点坐标及两点间的距离公式．
难点：方程组的解与两直线的位置关系．
?1．两条直线的交点
相交平行重合想一想 1.若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？
提示：不一定．两条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个解，则两直线重合．做一做 想一想 2.平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关吗？
提示：无关．在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．
做一做 2.已知点P1(4,2)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________.
题型一 两条直线的交点与两直线的位置关系 求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
【题型探究】【名师点评】
法一通过方程组求出两直线交点，再根据平行直线斜率相等求直线方程；法二直接设出过两直线交点的直线系方程，再根据平行条件求出待定系数即可．
跟踪训练
1．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．
已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程．
题型二 两点间的距离公式及应用跟踪训练
2．已知点A(4，－3)、B(2，－1)和直线l：4x＋y－2＝0，在直线l上求一点P，使|PA|＝|PB|.
点A(2,2)关于直线l：2x－4y＋9＝0对称点的坐标是______________．
题型三 对称问题【答案】 (1,4)【名师点评】 若A与A′关于l对称，则AA′的中点在
l上，且AA′⊥l，当l与l′关于点A对称(A不在l上)，则l∥l′.互动探究
3．在本例中，若将问题变为“求直线l关于点A(2,2)对称的直线”，试求之．
1．点关于点对称
点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解，它是解答其他对称问题的基础．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a,2y0－b)．
2．直线关于点对称
在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．如例3.
【方法感悟】 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是
( )
A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1
C．a≠1，且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
【常见错误】 因只考虑三条直线相交于一点构不成三角形，忽视任意两直线平行或重合也不能构成三角形，错选B或C.
易错警示 因直线间的位置关系考虑不全致误
【答案】 D【失误防范】 三条直线若能构成三角形，既不能三线共点，也不能三线中有两条平行或重合，处理该类问题时，一是要考虑全面，二是可从问题的反面着手，即可先考虑不能构成三角形的情形，然后再对其一一否定．
跟踪训练
4．已知三条直线l1：ax＋2y＋8＝0，l2：4x＋3y＝10，l3：2x－y＝10，若三条直线恰交于同一个点，则a＝________，该点坐标为________．
解析：将l2，l3的方程联立求交点得(4，－2)，再代入l1的方程即得a＝－1.
答案：－1 (4，－2)
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件24张PPT。3．3.3 点到直线的距离
3．3.4 两条平行直线间的距离第三章 直线与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：会求点到直线的距离、两平行直线间的距离．
难点：点到直线距离，两平行直线间的距离的综合应用．
1．点到直线的距离想一想点到直线的距离公式对直线方程有什么要求？
提示：直线方程要化为一般式．
做一做 2．两条平行线间的距离
(1)求两条平行线间的距离时，可转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距
离公式d＝___________(x、y的系数均应分别为A、B)．
做一做 题型一 求点到直线的距离 求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．【题型探究】 题型二 两条平行线间的距离问题跟踪训练
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
题型三 距离公式的综合应用跟踪训练
3．已知直线l1：x－y－4＝0，l2：x＋y－2＝0，求l1与l2所成角的平分线所在直线l的方程．
1．点到直线的距离公式
(1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最短距离；
(2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情况，特别是当点在直线上时，该距离为0；
(3)当点与直线有特殊的位置关系时，可以用公式求解，也可以用数形结合的方法求解，特别注意以下几种特例：①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；【方法感悟】 名师解题 化归与转化思想在求最值中的应用
信息提炼 层层剖析
将该函数式变形，根号内变成平方和的形式是求解问题的关键．
利用化归与转化思想将f(x)看作点C(x,0)到点A(1,1)与点B(2，－2)的距离之和．
利用几何性质(数形结合思想)求得距离之和的最小值，即f(x)的最小值．跟踪训练
4．设x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求x2＋y2的最大值．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件28张PPT。章末专题整合第三章 直线与方程专题一 倾斜角与斜率的关系
专题二 直线方程的形式及应用
(1)根据两个独立条件可以求得直线方程，需要注意的是点斜式、斜截式不能表示斜率不存在(与x轴垂直的直线)的直线；两点式不能表示与坐标轴垂直的直线；截距式方程不能表示过原点的直线和与坐标轴平行的直线．因此在求直线方程时要考虑斜率不存在的直线是否符合题意．在求直线方程时，如不作特殊说明，要把直线方程化成一般式．
(2)直线在x轴(y轴)上的截距是直线与x轴(y轴)交点的横(纵)坐标． 专题三 直线的平行或垂直
(1)若直线x＋ay＋2＝0和2x＋3y＋1＝0互相垂直，则a等于( )【答案】 (1)A (2)A专题四 距离问题
解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离是高考考查的热点，公式如下表： 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2.专题五 对称问题
点关于点的对称性，点关于线的对称性，线关于线的对称性，线关于点的对称性，主要利用中点坐标和垂直关系．
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)的对称直线l′的方程．
专题六 共点直线等问题
经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点为1的直线方程．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
