第十八章 平行四边形
一、单选题
1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若BC=8cm,则DE=( )
A.16cm B.8cm C.4cm D.无法确定
2.在□ABCD中,∠A、∠B的度数之比为5∶4,则∠C等于( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
3.如图,在△ABC中,BC=12,D、E分别是AB、AC的中点,F是DE上一点,DF=1,连接AF,CF,若∠AFC=90°,则AC的长度为( )
A.10 B.12 C.13 D.14
4.关于矩形的性质,以下说法不正确的是( )
A.对边平行且相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
5.如图,AB是池塘两端,设计一方法测量AB的距离,取点C,连接AC、BC,再取它们的中点D、E,测得DE=15米,则AB=( )米.
A.7.5 B.15 C.22.5 D.30
6.如图,矩形中,点E,F,G分别为边上的点,点E是的中点,,,在中,,,矩形的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC、OD、AB的中点,下列结论:①∠OBE=∠ADO;②EG=EF;③GF平分∠AGE;④EF⊥GE,其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
8.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于O,EF经过点O,分别交AD,BC于E,F,已知 ABCD的面积是,则图中阴影部分的面积是
A.12 B.10 C. D.
9.如图,将两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG按图示方式放置(点A、D、E在同一直线上),连接AC、AF、CF,已知AD=3,DC=4,则CF的长是( )
A.5 B.7 C.5 D.10
10.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是对角线BD,AC的中点,依次连接E,G,F,H,连接EF,GH,BD与EH相交于P,若AB=CD,∠ABD=20°,∠BDC=70°,则∠GEF=( )度.
A.25 B.30 C.45 D.35
二、填空题
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边上的中线CD=3,则斜边AB的长是_____.
12.如图,在中,若,,则的度数为________.
13.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,若AD=BC=,则四边形EGFH的周长是_____.
14.如图,菱形ABCD中,P为AB中点,∠A=60°,折叠菱形ABCD,使点C落在DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的大小为_____°.
15.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连接AE,若BD=13,则AC=___.
三、解答题
16.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,BC=10,AB=8
求.(1)FC的长
(2)EC的长.
17.如图,在中,,是的中点,是的中点,过点作,交的延长线于点,连接.
(1)证明:四边形是菱形;
(2)当时,请问四边形是什么特殊的四边形?并说明理由.
18.如图,矩形中,,,如果将该矩形沿对角线折叠,点C落在点处,交于点E,求图中阴影部分的面积.
参考答案:
1.C
【详解】∵点D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=BC=4
故选C.
2.C
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形.
∴∠A+∠B =180°,∠C =∠A.
∵∠A、∠B的度数之比为5∶4.
∴可设∠A=5x,则∠B=4x,
∴5x+4x=180°,
解得:x=20
∴∠C =∠A=20×5=100°.
故选C.
3.A
【详解】∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE=BC=6,
∵DF=1,
∴EF= DE - DF=5,
∵AF⊥FC,
∴△AFC是直角三角形,
∵E是AC的中点,
∴EF=AC,
∴AC=2 EF=10.
故选:A.
4.C
【详解】矩形是特殊的平行四边形,矩形的对边平行且相等,对角线相等,是轴对称图形,故A,B,D选项正确,不符合题意,
对角线互相垂直是菱形的性质,故C不正确,符合题意.
故选C.
5.D
【详解】∵D、E分别是AC、BC的中点,DE=15米,
∴AB=2DE=30米,
故选D.
6.A
【详解】解:如图,过点F作于点H,过点G作于点M,
∵,,
∴,
∵,,
∴是等腰直角三角形,,
∴,,
∴,
设,则,
∴,
∵点E是的中点,,,
∴,
∴,,
∵四边形是矩形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
解得:或(舍去),
∴.
∴矩形的面积为.
故选:A
7.A
【详解】解:①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ADBC,AD=BC,DO=BO=BD,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD=2AD,
∴AD=DO,
∴BC=BO,
∵E是CO中点,
∴∠OBE=∠OBC,
∴∠OBE=∠ADO,故①正确;
②∵BC=BO,
∴△BOC是等腰三角形,
∵E是CO中点,
∴EB⊥CO,
∴∠BEA=90°,
∵G为AB中点,
∴EG=AB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∵E、F分别是OC、OD的中点,
∴EF=CD,
∴EG=EF,故②正确;
③∵EFDC,DCAB,
∴EFAB,
∴∠EFG=∠AGF,
∵EF=EG,
∴∠EFG=∠EGF,
∴∠EGF=∠AGF,
∴GF平分∠AGE,故③正确;
根据选项可得A正确.
故选:A.
8.D
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠EAC=∠ACB(或∠AEO=∠CFO),
又∵∠AOE=∠COF,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF,
∴S△AOE=S△COF,
∴阴影部分的面积= S△BOC=×S□ABCD =×20=5.
故选D
9.C
【详解】∵两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG,
∴AG=AD=BC=3,FG=AB=CD=4,∠FGA=∠ABC=90°,
AC==5,
在△FGA和△ABC中,
,
∴△FGA≌△ABC(SAS),
∴AF=AC,∠GFA=∠BAC,∠GAF=∠BCA,
∵∠GFA+∠GAF=90°,
∴∠GAF+BAC=90°,
∴∠FAC=90°,
∴△CAF是等腰直角三角形,
∴CF=AC=5,
故选C.
10.A
【详解】解:E、G分别是AD、BD 的中点,F H分别是BC、AC的中点,
,
,
同理:,
四边形EGFH是平行四边形,
AB=CD,
GE=GF,
四边形EGFH是菱形
∠ABD= 20°,∠BDC= 70°,,
,,
,
,
,
FE平分 ,
故选:: A.
11∵CD是斜边AB上的中线,CD=3,
∴AB=2CD=2×3=6.
故答案为6.
12.
,,∵四边形是平行四边形,,.
13.∵E、G是AB和AC的中点,
∴EG=BC=,
同理HF=BC=,
EH=GF=AD=.
∴四边形EGFH的周长是:4×=4.
故答案为4.
14. 解:如图,连接BD,
∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,
∵P为AB的中点,
∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,
∴∠PDC=90°,
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,
在△DEC中,∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.
故答案为:75°.
15∵AD⊥AB,点E是BD的中点,
∴AE=BE=ED=DB=6.5,
∴∠B=∠BAE,
∴∠AED=2∠B,
∵∠C=2∠B,
∴∠AEC=∠C,
∴AC=AE=6.5.
故答案为6.5.
16.
解:(1)根据折叠可得AD=AF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=10,∠B=90°,
∴AF=10,
∴BF=,
∴FC=4;
(2)根据折叠可得ED=EF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=8,∠C=90°,
设ED=x,则EF=x,EC=8﹣x,
在Rt△EFC中,EF2=EC2+FC2,
x2=(8﹣x)2+42,
解得:x=5,
∴EC=8﹣5=3.
17
(1)解:∵,∴.∵是的中点,∴.又∵,∴,∴,又∵在中,,是的中点,∴,∴,∴四边形是平行四边形.又∵,∴四边形是菱形.
(2)四边形是正方形.理由如下:当时,为等腰直角三角形,∵是的中点,∴,∴菱形是正方形.
18.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=8cm,BC=AD=16cm,
∴.
由折叠可知:,
∴,
∴.
设DE为x,则,
由勾股定理,得.
∴,
解得x=10.
∴,
∴阴影部分的面积.