第三章 图形的平移与旋转单元测试卷（困难）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版初中数学八年级下册第三单元《图形的平移与旋转》（困难）（含答案解析）
考试范围：第三单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
2. 如图，等边的顶点，，规定把“先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为( )
A. B.
C. D.
3. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
4. 如图，已知中，，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，为的中点，连接，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5. 已知和都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，中，，，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
8. 下列所述的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 矩形 B. 正三角形 C. 正五边形 D. 直角三角形
9. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
10. 四张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为( )
A. B. C. D.
11. 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成个正方形和个长方形，其中标为的两个长方形是一样的、标为的两个正方形方形也是一样的若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到三角形，如果，，，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，已知直线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且，点为轴的正半轴上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则点的坐标为 ．
已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为______秒．
16. 如图，在平面直角坐标系内，边长为的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图所示，轴于点，点的坐标为，将沿轴负方向平移个单位，平移后的图形为．
直接写出点和点的坐标；
在四边形中，点从点出发，沿“”移动，移动到点停止．若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：
当为何值时，点的横坐标与纵坐标互为相反数；
用含的式子表示点在运动过程中的坐标写出过程；
当秒秒时，四边形的面积为，求点的坐标．
18. 本小题分
已知，，，试回答下列问题：
如图所示，求证：；
如图，若点、在上，且满足，并且平分，此时的度数等于______ 直接写出答案即可；
在的条件下，若平行移动，如图，那么：的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
在的条件下，如果平行移动的过程中，若使，求此时度数．
19. 本小题分
如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中若固定，将绕点旋转．
当绕点旋转到点恰好落在边上时，如图．
当时，此时旋转角的大小为____；
当时，此时旋转角的大小为____用含的式子表示．
当绕点旋转到如图所示的位置时，小杨同学猜想：的面积与的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
本小题分
如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图，连接，，．
当时，求证：；
如图，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
21. 本小题分
如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，连接，．
求的度数；
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的长直接写出结果．
22. 本小题分
已知：如图，，．
求的度数；
如图，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动，设旋转的时间为秒，当时，试求的值；
如图，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？请直接写出结果
23. 本小题分
如图，在中，绕点旋转后，得到请先画出变换后的图形，写出下列结论正确的序号是______ ．
≌；
线段绕点旋转后，得到线段；
；
是线段的中点．
在的启发下解答下面问题：
如图，在中，，是的中点，射线交于，交的延长线于，请猜想等于多少度时，？直接写出结果，不证明
如图，在中，如果，而中的其他条件不变，若的结论仍然成立，那么与满足什么数量关系等式表示并加以证明．
24. 本小题分
已知，为射线上一定点，，为射线上一点，为线段上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．
依题意补全左上图；
求证：；
在线段的延长线上取一点，使得，连接求证：当时，对于任意的点总有．
25. 本小题分
如图是由若干个完全相同的小正方形构成的纸片，请你剪刀，将它拼接成一个新的正方形．请在图中用粗实线画出剪的位置，并简要表述你的拼接方式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，
，，
，，
在中，，
，
点为中点，
，
在与中，
，
≌，
，
延长，过点作于点，
可得，
在中，，
当直线时，最大值为，
综上所述，的最大值为．
故选：．
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：为等边三角形，，，
，
沿轴翻折，再向右平移个单位为一次变换，
第一次变换后：，
第二次变换后：，
第三次变换后：，
，
由此变换规律为：
横坐标：每次变换后加一，
纵坐标：奇数次变换为，偶数次变换后为，
次变换后，纵坐标为，横坐标为，
，
故选：．
先由等边三角形的性质推出点的坐标，再将前几次变换的坐标求出来，观察规律为横坐标变换后加一，纵坐标变换后符号改变，即可求解．
本题考查折叠变换、点的坐标规律型，坐标与图形变化，解题的关键是推出每次变换后横纵坐标的变换规律．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
，
，，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，，当时，的值最大，根据旋转的性质得到，由三角形的中位线的性质得到，根据勾股定理得到，即可得到结论．
【解答】
解：如下图所示，取的中点，连接，，
当时，的值最大，
将直角边绕点逆时针旋转至，
，
为的中点，
，
，，
，
，
，
故选B．
5.【答案】
【解析】解：根据旋转的特性，画出点旋转一圈的轨迹，如图．
结合图形可知：
当落在位置时，最大，
和都是等腰直角三角形，，，，
，，，
是的中点，
，；
当落在位置时，最小，
，且是的中点，
，
．
综合可知：．
故选A．
过点以长为半径作圆，可知当最大与最小时，点与共线，由此可得出的范围．
本题考查了旋转的性质，解题的关键是：明白“过点以长为半径作圆，当最大与最小时，点与共线”．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，
在中，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
点在过点且垂直的直线上运动，
当时，的值最小，即的值最小，
，，
，
，，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，可得点在过点且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即的值最小，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点，
，是边上的中点，
，
由翻折知，≌，垂直平分，
，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，
，，
，，
，
在中，
，
，
，
，
故选：．
连接，交于点，过点作于点，由翻折知，≌，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长．
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；
B.正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
C.正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D.直角三角形无法判定是否是轴对称图形，一定不是中心对称图形，故此选项错误．
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图形重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；
不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．

10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查概率公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．
先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【解答】
解：四张卡片中中心对称图形有平行四边形、菱形、圆共个，
卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为．
故选A．

11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了中心对称的性质和应用，首先设图形的长和宽分别是、，图形的边长是，图形的边长是，原来大长方形的周长是，判断出，，；然后分别判断出图形、图形的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形的周长不用测量无法知道，据此解答即可．
【解答】
解：如图，设原住房平面图长方形的周长为，的长和宽分别为，，的边长分别为，，根据题意得：
，得，
将代入，得定值，
将代入，得定值，
而由已列方程组得不到，
分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为
故选A．

12.【答案】
【解析】解：如图，连接，
为等边三角形，，，
，，，，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
当时，值最小，
此时，，，
，
故选：．
连接，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证≌，推出，再由垂线段最短可知当时，值最小，利用含的直角三角形的性质定理可求的值．
本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性．
13.【答案】
【解析】
【分析】
根据平移的性质可知两个直角三角形是完全重合的，面积相等，所以阴影部分的面积等于四边形的面积，因为四边形是一个梯形，，据此求出，再利用梯形的面积公式计算即可解答．
【解答】
解：平移后：
故答案为：．
【点评】
本题考查了平移的性质，得出阴影部分的面积等于梯形的面积是解题关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是证明．
以为边作一个等边，连接，，，先求出，再结合，，可得出，继而得出，然后再求出，根据勾股定理可求出，进而求出，得到，即可得解．
【解答】
解：如图，以为边作一个等边，连接，，，
将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，
， ，
三角形是等边三角形，
，，
也是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
为直角三角形，
又，
，
，
，
由勾股定理可得，
，
由勾股定理得：，
，
即点的坐标为．
故答案为：．
15.【答案】或或
【解析】解：，，，
．
当时，如图中，
，
，
，
，
，
旋转时间．
如图中，当时，
，
，
旋转时间．
当时，如图中，
，
，
，
旋转时间．
综上所述，旋转时间为或或时，恰有一边与平行．
故答案为：或或．
分三种情形讨论：当时．当时．当时，分别求出即可解决问题．
本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：边长为的等边的顶点与原点重合，
，．
如图，过点作轴于点，
，，
点的坐标为
将绕顶点顺时针旋转得到，
四边形是平行四边形，
，，
点的坐标为，即
将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
由规律可得：点的坐标为，即
故答案为：
过点作轴于点，根据等边三角形的性质可求出，的长度，进而可得出点的坐标，再由旋转的性质可得出四边形是平行四边形，结合点的坐标及的值，即可得出点的坐标；根据平移的性质可找出点，，的坐标，根据规律可得出点的坐标．
本题考查了利用旋转设计图案、等边三角形的性质，旋转与平移的性质，正确求出，，的坐标，从而找出规律是解题的关键．
17.【答案】解：由题意知：，；
当点在上时，有，
点的横纵坐标互为相反数，
．
当点在上时，设，
点的横纵坐标互为相反数，
，即，
解得：，
综上所述：当为秒或秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数．
当点在上时，有；
当点在上时，有点纵坐标为，
横坐标为：
此时，；
当点在上时，有点的横坐标为，
纵坐标为：，
此时，．
如图，，
，
解得：，
，
，

【解析】根据平移直接得出结论；
分两种情况：利用点的横纵坐标互为相反数，即可求出的值；
分三种情况：利用点的横坐标或纵坐标已知，再由运动即可得出结论；
先表示出点的坐标，再利用梯形的面积公式建立方程求解即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，梯形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，
；
，，
，
平分，
，
，
；
故答案为：；
结论：： 的值不发生变化．
理由为：，
，
，
，
，
：：；
由知：，
，
由知设：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
由同旁内角互补，两直线平行证明；
由，并且平分得到，即可求出的度数；
由与平行，得到一对内错角相等，由，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证；
由的结论可得度数．
本题考查平移和平行线的性质的有关知识．平移的基本性质是：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
19.【答案】解：；；
小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过作于，过作于，如图，
，
，，
，
于，于，
，
≌，
，
在和中，
，，，
≌，
，
，，
，
．
【解析】
【分析】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
证明是等边三角形即可．
如图中，作于先利用等腰三角形的性质可得，再结合已知证明即可解决问题．
小扬同学猜想是正确的．过作于，过作于，先证明≌，再利用其三角形的面积即可解决问题．
【解答】
解：，，
，
，
是等边三角形，
，
旋转角为；
如图中，作于．
，，
，
，，
，
，
旋转角为；
见答案．
20.【答案】证明：如图中，根据题意：，，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：如图中，根据题意：，，，
在和中，
，
≌，
，
，且，
，
，
，
，，，
，，
，
，
是线段的垂直平分线；
解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，
当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图中：
，，，于点，
，，，
，，
的面积的最大值为：，
旋转角．
【解析】
【分析】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
利用“”证得≌即可得到结论；
利用“”证得≌，推出，计算得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
观察图形，当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
21.【答案】解：由旋转的性质得，，，
，即，
三角形是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
；
与的位置关系是：，理由如下：
由知，
将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，
，
，
；
．
【解析】解：见答案；
见答案；
由旋转的性质得，，
为等边三角形，
，
在中，由勾股定理得：．
根据旋转的性质得到三角形为等边三角形即可求解；
将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，得到，可知，即得，故AD；
在中，由勾股定理即可求得的长．
本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．
22.【答案】解：，，
所以，
因为，
所以；
由知，，，
逆时针运动时，即时，
由，的运动可知，，，
，相遇前，如图，，即，解得，
，相遇后，如图，，即，解得；
顺时针旋转时，，，
，相遇前，如图，，即，解得，
，相遇后，如图，，即，解得，
综上，当的值为，，或时，．
或
【解析】由题意可得，，可直接求解；
由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，逆时针运动时，，相遇前和相遇后；顺时针旋转，，相遇前和相遇后，分别画图求解即可；
根据射线的运动，需要分四种情况，当射线与重合前，当射线与重合后，前，前，与重合前，画出图形，结合角平分线求解即可．
本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角度的双角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行合适分段讨论是解题关键．
见答案
由知，
根据射线的运动，需要分四种情况，
当射线与重合前，如图，
因为平分，平分，
所以，，
所以；
当射线与重合后，前，如图，
因为平分，平分，
所以，，
所以；
前，如图，
因为平分，平分，
所以，，
所以；
与重合前，如图，
因为平分，平分，
所以，，
所以；
综上，的度数为或．
23.【答案】
【解析】解：根据旋转的性质，知都是正确的．
．
证明：中，绕点旋转后，得到，
则有，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
等量关系：．
作关于点的中心对称三角形，则
，，．
．
通过旋转的性质可知正确；
通过正确作图，使，然后进行测量即可进行猜想；
通过旋转的方法，作出辅助线，可利用三角形全等或旋转的性质得到相等的线段，把关系转化到一个三角形中即可得到需要的条件．
本题考查旋转的性质和中心对称的特点．
旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意中心对称是旋转的一种特殊情况．
24.【答案】解：如图所示为所求．
设，
线段绕点顺时针旋转得到线段
，
；
时，总有，证明如下：
过点作于点，过点作于点，如图
，
即
在与中
≌
，
设，则，
点关于点的对称点为
在与中
≌
．

【解析】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第题的解题思路是以为条件反推的长度，并结合的结论构造全等三角形；而证明过程则以为条件构造全等证明．
根据题意画出图形．
由旋转可得，故；由和三角形内角和可得，得证．
根据题意画出图形，以为已知条件反推的长度．由的结论联想到其补角相等，又因为旋转有，已具备一边一角相等，过点作于点，过点作于点，即可构造出≌，进而得，此时加上，则易证得≌，所以利用，设，则，再设，所以，由于点、关于点对称，即点为中点，故，，所以，求得，故证明过程则把推理过程反过来，以为条件，利用构造全等证得．
25.【答案】解：如图，
线段、即为裁剪的位置．
拼接方式：表述方式不唯一，如：将绕着点顺时针旋转，将绕着点逆时针旋转或者：将先向左平移个单位再向上平移个单位，将先向右平移个单位再向上平移个单位．或者：直接在图上用箭头表示出拼接方式．
【解析】本题主要考查裁剪与拼接，利用平移或旋转设计图案，根据拼成的图形为正方形，那么应根据正方形的面积得到相应的边长，把所给图形合理分割即可．总面积为，那么组成的大正方形的边长为，而直角边长为，的直角三角形的斜边长为据此裁剪与拼接即可．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)