课件29张PPT。第三章 概率第三章 概率3．1 随机事件的概率
3．1.1 随机事件的概率第三章 概率学习导航
1．事件
(1)确定事件：一般地，在条件S下，一定________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称为必然事件；在条件S下，一定___________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称为不可能事件．_______事件和________事件统称为相对于条件S的确定事件，简称为确定事件．
(2)随机事件：在条件S下可能_______也可能_________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称为随机事件．
(3)事件：________事件和_______事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．
会发生不会发生必然不可能发生不发生确定随机想一想
1.事件的分类是确定的吗？
提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．
做一做
1.下列3个事件中：①手电筒的电池没电,灯泡发亮；②在山顶上，抛一块石头，石头下落；③一个电影院某天的上座率超过50%.
其中必然事件是________；为不可能事件的是________；为随机事件的是________．
答案：② ① ③
频数[0,1]做一做
2.从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为偶数的频率是________．
答案：0.47
3．概率
(1)定义：一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间_____中的某个常数上．这个常数称为事件A的概率,记为______,其取值范围是[0,1]．通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性______．
(2)求法：由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于_________，因此可以用______fn(A)来估计概率P(A)．
[0,1]P(A)大小概率P(A)频率做一做 3.某出版公司对发行的三百多种教辅用书实行跟踪式问卷调查，连续五年的调查结果如表所示：
则本公司问卷返回的概率为________．
解析：949÷1 006≈0.943 34,1 430÷1 500≈0.953 33，
1 913÷2 010≈0.951 74,2 890÷3 050≈0.947 54，
4 940÷5 200＝0.95.都稳定于0.95，故所求概率为0.95.
答案：0.95
想一想
2.频率与概率的关系是什么？
提示：
题型一 事件的分类
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)2012年奥运会在英国伦敦举行；
(2)甲同学今年已经上高一,三年后他被北大自主招生录取；
(3)A地区在十二五规划期间会有6条高速公路通车；
(4)在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化．
【解】 (1)是必然事件，因事件已经发生．
(2)(3)是随机事件，其事件的结果在各自的条件下不确定．
(4)是不可能事件，在本条件下，事件不会发生．
【名师点评】 对事件分类的两个关键点：
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
跟踪训练
1．(2013·西南师大附中高二检测)下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.在所给条件下，①是必然事件；②是随机事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是随机事件．
题型二 概率及其求法
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【名师点评】 随机事件概率的理解及求法：
(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
互动探究
2．若例题中得到的统计表部分数据丢失，请补充完整，并回答问题.
若灯管使用寿命不小于1 100小时为合格，求合格率．
解：
合格率＝0.208＋0.223＋0.193＋0.165＋0.042＝0.831.
题型三 试验与重复试验的结果的分析
从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差，指出该试验的所有可能的结果．
【解】 该试验的所有可能的结果有：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,6－1＝5，
3－6＝－3,6－3＝3，
1－10＝－9,10－1＝9，
6－10＝－4,10－6＝4，
3－10＝－7,10－3＝7，
【名师点评】 在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活的经验，按一定的次序一一列举，才能保证没有重复，也没有遗漏．
跟踪训练
3．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素构成集合A的子集．
解：(1)一次试验是指“抛掷两枚硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
1．事件到底属于哪一种类型是相对于一定的条件而言的，当适当改变条件时，三种事件可以互相转化．所以，分析一个事件，首先必须搞清何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果,要注意从题目背景中体会条件的特点．(如例1)
2．采用列举法写试验结果时要按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．(如例3)
易错警示 事件判断中的误区 (2013·汕头高一检测)从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有1个是次品
C．3个都是次品
D．至少有1个是正品
【常见错误】 ①误认为正品数大于次品数，抽出的就都是正品，从而错选A.②不会分析抽取3件的所有可能情况，可能错选B.
【解析】 任意抽取3件的可能情况是：
3个正品；2个正品1个次品；1个正品2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的，必然事件应该是“至少有1个是正品”．
【答案】 D
【失误防范】 (1)准确理解必然事件，不可能事件和随机事件的含义是判断事件类型的关键．
(2)在试验中，当结果可能不唯一时，要判断事件类型，必须把握所有的可能结果，才能正确判断．
跟踪训练
4．在200件产品中，有192件是一级品，8件是二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于9，
其中________是必然事件；______是不可能事件；________是随机事件．
解析：因为在200件产品中，有192件一级品，选出9件，可能都是一级品，也可能不全是，故①③是随机事件；因为只有8件二级品，所以选出9件，全部是二级品是不可能事件；不是一级品的件数小于9是必然事件．
答案：④ ② ①③
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件27张PPT。3．1.2 概率的意义第三章 概率学习导航
1．概率的意义
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有___________．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的_________．概率只是度量事件发生的可能性的________，不能确定是否发生．
规律性可能性大小2．游戏的公平性
尽管随机事件的发生具有随机性，但是当大量重复这一过程时，它又呈现出一定的规律性，因此利用______知识可以解释和判断一些游戏规则的公平性、合理性．
想一想
在乒乓球、排球等比赛中，裁判员一般用哪些方法决定谁先发球？
提示：抽签器、猜硬币等．
概率3．决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使样本出现的可能性_______”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，是决策中的概率思想．
4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的________．
最大大小做一做
(2013·杭州调研)某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是( )
A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨
B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨
C．明天本地降雨的机会是80%
D．以上说法均不正确
解析：选C.选项A，B显然不正确,因为80%是说降雨的概率,而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.
5．试验与发现
概率学知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如：奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近_______，而对这一规律进行深入研究,得出了遗传学中的一条重要统计规律．
6．遗传机理中的统计规律
奥地利遗传学家孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
3∶1题型一 概率含义的理解
下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【解析】 一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．
【答案】 D
【名师点评】 从三个方面理解概率的意义：
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
跟踪训练
1．某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?
解：如果把治疗一个病人作为一次试验,对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说,其结果仍然是随机的,有可能治愈，也可能没有治愈．
“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈．
题型二 游戏的公平性
如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？
【解】 列表如下：
【名师点评】 游戏公平性的标准及判断方法：
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
互动探究
2．在例2中，若将游戏规则改为：自由转动转盘A和B，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么甲获胜，否则乙获胜，游戏规则公平吗？
解：列表如下：
题型三 概率的应用
设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的？
【名师点评】 统计中极大似然法思想的概率解释：在一次试验中概率大的事件比概率小的事件出现的可能性大．
跟踪训练
3．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次,得到红球数与10的比值的平均数为0.4.根据上述数据，估计口袋中大约有多少个黄球？
解：由题意可知试验中摸出红球的概率是0.4，因此可以认为从口袋里摸出红球的概率是0.4，则口袋里的球的个数为10÷0.4＝25，所以口袋里大约有黄球15个．
1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系．(如例1)
2．概率是一种可能性，它通过频率估算一个随机事件发生的可能性，可以看作频率理论上的期望值．
3．概率只提供了一种“可能性”，并不是精确值，例如概率为15%，并不是说100次试验中肯定会发生15次，只是说可能会发生15次，但也不排除发生的次数大于15或者小于15.
名师解题 全面、深刻理解游戏的公平性解题 下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球.
若从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是游戏几？
123抓信息 破难点123跟踪训练
4．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10
等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停
止后，指针指向的数字即为转出的数字．
游戏规则如下：两个人参加，先确定猜
数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件32张PPT。3．1.3 概率的基本性质第三章 概率学习导航
1．事件的关系
(1)包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A_______，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作________ (或A?B)．不可能事件记作?，任何事件都包含不可能事件．
类比集合，事件B包含事件A用图 表示．
发生B?A想一想
在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
提示：A?B.
(2)相等关系
如果事件A发生，那么事件B一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等记作A＝B.
一般地，若B?A，且A?B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.
2．事件的运算
(1)并事件
若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的_________ (或和事件)，记作C＝______ (或C＝A＋B)．
类比集合，事件A与事件B的并事件用图 表示．
(2)交事件
若某事件C发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝_______ (或C＝AB)．
类比集合，事件A与事件B的交事件用图 表示．并事件A∪B且A∩B(3)互斥事件、对立事件
若事件A与事件B为__________，那么称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中_________发生．
若A∩B为________事件，A∪B为_____事件,那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中__________一个发生．
A∩B＝?不会同时不可能必然有且仅有做一做
1.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：
①两球都不是白球；
②两球中恰有一白球；
③两球中至少有一个白球，
其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：选A.从口袋内一次取出2个球，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生,且A不发生时,①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件；而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．
3．概率的几个性质
(1)范围
任何事件的概率P(A)∈_____．
(2)必然事件的概率
必然事件的概率P(A)＝_____.
(3)不可能事件的概率
不可能事件的概率P(A)＝_____.
(4)概率加法公式
如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝_______________．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝_____________＝1.
[0,1]10P(A)＋P(B)P(A)＋P(B)做一做
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
解析：选C.摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
题型一 事件间关系的判断
从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；
(2)至少有1件次品和全是次品；
(3)至少有1件正品和至少有1件次品．【解】 依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：
(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．
(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．
【名师点评】 (1)判断事件是否互斥的两步骤：
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(2)判断事件对立的两步骤：
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
跟踪训练
1．从1,2，…，9中任取两个数，其中：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
是对立事件的是________．
解析：从1,2，…，9中任取两个数字包括一奇一偶、两奇、两偶共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立的．
答案：③
题型二 事件的运算
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【解】 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球、2个红球，1个白球和三个均为红球，故C∩A＝A.
【名师点评】 在解答(1)时，易出现如下错误：认为A?D，B?D，出现该错误的原因是没有真正理解题意，没有理解事件D所包含的几种情况．
互动探究
2．在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：由本例的解答可知，
C＝A∪B∪E，C∩F＝A∪B.
题型三 用互斥事件、对立事件求概率
(2012·高考湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
【名师点评】 (1)应用概率加法公式时要保证事件互斥，复杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简：注意不重不漏．
(2)当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即贯彻“正难则反”的思想．
跟踪训练
3．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：
求至少有2人排队的概率是多少？
解：“至少有2人排队”包含“2人，3人，4人，5人以上”四种情况，较复杂，而对立事件只包含“0人，1人”两种情况,所以可以利用对立事件得所求概率为1－(0.1＋0.16)＝0.74.
1．判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果,再进行分析．(如例1)
2．用公式时，一定要分清是互斥，还是对立，对立的事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，尤其对于“至多”、“至少”的包含情况要分清．
规范解答 概率加法公式及对立事件的应用 (本题满分12分)(2013·沈阳高一检测)某校射击队的队员经过训练,某队员射击一次,命中7环～10环的概率如下所示:
求该射击队员射击一次
(1)射中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
123抓关键 促规范
明确事件的特点是解答本题的关键与突破点．
由A＝A9∪A10，转化为利用概率加法公式进行求解．
此处的转化是求解(3)必不可少的一步，分析要不重不漏．123【名师点评】 (1)准确理解事件包含的结果和事件间的关系是求解概率问题的关键，读不懂题意是概率题失分的主要原因．
(2)解答过程中书写表达不规范，也往往造成失误，如不设事件，只简单给出几个数据等现象都易失分．
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3．2.1 古典概型第三章 概率学习导航
1．基本事件
(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的_________事件称为该次试验的基本事件．
(2)特点：一是任何两个基本事件是______的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的_____．
随机互斥和做一做
1.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，所有的基本事件数是________．
解析：所有的基本事件有(红红红)(红红白)(红白红)(白红红)(红白白)(白红白)(白白红)(白白白)，共8个．
答案：8
有限相等想一想
“在区间[0,10]上任取一个数,这个数恰为2的概率是多少”？这个概率模型属于古典概型吗？
提示：不是．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
做一做
2.投掷一枚骰子，恰好数字6正面向上的概率是________．
题型一 基本事件及其计数问题
口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，求出这个试验的基本事件个数．
【解】 把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1,2，把两黑球也编上序号1,2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如下：
从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.
【名师点评】 基本事件的两个探求方法：
(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法(关键词：基本事件的总数)．
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目(关键词：结构关系)．
互动探究
1．在例1中，试写出第2个人摸到白球的所有基本事件．
解：由例1的解析可知,第2个人摸到白球的基本事件有12个．
题型二 古典概型的概率计算
从分别写有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，求下列事件的概率：
(1)两个数的和为奇数；
(2)两个数的积为完全平方数．
【名师点评】 本题中抽取卡片无次序，所以抽取卡片号为(3,2)与(2,3)为同一基本事件；充分理解题意，才能准确写出基本事件空间．
跟踪训练
2．将一颗正方体骰子投掷2次，求：
(1)向上的点数之和是8的概率；
(2)向上的点数之积是12的概率．
题型三 利用古典概型求复杂事件的概率
现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀,C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．
(1)求C1被选中的概率；
(2)求A1和B1不全被选中的概率．
【名师点评】 解决本题的关键是通过分析得出公式中某事件所包含基本事件数和事件总数,然后代入公式求解；同时，要结合互斥与对立事件的概率公式．
跟踪训练
3．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
1．对于较复杂问题中基本事件数的求解可应用列表或树形图．(如例1，例2)
2．求较复杂的古典概型的概率时，若所求的事件是包含了两个或多个互斥的子事件，则要分别求出各个子事件的概率，再利用互斥事件概率的加法公式求所求事件的概率；若所求事件直接求情况比较多，则可以先求其对立事件的概率．
名师解题 古典概型的综合应用 编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
抓信息 破难点
(1)依据给出的统计表，参照各运动员的得分，填写相应的空格．
(2)运用树状图可写出用运动员编号表示的所有可能的抽取结果，一定要做到不重不漏，这是完成该题的关键一步．
(3)运用第2问找出的抽取的结果,逐个统计运动员的得分和，找出分数和大于50的所有基本事件．这里应注意和为50的不应在内．
跟踪训练
4．先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解：如图所示,从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件24张PPT。3．2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生第三章 概率学习导航
整数随机数的产生
计算器或计算机产生的整数随机数是依照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质，不是真正的随机数，称为_________．即使是这样，由于计算器或计算机省时省力，并且速度非常快，我们还是把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数．
伪随机数提示：正确步骤顺序为②③①④.
做一做
盒中有大小、形状相同的五个白球和两个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率．
(1)取一球，得到白球；
(2)取三球，恰有两个白球．
题型一 随机模拟法估计古典概型的概率
同时抛掷两枚骰子，设计一个随机模拟方法来估计向上的面的数字都是1点的概率．(只写步骤)
【名师点评】 用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值．n越大，估计的概率准确性越高．
跟踪训练
1．某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门．
(1)不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多大？
(2)如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多大？
设计一个试验，用随机模拟方法估计上述概率．
题型二 随机模拟法估计非古典概型的概率
种植某种树苗，成活率为0.9，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果．经随机模拟产生30组随机数：
69 801 66 097 77 124 22 961 74 235 31 516
29 747 24 945 57 558 65 258 74 130 23 224
37 445 44 344 33 315 27 120 21 782 58 555
61 017 45 241 44 134 92 201 70 362 83 005
94 976 56 173 34 783 16 624 30 344 01 117
据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为________．
【答案】 0.30
【名师点评】 估计非古典概型的概率要设计恰当的试验方案，并且使试验次数尽可能多，这样才与实际概率更接近．
互动探究
2．在例2中，若树苗成活的概率是0.8，则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少？
解：利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0和1代表不成活，2到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组．例如，产生20组随机数：
23 065 37 052 89 021 34 435 77 321 33 674
01 456 12 346 22 789 02 458 99 274 22 654
18 435 90 378 39 202 17 437 63 021 6 7310
20 165 12 328这就相当于做了20次试验，在这些数组中，如果至多有一个是0或1的数组表示至少有4棵成活，共有15组，于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20＝0.75.
1．用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．
2．当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数字代表一个基本事件．(如例1)
3．利用计算机或计算器产生随机数时，需切实保证操作步骤与顺序的正确性，并且注意不同型号的计算器产生随机数的方法可能会不同，具体操作可参照其说明书．
利用抽签法产生随机数时需保证任何一个数被抽到的机会均等．(如例2)
易错警示 随机模拟的易错点 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966
191 925
271 932
812 458
569 683
631 257
393 027
556 488
730 113
137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )
【常见错误】 本题易错点有两处：
一是错误的理解数字的代表意义，将1,2,3,4理解为不下雨，5,6,7,8,9,0理解为下雨；二是理解随机数的意义，出错或数据统计错误．
【答案】 B
【失误防范】 (1)解决此类题目时正确设计试验，准确理解随机数的意义是解题的基础和关键．
(2)认真统计数据，确保数据准确是解题的保证．
跟踪训练
3．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5 727 0 293 7 140 9 857 0 347
4 373 8 636 9 647 1 417 4 698
0 371 6 233 2 616 8 045 6 011
3 661 9 597 7 424 6 710 4 281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85 B．0.819 2
C．0.8 D．0.75
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件23张PPT。3．3 几何概型
3．3.1 几何概型第三章 概率学习导航
长度想一想
古典概型与几何概型有何区别？
提示：几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．
题型一 与长度、角度有关的几何概型
如图，在等腰直角三角形ABC中，过
直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，
与线段AB交于点M.求AM
【名师点评】 在解答本题的过程中，易出现用线段来代替角度作为区域度量来计算概率的错误，导致该种错误的原因是忽视了基本事件的形成过程．
题型二 与面积有关的几何概型
有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖．小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
【答案】 A
【名师点评】 找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关的面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
互动探究
2．在例2中，条件不变，若小明有一次去掉一个最小中奖机会的游戏盘，则应选择的游戏盘是( )
题型三 与体积有关的几何概型
一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．
【名师点评】 本题相当于把正方体分割为27个棱长为1的小正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．
跟踪训练
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD-A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是________．
1．在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A的概率．(如例1)
2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．(如例1)
3．解决与体积有关的几何概型的关键点
解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．
规范解答 几何概型与其他知识的综合应用
(本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
123抓关键 促规范
点到直线的距离公式要牢记，勿代错或求值出错．
由l与l1的距离为2(或圆心到直线l1的距离为3),求l1的方程．
是“劣弧所对的圆心角”而不是“弧长”，是关键．
123跟踪训练
4．平面上画了两条平行且相距2a的平行线．把一枚半径r本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件31张PPT。3．3.2 均匀随机数的产生第三章 概率学习导航
均匀随机数想一想
一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分钟，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的．我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的,还是连续的？
提示：X在区间[a，b]上等可能取任意一个值；X的取值是连续的．
做一做
下列关于随机数的说法：
①计算器只能产生(0,1)之间的随机数；
②计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；
③计算器只能产生均匀随机数；
④我们通过命令rand( )*(b－a)＋a来得到两个整数值之间的随机数．
其中正确的是________．
解析：
答案：④
题型一 用随机模拟方法估计长度型几何概型
取一根长度为5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
【名师点评】 用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算机产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
互动探究
1．若将例1改为“取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，利用随机模拟法求剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大”？题型二 用随机模拟方法估计面积型的几何概型
在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了一个以正方形的中心为圆心的圆，半径为6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：投在圆内的概率是多少？
【解】 设事件A＝{投在圆内}．
(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数：a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过伸缩和平移变换：a＝a1*16－8，b=b1*16－8，得到两组[－8，8]上的均匀随机数.
【名师点评】 解决此题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、纵坐标，从而确定点的位置．
跟踪训练
2．解放军某部进行特种兵跳伞演习，如图
所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有
大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m,
2 m,5 m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩
为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳
伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
题型三 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积
利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝9－x2与x轴和y＝x围成的图形)的面积．
【解】 设事件A为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
【名师点评】 解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的近似值．
跟踪训练
3．利用随机模拟法近似计算图中曲线y＝2x与直线x＝±1及x轴围成的图形(阴影部分)的面积．
解：在如图所示的坐标平面中画出正方形，
用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正
方形的面积之比，从而求得阴影部分面积
的近似值．
设事件A为“随机向正方形内投点，所投
的点落在阴影部分内”．
第一步，用计算机产生两组[0,1]上的均匀
随机数，a＝RAND，b＝RAND.1．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟方法：制作两个转盘模型进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．(如例1)
2．对面积型的几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组均匀随机数是不能确定点的位置的，故解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，再根据点的个数比来求概率．(如例2)
3．用随机模拟法近似计算不规则图形的面积时，对于较复杂的问题通常需要设计一个图形，使其面积与某个常数有关，进而就可以设计一个概率模型，然后设计适当的试验并通过这个试验结果来确定所求面积的近似值．
易错警示 对应用问题的题意理解不透致误
在正方形中随机撒一把豆子，通过考察落在其内切圆内黄豆的数目,用随机模拟的方法可计算圆周率π的近似值．
(1)用两个均匀随机数x，y构成的一个点的坐标(x，y)代替一颗豆子，请写出随机模拟法的方案；
(2)以下程序框图用以实现该模拟过程，请将它补充完整．
(注：rand是计算机在Excel中产生[0,1]区间上的均匀随机数的函数)
【常见错误】 本题易错点：一是将不等式x2＋y2≤1误写成：x2＋y2＜1，二是在求圆周率的近似值时,易出现化简错误．
【失误防范】要深入理解利用均匀随机数估计概率的思想，列相关的条件时要准确；解答题的最后结论正确与否至关重要，因此要特别注意，应养成准确计算、化简的解题习惯．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件15张PPT。章 末 专 题 整 合专题一 互斥事件、对立事件的概率与应用
(1)互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．
若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，因此求互斥事件的概率时要注意分类讨论思想的运用．
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
小王制定一个玩飞行棋的游戏规则为：抛掷两枚均匀的正四面体骰子(四面依次标上数字1,2,3,4)，掷得点数之和为5时才“可以起飞”，请你根据规则计算“可以起飞”的概率．
【解】 列表得：
(2013·临沂质检)已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4],求一元二次方程没有实数根的概率．
【分析】 (1)(a，b)是骰子点数，是古典概型．
(2)(a，b)无限多的点，是几何概型．
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