课件28张PPT。第四章 圆与方程?4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程第四章 圆与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：圆的标准方程的特征．
难点：求圆的标准方程．
1．圆的标准方程
圆的标准方程是：_____________________?圆心为________，半径为_____.圆心在坐标原点，半径为r的圆
的标准方程是_____________.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2C(a，b)rx2＋y2＝r2做一做 1.圆x2＋y2＝1的圆心为( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,1) D．(1,0)
答案：A
2．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25
答案：A
想一想 方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝r2(a，b，r为常数)表示什么图形？
提示：若r＝0，表示点(－a，－b)，
若r≠0，表示以(－a，－b)为圆心，|r|为半径的圆．
2．点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点P在圆外?_______；点P在圆上?______；点P在圆内?______.
d>rd＝rd
答案：点在圆外
题型一 求圆的标准方程 过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【题型探究】【答案】 C【名师点评】 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r.法一是待定系数法；法二、法三是借助圆的几何性质，直接求得圆心坐标和半径．
跟踪训练
1．一圆过点P(－4,3)，圆心在直线2x－y＋1＝0上且半径长为5，求此圆的方程．
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
题型二 点与圆的位置关系跟踪训练
已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？题型三 圆的方程的应用【名师点评】 应用圆的方程解决实际问题应注意：一要恰当建系并准确求出圆的方程；二要利用方程求点的坐标，并根据点的坐标解释实际问题．
跟踪训练
3．有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后往家里运的费用是：每千米A地的运费是B地运费的3倍．已知A，B两地距离10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用较低．当P地居民选择A地或B地购货的总费用相等时，求点P所在曲线的形状．
1．对于由已知条件易求圆心坐标和半径，或需要用圆心坐标和半径列方程的问题，往往设圆的标准方程，用待定系数法求解．由于圆的标准方程中含有a、b、r三个参数，必须具备三个独立条件，才能求出一个圆的标准方程，用待定系数法求圆的方程，即列出关于a，b，r的方程组，解方程组求a，b，r.如例1.
2．求圆的标准方程时要注意与平面几何知识相联系(如圆的几何性质)，可使问题简单化．如例1.
【方法感悟】3．判断一个点A(x0，y0)与一个圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，可通过下列方法来求：
几何法：|AC||AC|＝r?点A在圆上；
|AC|>r?点A在圆外．
代数法：(x0－a)2＋(y0－b)2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点A在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点A在圆外．
易错警示 圆上的点与点的最值问题
抓关键 促规范
作出x，y满足的轨迹，弄清所求式子的几何意义是解题的关键．
正确判断出点A的位置．
非圆上的点与圆上点的最值问题，求出该点与圆心的距离是必不可少的一步．跟踪训练
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件25张PPT。4．1.2 圆的一般方程第四章 圆与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：由圆的一般方程求圆心和半径及求圆的一般方程．
难点：二元二次方程与圆的方程的关系及求圆的一般方程．
1．圆的一般方程
D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F>0做一做 1.圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．
答案：(3,0)
2．圆的一般方程与二元二次方程的关系
比较二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0, 可以得出如下结论：当二元二次方程具有条件：
(1)x2和y2的系数相同，且不等于0，即A＝C≠0；
(2)没有xy项，即_________；
(3)________________ 时，它才表示圆．
B＝0D2＋E2－4AF>0想一想方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆吗？
提示：不表示圆．方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示圆，而表示点(1，－2)．
做一做
2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.
答案：4
题型一 圆的一般方程的概念辨析 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
【题型探究】【名师点评】 解答此类方程要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
跟踪训练
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
圆心在直线y＝x上，且过点A(－1,1)、B(3，－1)的圆的一般方程是________．题型二 求圆的一般方程【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0
【名师点评】 如果已知条件和圆心或半径无直接关系，一般设出圆的一般方程，利用待定系数法求解．
跟踪训练
2．在本题中，若圆心在x轴上，其他条件不变，则圆的一般方程又是什么？ 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
题型三 有关圆的轨迹问题跟踪训练
3．已知定点A(4,0)，P点是圆x2＋y2＝4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．
1．圆的一般方程的特点
(1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2的系数相同且不为0；②没有xy项．
(2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件．
(3)【方法感悟】2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上另一动点Q(x1，y1)的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
若定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围是________．
【常见错误】 本题易漏掉D2＋E2－4F＞0这个限制条件，导致范围求错．易错警示 求参数取值范围中漏掉限制条件致误
跟踪训练
4．已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条，则a的取值范围是________．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件33张PPT。4．2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系第四章 圆与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：直线与圆的位置关系的判定及根据直线与圆的位置关系求圆的方程．
难点：解决直线与圆位置关系的综合问题．
?
1．直线与圆的位置关系
两个一个无相交相离消去y(或x)得mx2＋nx＋p＝0(或ay2＋by＋q＝0)．
利用判别式Δ：当Δ＝0时，直线与圆_______；
当Δ>0时，直线与圆________；
当Δ<0时，直线与圆________．
相切相交相离想一想 1.用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？
提示：代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观．
2．过圆内一点(非圆心)作圆的弦，何时最长？何时最短？
提示：弦过圆心时成为直径是最长的弦，垂直于该点与圆心连线的弦是最短的弦．
做一做
1.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．过原点作圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，方程为________．
解析：∵圆为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
∴圆与x轴、y轴都相切．
答案：x＝0或y＝0
题型一 直线与圆的位置关系的判断 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．【题型探究】跟踪训练
若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
题型二 切线问题跟踪训练
2．求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．
已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．题型三 圆的弦长及应用【名师点评】 (1)若直线过圆内一点，则直线与圆必相交；(2)利用几何图形的特征及性质分析出何时弦长最短是解题的关键．
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
【方法感悟】①几何方法：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．
②代数方法：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程．由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
名师解题 与圆有关的参数问题信息提炼 层层剖析
首先求出直线与圆相切时，截距(即m)的值．
比较直线l0与m0的倾斜程度，确定l1的方程．
数形结合，利用平移的方法求m的取值范围．
跟踪训练
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件30张PPT。4．2.2 圆与圆的位置关系
4．2.3 直线与圆的方程的应用第四章 圆与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：圆与圆位置关系的判定及应用．
难点：直线与圆、圆与圆位置关系的实际应用．圆与圆位置关系的判定
(1)几何方法：设两圆半径分别为r1、r2，圆心距离为d，则两圆的位置关系如表所示：
d>r1＋r2r1＋r2|r2－r1|01.两圆从公切线的数量上能否判定它们的位置关系？
提示：可以.4条公切线是相离；三条公切线是外切；二条公切线是相交;一条公切线是内切;无公切线是内含．
2．如果⊙O1与⊙O2的圆心距d＝0，⊙O1与⊙O2有什么
关系？
提示：d＝0，即O1与O2重合，若r1＝r2，则⊙O1与⊙O2重合，若r1≠r2，⊙O1与⊙O2为内含．
做一做 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．内切 D．相交
答案：D
2．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
题型一 两圆位置关系的判定 当a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)相离．
【解】 将两圆方程分别写成标准形式为：
(x－a)2＋(y＋2)2＝9和(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
【题型探究】设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1(3)当d>5或d<1，即2a2＋6a＋5>25或2a2＋6a＋5<1时，两圆相离，此时a>2或a<－5或－2【名师点评】 应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练
1．已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．
题型二 两圆相切问题【名师点评】 本题利用待定系数法，设出圆的标准方程，根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出关于a，b，r的方程组求解．其中圆与圆相切转化为圆心距；圆与直线相切转化为点线距．
跟踪训练
2．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切．
已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
题型三 两圆相交弦问题跟踪训练
题型四 直线与圆的方程的应用
【名师点评】 解答此类问题，最后要把代数结果还原为实际问题的解释．
跟踪训练
4.如图所示，在⊙O上任取点C为圆心，作⊙C与⊙O的直径AB相切于点D，⊙C与⊙O交于点E，F，且EF与CD相交于点H.求证：EF平分CD.
1．公切线的求法：由于公切线与两圆都相切，所以圆心到切线的距离都等于圆的半径，故可设公切线方程为y＝kx＋b(注意斜率不存在的情况)．由两圆心到直线的距离分别等于两圆半径，联立方程组即可求解．
2．求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤：
(1)认真审题，明确题意．
(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程．
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．
(4)把代数结果还原为实际问题的解释．
【方法感悟】 求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．名师解题 巧用圆系方程解题
信息提炼 层层剖析
利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键．
将方程整理后，圆心坐标的表示要准确．
将λ＝－2代入所设方程，最后的结果要整理成圆的一般式(或标准式)．
跟踪训练
5．若圆C过点(0,2)及直线x－2y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＋λ(x－2y)＝0.又圆C过点(0,2)，代入上述方程得－8－4λ＝0，即λ＝－2.故圆C的方程为x2＋y2－4＝0.
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件26张PPT。4．3 空间直角坐标系
4．3.1 空间直角坐标系
4．3.2 空间两点间的距离公式第四章 圆与方程学习导航
学习目标
重点难点
重点：在空间坐标系中求出点的坐标，利用空间距离解决问题．
难点：空间直角坐标系的建立，空间两点间距离公式的推导．
1．空间直角坐标系
x轴y轴z轴坐标轴坐标平面xOy平面yOz平面zOx平面x轴y轴z轴135°90°横坐标纵坐标竖坐标想一想 1.空间中一点的坐标其表示唯一吗？
提示：空间中一点的坐标因建系不同而不同，其表示不唯一，但其形式一定是(x，y，z)的形式，即由三个实数唯一确定．
做一做 1.空间直角坐标系中，三条坐标轴( )
A．两两垂直且相交于一点 B．两两平行
C．仅有两条不垂直 D．仅有两条垂直
答案：A
2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则点C1的坐标是________．
答案：(1,1,1)
2．空间两点间的距离公式
空间中的两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离
|P1P2|＝__________________________________.
3．空间中的中点坐标公式
在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，
则线段AB的中点坐标是_______________________．做一做 想一想 2.在空间直角坐标系中，到两定点距离相等的点的轨迹是直线吗？
提示：不是．是两点间连线的中垂面．
题型一 求空间点的坐标 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立适当的空间直角坐标系，求E，F的坐标．【题型探究】跟踪训练
1.如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
解：∵底面是边长为2的正方形，
∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O点是坐标原点，
∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定
B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．
∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．
求点P(a，b，c)关于xOy平面和z轴的对称点的坐标．
【解】 设点P(a，b，c)关于xOy平面的对称点是P′，则P与P′在xOy平面上的射影是同一点，所以其横、纵坐标不变，竖坐标互为相反数，故P′(a，b，－c)．设点P(a，b，c)关于z轴的对称点是P″，则P与P″在z轴上的射影是同一点，所以其竖坐标不变，横、纵坐标互为相反数，故P″(－a，－b，c)．
题型二 空间中点的对称问题【名师点评】 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：
跟踪训练
2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是______，关于z轴的对称点是_____，关于M(1,2,1)的对称点是____．
答案：(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3)
如图所示，在河的一侧有一塔CD＝50 m，河宽BC＝30 m，另一侧有一点A，AB＝40 m，求点A与塔顶D的距离．
题型三 空间两点间的距离公式及应用【名师点评】 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．
1．(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
②充分利用几何图形的对称性．
(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x、y、z轴建立空间直角坐标系．【方法感悟】2．求对称点的问题常常可用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法．如关于x轴的对称点就是横坐标不变，其余的两个数变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横、纵坐标都不变，竖坐标变成原来的相反数，如例2.
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
【常见错误】 本题易错以AB、AC、AA1所在直线建系，导致各点坐标求错．
易错警示 因空间几何图形中建系不当致误
跟踪训练
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件18张PPT。章末专题整合第四章 圆与方程专题一 圆的方程与圆的几何性质
关于求圆的方程，可以用直接法，即由条件直接求圆心和半径，但基本方法是以待定系数法为主．在设方程时应根据条件选择使用标准方程还是一般方程，如果题目给出圆心坐标等关系，则采用标准方程；如果已知圆上多个点的坐标，则采用一般方程．
圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质：切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．
求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
专题二 与圆有关的最值与范围问题 专题三 直线与圆、圆与圆的位置关系
过点P(－2，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A、B.求：(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；(2)直线AB的方程；
(3)线段AB的长．
【解】 (1)如图所示，连接CA、CB、PC.由平面几何知，CA⊥PA，CB⊥PB.这些点P、A、C、B共圆，且CP为直径，这也是过三点A、B、C的圆．
专题四 坐标法(解析法)在生活中的应用
坐标法贯穿解析几何的始终，通过平面直角坐标系，研究了直线和圆的有关问题；通过建立空间直角坐标系，刻画了点在空间的位置，研究了两点间的距离等问题。总之通过建立坐标系，把点与坐标、曲线与方程等联系起来，将几何问题转化为代数问题，优化了思维的过程．
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