2022-2023学年沪科版八年级数学下册第十八章 勾股定理 单元自测题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年沪科版八年级数学下册第十八章 勾股定理 单元自测题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 479.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-20 10:59:18 | ||
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文档简介
沪科版八年级数学下册第十八章 勾股定理 单元自测题
一、单选题
1．下列各组数，为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，1，2 B．3，4，5 C．，， D．，，
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2， B．1.5，2，3 C．3，4，5 D．7，24，25
3．一个等边三角形的边长为2，则该三角形的高为 （ ）
A．2 B．1 C． D．
4．一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C． D．15
5．在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．（k为正整数） D．
6．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，
C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，
7．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8 B．10 C．13 D．12
8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．3+2 D．4
9．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
10．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28 C．128 D．100
二、填空题
11．如图，在中，，，，边在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ．
12．如图，已知阴影部分是一个正方形， ，则此正方形的面积为
13．一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
14．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以1cm/s的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ．
三、解答题
15．已知直角三角形的两边长 ，求第三边的长．
16．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长.
17．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
18．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，问原处还有多高的竹子？翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．
19．如图，在中，，，交边于点，．求边的长．
20．在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AB＝3∶5且AB＝20cm，求边AC的长度．
四、综合题
21．如图，在中，点D在AB上，连接CD，，，，．
（1）求证：；
（2）求AC的长．
22．在中，，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
23．在和中，，，，连接，，是边上的中线．
（1）如图，当点D，E分别在边，延长线上时，请直接写出与的数量关系： ；
（2）将绕点A旋转到如图的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请完成证明；若不成立，写出你的结论并说明理由；
（3）若，，在绕点A旋转的过程中，当点C，D，E三点共线时，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：、，，
，
∵1，1，2不能作为直角三角形的三边长，
故A选项不符合题意；
B、，，
，
∴3，4，5能作为直角三角形的三边长，
故B选项符合题意；
C、，，
，
∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长，
故C选项不符合题意；
D、，，
，
∴4，6，8不能作为直角三角形的三边长，
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、12+（）2=22，A能作为直角三角形三边长；
B、1.52+22≠32，B不能作为直角三角形三边长；
C、32+42=52，C能作为直角三角形三边长；
D、72+242=252，D能作为直角三角形三边长.
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于较大边长的平方，那么该三角形为直角三角形，据此判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，AD为等边三角形ABC的高，
等边三角形高线即中线，AB=2，
BD=CD=1，∠ADB=90°，
在中，AB=2，BD=1，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形”三线合一“的性质，可得BD=CD=1，再根据勾股定理即可求得AD的长.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，得，该直角三角形的斜边长为：
故答案为：A.
【分析】直接利用勾股定理进行计算就可得到斜边长.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、由可得，能够判定是直角三角形，不符合题意；
B、根据勾股定理的逆定理可知：能够判定是直角三角形，不符合题意；
C、，k为正整数，∵，满足两边的平方和等于另外一个边的平方，故能判定是直角三角形，不符合题意；
D、，∵，∴不能够判定是直角三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、因为22+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
B、因为12+12≠2，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
C、因为62+82=102，所以该三角形是直角三角形，故符合题意；
D、因为2+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺
由题意可得：
∴
解得
∴尺
故答案为：D.
【分析】设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，在直角三角形ABC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是AB=BC-1可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，
由对称性可知，AP=A'P，
∴AP+PK=A'P+PK≥A'K，
∴当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，
∵∠ABD=60°，
∴∠BAA'=30°，
∵AB=4，
∴BM=2，AM=2，
∴AA'=4，
在Rt△AA'K中，∠AA'K=30°，
∴A'K=6，
∴AP+PK的最小值为6.
故答案为：A.
【分析】作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，由对称性可知AP=A'P，则AP+PK=A'P+PK≥A'K，故当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小， 易得∠BAA'=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BM，由勾股定理可得AM，然后求出AA′、A′K，据此解答.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：
是等腰直角三角形，
故答案为：B
【分析】先求出，再求出是等腰直角三角形，最后计算求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】由勾股定理可知：．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的性质可得。
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴点D表示的数为：．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，即可得到点D表示的数。
12．【答案】8
【解析】【解答】解：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB=4，
∴AC=（等腰直角三角形斜边是直角边的倍）.
或者由勾股定理，
可得：2AC2=16，即AC=，
∴正方形的面积=，
故答案为：8.
【分析】根据等腰直角三角形的性质.斜边等于直角边的的倍，可以得到AC的长度，或者在等腰直角三角形中，利用勾股定理得到AC的长度，正方形的面积等于变长的平方，即为AC2，将AC代入计算可的答案.
13．【答案】或5
【解析】【解答】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
【分析】分类讨论，利用勾股定理，计算求解即可。
14．【答案】或10或16
【解析】【解答】在△ABC中，∠ACB = 90°，
由勾股定理得：
BC == 8cm
△ABP为等腰三角形，
如图1，当AB = AP时，
则BP = 2BC = 16cm，
则t = 16；
如图2，当BA = BP= 10cm时，
则t= 10，
如图3，当PA= PB时，设BP = PA= xcm，
则PC =（8-x）cm，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
，
，
解得
综上所述，的值为或10或16．
【分析】分三种情况：如图1，当AB = AP时，如图2，当BA = BP= 10cm时，如图3，当PA= PB时，设BP = PA= xcm，再分别求解即可。
15．【答案】解：当BC是直角边时，第三边长= = =10cm，
当BC是斜边时，第三边长= cm，
∴直角三角形的第三边的长是10cm或 cm.
【解析】【分析】分情况：BC是直角边、BC是斜边，根据勾股定理分别求出第三条边.
16．【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB= =10.∵S△ABC= AB CD= AC BC，∴CD= = =4.8.
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可.
17．【答案】解：由勾股定理得；，
∴（米），
∵（米），
∴在中，由勾股定理得，
∴此时小鸟到地面C点的距离17米．
答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出BD的长，最后利用勾股定理求出CD的长即可。
18．【答案】解：设AC长为x，则AB=10﹣x，由勾股定理得：
32+x2=（10﹣x）2，
解得：x=4.55，
∴AC=4.55．
【解析】【分析】根据题意先求出 32+x2=（10﹣x）2， 再求解即可。
19．【答案】解：∵，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=17，AD=8，
则由勾股定理得：，
∴，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求出CD的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
20．【答案】解：∵BC∶AB＝3∶5
∴设BC＝3x．AB＝5x
∵AB＝20cm
∴5x＝20，解得x＝4
∴（cm）
∵在△ABC中．∠C＝90°
∴
∴（cm）
【解析】【分析】根据题意先求出 5x＝20， 再求出BC=12cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵在△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝，
∴BD2＋CD2＝12＋22＝＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴在Rt△ACD中，AC＝，
∴AC的长为．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，即可得到CD⊥AB；
（2）利用勾股定理求出AC的长即可。
22．【答案】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∴的度数．
（2）解：在中，，，∴，设，∴，∵在中，，∴， 解得，∴，∴的长为．
【解析】【分析】（1）先求出，再利用三角形的内角和求出即可得到答案；
（2）设，，利用勾股定理可得，求出x的值，即可得到AC的长。
23．【答案】（1）
（2）解：成立，证明如下：
延长至H，使得，连接，
，，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
．
（3）或
【解析】【解答】解：(1)，理由如下：
在和中，，
，
，，
，
，
是边上的中线，
，
，
故答案为：；
(3)当点E在CD的延长线上时，
过点A作AM⊥CE于点M，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点E在线段CD上时，
过点A作AN⊥CE于点N，
可得是等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得，
，
；
综上，AF的长为或．
【分析】（1）由SAS证出，得出，由直角三角形的性质得出结论；
（2）由SAS证出，得出，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理CH的长，即可得解。
一、单选题
1．下列各组数，为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，1，2 B．3，4，5 C．，， D．，，
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2， B．1.5，2，3 C．3，4，5 D．7，24，25
3．一个等边三角形的边长为2，则该三角形的高为 （ ）
A．2 B．1 C． D．
4．一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C． D．15
5．在中，若，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．（k为正整数） D．
6．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，
C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，
7．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8 B．10 C．13 D．12
8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．3+2 D．4
9．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
10．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28 C．128 D．100
二、填空题
11．如图，在中，，，，边在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ．
12．如图，已知阴影部分是一个正方形， ，则此正方形的面积为
13．一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
14．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以1cm/s的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ．
三、解答题
15．已知直角三角形的两边长 ，求第三边的长．
16．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长.
17．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
18．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，问原处还有多高的竹子？翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．
19．如图，在中，，，交边于点，．求边的长．
20．在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AB＝3∶5且AB＝20cm，求边AC的长度．
四、综合题
21．如图，在中，点D在AB上，连接CD，，，，．
（1）求证：；
（2）求AC的长．
22．在中，，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
23．在和中，，，，连接，，是边上的中线．
（1）如图，当点D，E分别在边，延长线上时，请直接写出与的数量关系： ；
（2）将绕点A旋转到如图的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请完成证明；若不成立，写出你的结论并说明理由；
（3）若，，在绕点A旋转的过程中，当点C，D，E三点共线时，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：、，，
，
∵1，1，2不能作为直角三角形的三边长，
故A选项不符合题意；
B、，，
，
∴3，4，5能作为直角三角形的三边长，
故B选项符合题意；
C、，，
，
∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长，
故C选项不符合题意；
D、，，
，
∴4，6，8不能作为直角三角形的三边长，
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、12+（）2=22，A能作为直角三角形三边长；
B、1.52+22≠32，B不能作为直角三角形三边长；
C、32+42=52，C能作为直角三角形三边长；
D、72+242=252，D能作为直角三角形三边长.
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于较大边长的平方，那么该三角形为直角三角形，据此判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，AD为等边三角形ABC的高，
等边三角形高线即中线，AB=2，
BD=CD=1，∠ADB=90°，
在中，AB=2，BD=1，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形”三线合一“的性质，可得BD=CD=1，再根据勾股定理即可求得AD的长.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，得，该直角三角形的斜边长为：
故答案为：A.
【分析】直接利用勾股定理进行计算就可得到斜边长.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、由可得，能够判定是直角三角形，不符合题意；
B、根据勾股定理的逆定理可知：能够判定是直角三角形，不符合题意；
C、，k为正整数，∵，满足两边的平方和等于另外一个边的平方，故能判定是直角三角形，不符合题意；
D、，∵，∴不能够判定是直角三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、因为22+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
B、因为12+12≠2，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
C、因为62+82=102，所以该三角形是直角三角形，故符合题意；
D、因为2+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺
由题意可得：
∴
解得
∴尺
故答案为：D.
【分析】设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，在直角三角形ABC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是AB=BC-1可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，
由对称性可知，AP=A'P，
∴AP+PK=A'P+PK≥A'K，
∴当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，
∵∠ABD=60°，
∴∠BAA'=30°，
∵AB=4，
∴BM=2，AM=2，
∴AA'=4，
在Rt△AA'K中，∠AA'K=30°，
∴A'K=6，
∴AP+PK的最小值为6.
故答案为：A.
【分析】作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，由对称性可知AP=A'P，则AP+PK=A'P+PK≥A'K，故当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小， 易得∠BAA'=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BM，由勾股定理可得AM，然后求出AA′、A′K，据此解答.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：
是等腰直角三角形，
故答案为：B
【分析】先求出，再求出是等腰直角三角形，最后计算求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】由勾股定理可知：．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的性质可得。
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴点D表示的数为：．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，即可得到点D表示的数。
12．【答案】8
【解析】【解答】解：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB=4，
∴AC=（等腰直角三角形斜边是直角边的倍）.
或者由勾股定理，
可得：2AC2=16，即AC=，
∴正方形的面积=，
故答案为：8.
【分析】根据等腰直角三角形的性质.斜边等于直角边的的倍，可以得到AC的长度，或者在等腰直角三角形中，利用勾股定理得到AC的长度，正方形的面积等于变长的平方，即为AC2，将AC代入计算可的答案.
13．【答案】或5
【解析】【解答】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
【分析】分类讨论，利用勾股定理，计算求解即可。
14．【答案】或10或16
【解析】【解答】在△ABC中，∠ACB = 90°，
由勾股定理得：
BC == 8cm
△ABP为等腰三角形，
如图1，当AB = AP时，
则BP = 2BC = 16cm，
则t = 16；
如图2，当BA = BP= 10cm时，
则t= 10，
如图3，当PA= PB时，设BP = PA= xcm，
则PC =（8-x）cm，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
，
，
解得
综上所述，的值为或10或16．
【分析】分三种情况：如图1，当AB = AP时，如图2，当BA = BP= 10cm时，如图3，当PA= PB时，设BP = PA= xcm，再分别求解即可。
15．【答案】解：当BC是直角边时，第三边长= = =10cm，
当BC是斜边时，第三边长= cm，
∴直角三角形的第三边的长是10cm或 cm.
【解析】【分析】分情况：BC是直角边、BC是斜边，根据勾股定理分别求出第三条边.
16．【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB= =10.∵S△ABC= AB CD= AC BC，∴CD= = =4.8.
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可.
17．【答案】解：由勾股定理得；，
∴（米），
∵（米），
∴在中，由勾股定理得，
∴此时小鸟到地面C点的距离17米．
答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出BD的长，最后利用勾股定理求出CD的长即可。
18．【答案】解：设AC长为x，则AB=10﹣x，由勾股定理得：
32+x2=（10﹣x）2，
解得：x=4.55，
∴AC=4.55．
【解析】【分析】根据题意先求出 32+x2=（10﹣x）2， 再求解即可。
19．【答案】解：∵，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=17，AD=8，
则由勾股定理得：，
∴，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求出CD的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
20．【答案】解：∵BC∶AB＝3∶5
∴设BC＝3x．AB＝5x
∵AB＝20cm
∴5x＝20，解得x＝4
∴（cm）
∵在△ABC中．∠C＝90°
∴
∴（cm）
【解析】【分析】根据题意先求出 5x＝20， 再求出BC=12cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵在△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝，
∴BD2＋CD2＝12＋22＝＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴在Rt△ACD中，AC＝，
∴AC的长为．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，即可得到CD⊥AB；
（2）利用勾股定理求出AC的长即可。
22．【答案】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∴的度数．
（2）解：在中，，，∴，设，∴，∵在中，，∴， 解得，∴，∴的长为．
【解析】【分析】（1）先求出，再利用三角形的内角和求出即可得到答案；
（2）设，，利用勾股定理可得，求出x的值，即可得到AC的长。
23．【答案】（1）
（2）解：成立，证明如下：
延长至H，使得，连接，
，，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
．
（3）或
【解析】【解答】解：(1)，理由如下：
在和中，，
，
，，
，
，
是边上的中线，
，
，
故答案为：；
(3)当点E在CD的延长线上时，
过点A作AM⊥CE于点M，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点E在线段CD上时，
过点A作AN⊥CE于点N，
可得是等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得，
，
；
综上，AF的长为或．
【分析】（1）由SAS证出，得出，由直角三角形的性质得出结论；
（2）由SAS证出，得出，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理CH的长，即可得解。