课件28张PPT。第一章 算法初步第一章 算法初步1．1 算法与程序框图
1．1.1 算法的概念第一章 算法初步学习导航
1．算法一词出现于12世纪，指的是用阿拉伯数字进行__________的过程．
2．在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的_____________的步骤．现在，算法通常可以编成____________，让计算机执行并解决问题．算术运算明确和有限计算机程序做一做
下列语句表达的是算法的有( )
①拨本地电话的过程为：<1>提起话筒；<2>拨号；<3>等复话信号；<4>开始通括或挂机；<5>结束通话；
②利用公式V＝sh.计算底面积为3，高为4的三棱柱的体积；
③x2－2x－3＝0；
④求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④解析：选A.算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．①②都各表达了一种算法；③只是一个纯数学问题，不是一个明确步骤；④的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．想一想
算法有哪些特征？
提示：算法的五个特征：
(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到最终确定的结果．
(2)有限性：一个算法的步骤是有限的，它能在有限步的操作后解决问题．
(3)逻辑性即顺序性和正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．(4)不唯一性：由于解决一个问题的方法不一定是唯一的，因此解决一个问题可以有多种不同的算法．
(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．3.算法通常可以编成_____________，让计算机执行并解决问题.计算机解决任何问题都要依赖于算法．只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．计算机程序题型一 算法的有关概念
下列说法正确的是( )
A．算法就是某个问题的解答过程
B．算法执行结果的表达方式可以不同
C．解决某一个具体问题的算法的结果不同
D．算法执行步骤的次数不能很大，否则无法实施【解析】 选项A，算法不能等同于解法；选项B，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项C，解决某一个具体问题的算法，结果应该相同,否则设计的算法有问题；选项D，算法执行步骤的次数不可以是无限次，但可以很大．
【答案】 B
【名师点评】 算法的特征有：①有限性；②确定性；③逻辑性；④不唯一性；⑤普遍性．对算法的理解要注意与算术运算、某一具体数学问题的解题过程、方法区分开，正确理解算法的概念和特征是解决此类问题的关键．跟踪训练
1．以下对算法的描述正确的有( )
①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③算法可以一步步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤，故①、②正确．另外，算法是一步一步地执行而且每一步都有确切含义，且最终能得到结果，故③、④也正确．故选D.【名师点评】 由球的表面积求体积可先由表面积公式求出半径R，再求体积；也可由表面积与半径的关系及体积与半径的关系得到体积与表面积的关系直接求解．法一用的是分步算式清楚分明；法二用的是综合算式．在实际操作中，法二更可取，因为它的步骤更为简单．跟踪训练
2．已知某梯形的底边长AB＝a，CD＝b，高为h，写出一个求这个梯形面积S的算法．题型三 非数值型计算问题的算法设计
请你设计一个算法，找出a，b，c，d四个互不相同的数中的最小值．
【解】 算法如下：
第一步，定义最后求得的最小数为 min，使 min＝a.
第二步,如果b＜min,则min＝b;如果b＞min,则 min＝原 min.
第三步,如果c＜min,则 min＝c;如果c＞min,则 min＝原 min.
第四步,如果d＜min,则 min＝d;如果d＞min,则 min＝原 min.
第五步，输出 min，则 min就是a、b、c、d中的最小者．【名师点评】 算法原理与平时的解题原理不能等同，要注意两者之间的区别．在设计此题算法时，每一步都必须是比较两个数的大小，直至找到众多数中的最小者为止．互动探究
3．本例中若改为求a、b、c、d四个不相同的数中最大值，设计一个算法．
解：算法如下：
第一步，定义最后求得的最大数为 max，使max＝a.
第二步,如果b＞max,则max＝b;如果b＜max,则max＝原 max.
第三步,如果c＞max,则max＝c;如果c＜max,则max＝原 max.
第四步,如果d＞max,则max＝d;如果d＜max,则max＝原 max.
第五步，输出 max，则 max就是a、b、c、d中的最大者．1．算法的判定
判断一个算法的正确与错误，要准确地把握好算法的概念与算法的特点，由于算法的不唯一性，不能仅凭直观形象或形式不同就简单做出判断，都正确的算法有时也有优劣之分，为有效进行计算或解决问题，应选择合适的算法，通常认为，计算机容易实现的算法是优秀的算法．3．算法在数学中两种应用的处理方法
(1)数值性计算问题，如解方程(组)、解不等式(组)或套用公式判断性问题，一般通过数学模型借助数学计算方法分解成清晰的步骤，并条理化．
(2)非数值性问题，如查找、变量代换、文字处理等非数值性计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．规范解答 分段函数求值的算法设计 12抓关键 促规范
在解题过程中注意输入及输出语句．
分段函数求函数值的算法要注意运用分类讨论的思想，本步是整个解题的关键所在．12【名师点评】 (1)算法步骤一定要完整、清晰．对算法的特征理解不全面，认为直接判断x的值即可,从而缺少输入语句;或求出y的值就算完成了算法．实际上，任何一个算法必须有输入输出语句，才能得到所需的数据或结果．
(2)分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤．跟踪训练
4．写出求过两点M(－2，－1)，N(2,3)的直线与坐标轴围成图形面积的一个算法．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件31张PPT。1．1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构第一章 算法初步1．程序框图
程序框图又称_______，是一种用_______、________及文字说明来表示算法的图形．
在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．流程图程序框流程线2．常见的程序框、流程线及各自表示的功能起始结束输入输出判断框连接程序框想一想
1.画程序框图应遵循什么规则？
提示：①使用标准的框图符号；
②框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
③除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点；
④终端框是任何算法框图中必不可少的，表示算法的起始和结束；
⑤在图形符号内描述的语言要非常简短清楚．做一做
1.下列关于程序框图的说法正确的是( )
A．程序框图是描述算法的语言
B．在程序框图中，一个判断框最多只能有一个退出点
C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观
D．程序框图和流程图不是同一个概念
解析：选A.本题是程序框图概念方面的辨析题．一个判断框可以有多个退出点，所以B不正确；程序框图就是流程图，所以D不正确；程序框图要比自然语言直观、形象，所以C不正确，故选A.3．任何一种算法都是由三种基本逻辑结构组成的，它们是_____结构、______结构、_____结构．
4．顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构，它是由若干个__________的步骤组成的．顺序条件循环依次执行做一做
2.下面说法正确的是( )
A．一个算法只能包含一种基本结构
B．一个算法最多可以包含两种基本结构
C．一个算法可以包含三种基本结构的任意组合
D．一个算法必须包含三种基本结构
解析：选C.一个算法一定含有顺序结构，但可以包含三种基本结构的任意组合，故选C.5．__________是指在一个算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构．
做一做
3.下列关于条件结构的说法正确的是( )
A．条件结构的程序框图中有两个入口和一个出口
B.无论条件结构中的条件是否满足,都只能执行两条路径之一
C．条件结构中的两条路径可以同时执行
D．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的
解析：选B.条件结构只有一个入口，故A错；条件结构的两条路径只能由判断框内条件选择其一执行，故C错，判断框内条件可适当变化，只需其后步骤相应调整即可，故D错．条件结构6．循环结构是指在一个算法中从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的结构．反复执行的步骤称为_______．循环结构又分为_____和________循环结构．
想一想
2.循环结构的程序框图中一定含有判断框吗？判断框内的条件是唯一的吗？
提示：在循环结构中需要判断是否继续执行循环体，故循环结构的程序框图中一定含有判断框．
在具体的程序框图设计时，这里的条件可以不同，但不同表示应该有共同确定的结果．循环体当型直到型【名师点评】 利用公式求解问题，先写出公式，看公式中的条件是否满足，若不满足，先求出需要的量，看要求的量需根据哪些条件求解，需要的条件必须先输入；或将已知条件全部输入，求出未知的量，然后将公式中涉及的量全部代入求值即可．跟踪训练
1．求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的侧面积及体积，为该问题设计算法，并画出程序框图．解：算法如下：
第一步，a＝4，c＝5.
第二步，R＝a.
第三步，h＝，S＝a2.
第四步，V＝Sh.
第五步，h′＝.
第六步，S′＝2ah′.
第七步，输出S′、V.题型二 条件结构的程序框图
给出A(x1，y1)、B(x2，y2)两点坐标，试设计一个算法，求直线AB的斜率，并画出程序框图．程序框图：
【名师点评】 解答本题要对斜率是否存在作出讨论，当x1＝x2时，斜率不存在;当x1≠x2时，方可利用斜率公式计算．互动探究
2.将本例题改为求经过A(x1，y1)、B(x2，y2)两点的直线方程,则程序框图如何画？
解：程序框图如下：题型三 循环结构的程序框图
设计一个计算1×3×5×…×99的算法,画出程序框图.
【解】 算法如下：
第一步，令i＝1，S＝1.
第二步，S＝S×i.
第三步，i＝i＋2.
第四步，判断i＞99是否成立，若成立，
则输出S；否则执行第二步．程序框图如图所示：【名师点评】 如果算法问题中涉及的运算进行了多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的变化规律，就可以利用循环结构设计算法解决．跟踪训练
3．设计一个算法，求满足1＋2＋3＋…n＞2 013的最小正整数n，画出程序框图．
解：算法如下：
第一步，令i＝0，S＝0.
第二步，i＝i＋1.
第三步，S＝S＋i.
第四步，判断S＞2 013是否成立，若成立．
则输出i，否则执行第二步．程序框图如图所示：1．画程序框图的规则
(1)使用标准的框图符号；
(2)框图一般按从上到下，从左到右的方向画；
(3)除判断框外，大多数框图符合只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；
(4)在图形符号内描述语言要简练、清楚．
2．顺序结构是算法三种逻辑结构中最简单的一种，在画框图时，只需按照语句之间的逻辑顺序，从上至下依次画出所需的框．3．对于条件结构，首先对问题设置的条件作出判断，设置好判断框内的条件,然后根据条件是否成立选择不同的流向.(如例2)
4．循环结构程序框图的设计要搞清“三个对应”
需要提醒的是循环结构不能是永无终止的“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要用条件结构来做出判断,因此循环结构中一定要包含条件结构．易错警示 对条件结构的应用讨论不完整致误 设计一个表示解方程ax＋b＝0(a，b为常数)的算法，并画出程序框图．
【常见错误】 在条件结构应用中，对于可能出现的各种情况讨论不完整，而导致程序框图错误．程序框图为：
【失误防范】 在条件结构的应用中，对解形如ax＋b＝0或ax2＋bx＋c＝0的方程时，特别容易忘记a＝0情况的讨论，从而导致条件结构应用错误．跟踪训练
4.设计一个求解ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的算法,并画出程序框图.程序框图如图：课件29张PPT。1．2 基本算法语句?
1．2.1 输入语句、输出语句和赋值语句第一章 算法初步学习导航
1．输入语句
(1)概念：用来控制输入信息的语句．
(2)一般格式：INPUT “提示内容”；变量．
(3)作用：实现算法的输入信息功能．想一想
输入语句的要求是什么？
提示：(1)输入语句要求输入的值只能是具体的数，不能是函数表达式．例如：输入40＋5,10－1,20*10等都不执行.
(2)一个输入语句可以输入多个数，中间用“，”隔开.
例如输入x,y的值，可以写成INPUT “x，y=”; x，y
2.输出语句
(1)概念：用来控制输出信息在屏幕上显示(或打印)的语句．
(2)一般格式：PRINT “提示内容”；表达式．
(3)作用：计算功能，实现算法的输出结果．做一做
判断下列输出语句是否正确？为什么？
(1)输出语句PRINT A＝4
(2)输出语句PRINT 20,3*2
(3)输出语句PRINT yes
解：(1)错，PRINT语句中不能用赋值号“＝”．
(2)对．
(3)对．3．赋值语句
(1)概念：用来表明赋给某一个变量一个数值的语句．
(2)一般格式：变量＝表达式．
(3)作用：计算出表达式的值，把该值赋给变量，使该变量的值等于表达式的值．跟踪训练
1．编写一个程序，求用长度为l的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时所围成的正方形和圆的面积．要求输入l的值，输出正方形和圆的面积(π取3.14)．程序如下：
题型二 赋值语句
请写出下面程序运算输出的结果．【解】 (1)阅读程序,由语句A＝A＋B及A＝3，B＝2，C＝5,
可得A＝5，
又根据语句B＝B－A，可得B＝－3.
又C＝C/A*B，所以输出结果为C＝－3.
(2)由b＝20及a＝b知a＝20，
由c＝30及b＝c知b＝30，
再由c＝a及a＝20知c＝20.
所以a＝20，b＝30，c＝20，
输出a，b，c的值是20,30,20.【名师点评】 对于程序中的每一个变量只能有唯一的值，当给变量赋予新值时，原来的值被“冲掉”，该变量的值变为新赋予的值．
跟踪训练
2．在一次数学考试中，小明、小亮、小强的成绩分别为a，b，c，后来发现统计错了．小亮的成绩记在了小明的名下，小强的成绩记在了小亮的名下，而小明的成绩记在小强的名下了．请设计程序更正成绩单，并输出更正后的成绩．题型三 算法语句与程序框图
根据如图所示的程序框图，写出相应的算法语句．【解】 算法语句如下：【名师点评】 由程序框图写算法语句时，对顺序结构的程序框图只需利用输入、输出、赋值语句即可完成.其中输入、输出框对应输入、输出语句，执行框对应赋值语句．
互动探究解：程序框图如下：
作用：求过指数函数y＝2x的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)直线的斜率k.1．输入语句的作用是实现算法的输入信息功能．
输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式．(如例1)
2．赋值语句的左边只能是变量的名字，而不能是表达式；右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．赋值号的左右两边位置不能对换．(如例2)
3．赋值语句只能给一个变量赋值,不能接连出现两个或多个“＝”.可给一个变量多次赋值,但只保留最后一次所赋的值.4．数学符号与程序符号的比较易错警示 对程序语句书写不规范致误 已知圆台的上、下底面半径和高分别为r，R，h，写出求圆台的表面积和体积的程序(π取3.14)．
【常见错误】 在写程序语句时，对一些符号书写不规范常常导致错误．跟踪训练
4．试设计已知底面半径和高，求圆柱体表面积的程序
(取π＝3.141 59)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件31张PPT。1．2.2 条件语句第一章 算法初步学习导航
3．作用
(1)IF－THEN格式：如果表达式结果为___________，则执行表达式后面的语句体，否则结束．
(2)IF－THEN－ELSE格式：如果表达式结果为___________ ,则执行表达式后面的语句体1;如果表达式结果为不满足条件,则执行ELSE后面的语句体2.
满足条件满足条件想一想
在编写程序时，什么类型选用IF—THEN语句，什么类型选用IF—THEN—ELSE语句？
提示：(1)对于要解决的问题，如果只需要对满足条件的情况作出处理，不需要处理不满足条件的情况，那么就选用IF—THEN条件语句．(2)对于要解决的问题，既需要解决满足条件时的情况，又需要解决不满足条件时的情况，那么就选用IF—THEN—ELSE条件语句．【名师点评】 本题是单支条件判断故可不用“ELSE”．跟踪训练
1．把如下程序框图用相应的程序表示：题型二 IF－THEN－ELSE语句的应用
以下给出的是用条件语句编写的一个程序，根据该程序回答问题：INPUT x
IF x＜3 THEN
y＝2*x
ELSE
y＝x∧2－1
END IF
PRINT y
END(1)若输入－4，则输出结果是________；
(2)若输入3，则输出结果是________；
(3)该程序的功能是求函数________的值，根据x的取值，选择相应的语句执行．【名师点评】 条件语句特别适合处理分段函数的问题，本题中，当输入－4时，由于x＝－4满足条件“x＜3”，故计算机执行THEN后面的语句体y＝2x；当输入3时，由于x＝3不满足条件“x＜3”，故计算机执行ELSE后的语句体．
跟踪训练
2．根据如图框图，写出输入x的值，输出函数y＝f(x)值的程序．题型三 条件语句的综合应用【解】 程序框图：程序如下：【名师点评】 理解条件语句的嵌套时，要分清内层条件语句与外层条件语句，内层的条件结构是外层条件结构的一个分支．
互动探究
3．本例若不用条件的嵌套如何解决？
解：可以采用叠加结构，其程序框图如下：程序如下：1．两种条件语句的联系和区别2.当判断条件多于一个时，若重复应用条件语句，书写程序繁琐，可利用条件语句的嵌套写．(如例3)
3．在编写条件语句的嵌套中的“条件”时，要注意IF和END IF的配对，常常利用文字的缩进来表示嵌套的层次，以便于程序的阅读和理解．规范解答 条件语句的应用 (本题满分12分)元旦期间，某商城搞挂历促销活动：原价每本20元，购买5到9本按9折收费，买10本及其以上按8折收费，请帮商场设计收费的程序．1程序如下：
2抓关键 促规范
正确写出y关于x的分段函数的关系式是解本题的关键．
注意语言符号的规范．12【名师点评】 (1)写程序一定按要求的符号书写，要与我们平时的手写区分开．
(2)首先，对程序中条件的书写格式要熟练规范，如果要多个条件同时成立，应用“AND”连接，而不能是连续的不等式．其次，对条件语句要理解清楚，实际上第一个IF语句不成立时，已经隐含了“x＞＝5”这个条件．
(3)要熟悉条件语句的嵌套形式，任何时候，条件语句中的“IF”与“END IF”一定成对出现．
跟踪训练
4．已知a，b，c三个实数中，有且只有一个是负数，设计一个程序，筛选出这个负数．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件26张PPT。1．2.3 循环语句第一章 算法初步学习导航
循环结构当计算机执行上述语句时，先执行一次DO和UNTIL之间的
循环体，再对UNTIL后的条件进行判断．如果条件不符合,继
续执行循环体；然后再检查上述条件,如果条件仍不符合,再次
执行循环体,直到条件符合时为止，这时，计算机将不执行循
环体，直接跳到UNTIL语句后，接着执行UNTIL语句之后的
语句，因此，UNTIL语句又称为_________ 循环语句．直到型符合反复不符合当型想一想
循环语句与条件语句有什么关系？
提示：循环语句中一定会有条件语句，条件语句是循环语句的一部分，离开条件语句，循环语句无法循环．但条件语句可以脱离循环语句单独存在，可以不依赖循环语句独立地解决问题．【名师点评】 要找清循环体，写在WHILE与WEND之间,如本题的S＝S＋i，i＝i＋1是循环体．互动探究
1．如果本例的“加”改为“乘”，框图及程序有哪些变化？题型二 UNTIL语句的应用【解】 程序框图如图：
程序如下：
s＝0
i＝1
DO
s＝s＋1/(i*(i＋1))
i＝i＋2
LOOP UNTIL i＞2 013
PRINT s
END【名师点评】 (1)这是一个累加求和问题，共1 007项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．
(2)UNTIL语句是先执行了一次循环体，再进行条件判断．跟踪训练题型三 条件语句与循环语句的综合应用
输入100个数,将其中的正数输出,并计算正数的个数．【名师点评】 本例引入了两个变量：i是计数变量，初值为0，作用是记录输入的实数个数，故循环的条件为i＞100，若改用当型循环，则改为i≤100.m也是计数变量，初值为0，作用是记录输入的正数个数．跟踪训练
3．给出某班50名学生的数学测试成绩，60分及以上为及格，要求统计及格人数、及格人数的平均分、全班同学的平均分,画出程序框图，并写出程序．
解：程序框图：
1．计算机执行当型循环语句时，先判断条件的真假，若条件为真，执行循环体，若为假则退出．这是确定是否应用当型语句的关键．(如例1)
2．直到型循环语句中先执行一次循环体，再判断条件是否满足，以决定继续循环还是退出循环．(如例2)
3．控制循环次数的变量要综合考虑初始值和LOOP UNTIL后两处，若初始值为1，则循环体中累加；若初始值为循环的次数，则循环体中递减． 请设计一个求1×2＋2×3＋3×4＋…＋2 013×2 014的值的程序．名师解题 循环语句的应用抓信息 破难点
(1)求从1到2 013的连续两个自然数的积的和．
(2)本题是累加求和问题，可以用循环语句处理．
(3)通过累加变量和计数变量可控制循环．
跟踪训练
4．设计一个计算2×4×6×8×…×100的算法，编写算法程序．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件32张PPT。1．3 算法案例第一章 算法初步学习导航
1．辗转相除法
所谓辗转相除法，就是对于任意给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个数的最大公约数．想一想
1.辗转相除法中的关键步骤可用哪种逻辑结构来实现？
提示：辗转相除法中带余数除法是一个反复执行、直到余数等于0停止的步骤，可用循环结构来实现．2．更相减损术
更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的任意
一种求两个正整数最大公约数的方法．其基本过程是：对于
给定的两个正整数,判断它们是否都是偶数．若是,用2约简；
若不是，则用____________________ ，接着把所得的____ 与
__________ 比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所
得的数______ 为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的
乘积就是所求的最大公约数．
较大数减去较小的数差较小的数相等想一想
2.实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？
提示：先判断a，b是否全为偶数，若是，则先都除以2再进行．3．秦九韶算法
(1)算法原理
它是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值的一种求多项式函数值的算法．
设f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为
f(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝…
首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．
想一想
3.怎样设计秦九韶算法，程序框图及程序呢？
提示：算法步骤如下：
第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值．
第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n－1.
第三步，输入i次项的系数ai.
第四步，v＝vx＋ai，i＝i－1.
第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.4．进位制
(1)进位制的概述
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定
满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进
一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也
就是说，“___________”就是几进制，几进制的基数(大于1
的整数)就是几．
一般地，k进制数的原理是满k进一，k进制数一般在右下角处标注基数(k)，以示区别．例如，270(8)表示270是一个八进制数．十进制数一般不标注基数．满几进一(2)常见的进位制
①二进制：a：只使用0和1两个数字；b：满二进一，如1＋1＝10.
②八进制：a：使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同的数字；b：满八进一，如7＋1＝10.
③十六进制：a：使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；b：满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10.
(3)不同进位制数之间的转化
①k进制数转化为十进制数
把k进制数转化为十进制数，写成不同位上数字与基数幂的乘积之和即可(简称幂积求和)，即anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k＋a0.例如，将二进制数11 001(2)化为十进制数：11 001(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝16＋8＋1＝25.
【解】 辗转相除法：
80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2＋0.
故80和36的最大公约数是4.
用更相减损术检验：
80－36＝44，
44－36＝8，
36－8＝28，
28－8＝20，
20－8＝12，
12－8＝4，
8－4＝4，
∴80和36的最大公约数是4.
【名师点评】 解决此类问题要弄清它们的理论依据，根据理论依据一步一步计算出80和36的最大公约数．跟踪训练
1．求108与45的最大公约数．
解：法一：由辗转相除法，得
108＝45×2＋18，
45＝18×2＋9，
18＝9×2，
故108与45的最大公约数是9.法二：由更相减损术，得
108－45＝63，
63－45＝18，
45－18＝27，
27－18＝9，
18－9＝9，
故108与45的最大公约数是9.
题型二 秦九韶算法及应用
(2013·福州高一检测)用秦九韶算法写出当x＝3时f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．【解】 ∵f(x)＝((((2x－0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，
v0＝2，
v1＝2×3＋0＝6，
v2＝6×3－4＝14，
v3＝14×3＋3＝45，
v4＝45×3－5＝130，
v5＝130×3＋1＝391，
所以f(3)＝391.
【名师点评】 利用秦九韶算法计算多项式值的关键是能准确地将多项式改写,然后由内向外逐次计算.由于后项计算用到前项的结果,故应认真、细心，确保每项计算结果的准确性．
跟踪训练
2．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．
解：f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13.
v0＝3，
v1＝v0×6＋12＝30，
v2＝v1×6＋8＝188，
v3＝v2×6－3.5＝1 124.5，
v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2，
v5＝v4×6＋5＝40 530.2，
v6＝v5×6－13＝243 168.2.
f(6)＝243 168.2.
题型三 进位制
(1)把二进制数101 101(2)化为十进制数．
(2)把十进制数458转化为四进制数．【解】 (1)101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101 101(2)转化为十进制数为45.
(2)
?
458＝13 022(4)．
【名师点评】 (1)将k进制转化为十进制的方法是：先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制的运算规则计算出结果．(2)十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余．互动探究
3．将本例(1)中的二进制数101 101(2)转化为三进制数．
解：101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝45，
∴45＝1 200(3)．1．求两个正数的最大公约数，当两数差别较大时，用辗转相除法，当两数差别不大时，用更相减损术较快．
2．两种非十进制的不同进制之间相互转化时，可以把十进制作为转化的中间桥梁． 利用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋3x＋2，当x＝－2时的值为( )
A．320 B．－160
C．－320 D．300
【常见错误】 (1)考虑x＝－2而认为多项式的值为负值．
(2)易忽略多项式中系数为0的项，致使多项式改写不正确．易错警示 利用秦九韶算法求值的易错点【解析】 将多项式变式为f(x)＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋3)x＋2，v0＝1，v1＝－2＋(－5)＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋3＝－159，v6＝－159×(－2)＋2＝320.
【答案】 A
【失误防范】 (1)解题时注意多项式变形后有几次乘法和几次加法．
(2)要注意所给多项式的项数，特别是系数为0的项．
跟踪训练
4．已知多项式f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6，则f(2)＝________.
解析：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的值．v0＝3，
v1＝3×2＋8＝14，
v2＝14×2－3＝25，
v3＝25×2＋5＝55，
v4＝55×2＋12＝122，
v5＝122×2－6＝238，
所以当x＝2时，多项式的值为238.
答案：238
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件17张PPT。章 末 专 题 整 合专题一 基本算法语句的转换
基本算法语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句五种，用这些语句编写程序时，要注意各种语句的格式要求，特别是条件语句和循环语句，还应注意这两类语句中判断条件的表述及循环语句中有关变量的取值范围．
我国古代数学家张邱建的《张邱建算经》中记载了著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几只？请用程序解决此问题．【解】 算法的程序框图如图所示：
程序如下：
2．方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想在算法中有着广泛的应用，特别是求不定方程的整数解，其常规解法就是试值，但如果解的范围比较大，试值的次数就比较多，工作量较大，我们就可以通过循环语句让计算机重复执行，代替人工单一重复的计算．
在我国《算经十书》之一《孙子算经》中有文：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何．
请设计程序解决此问题，并画出程序框图．程序如下：
专题三 程序框图在实际问题中的应用
计算机的应用包罗万象，算法的实际应用是本章的重点，而高考注重的就是创新意识与实践能力．
2013年山东省普通高校招生实行网上填报志愿．下面是填报志愿的程序框图.如果判断框内的内容为：“填报完所有志愿？”，那么这个程序框图的循环体是什么？请补充完整这个程序框图，并在(1)________；(2)________填上适当的文字．【解析】 利用判断框对“填报完所有志愿？”进行判断后,若“是”，就应该查看、打印所有志愿；否则就要检查有哪些志愿未填，需重新补填．故循环体为：按批次填报志愿→提交并保存本批次志愿→判断“是否填报完所有志愿”．
该部分的结构图为：
【答案】 否 是本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
